（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 ， ， ， ， ， ， . 技法03 错位相减的应用及解题技巧 知识迁移 万能公式： 形如 的数列求和为 ， 其中 ， ， 例3．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前n 项和 ． 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 的通项公式； (2)用 表示不超过 的最大整数，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式； （2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解. 【详解】（1）由 ，得 ， 由 ，得 ， ，因为 是正项数列， ， ； （2） ， 则当 时， ， 所以 ， 两式相减得 ， 即 ， 因为 满足 ， 所以

（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ． 技法03 错位相减的应用及解题技巧 知识迁移 万能公式： 形如 的数列求和为 ， 其中 ， ， 例3．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前n 项和 ． 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习

女子：我说您是不是做错位置了。 男子一下子掏出自己的票，伸到女子眼前。 男子：你看看，13 车，2B！！这就是我的座位，你瞎了吗！ 女子忍住怒气，不再说话。男子又重新戴上耳机。 男子：现在的人，看到人长得帅就随便搭讪，全是套路！这么烂的 借口还在用！ 火车已经开动，女子依旧站在男子身边，男子还在玩游戏。 女子：帅哥。 男子：你又干嘛？我说了我没做错位置，你自己赶紧去找你自己的 自己的 位置去。 女子微微一笑，推了推自己的眼镜，掏出自己的车票。 女子：你是没坐错位置，但是，你坐错车了。 火车呼啸而过。

2020 年高考语文浙江卷作文原题 每个人都有自己的人生坐标，也有对未来的美好期望。 家庭可能对我们有不同的预期，社会也可能会赋予我们别样的角色。 在不断变化的现实生活中，个人与家庭、社会之间的落差或错位难免会产生。 对此，你有怎样的体验与思考？写一篇文章，谈谈自己的看法。 【注意】①角度自选，立意自定，题目自拟。②明确文体，不得写成诗歌。③不得少于800 字。④不 得抄袭、套作。 【审题分析】 外因的哲学关系构建） 例11：其实无论立足个人、家庭还是社会的预期都无所谓，关键是我们要有责任担当意识，只有这样 我们才能获得更高的预期，不论是个人、家庭还是社会。 【优秀范文】 01 在错位中舞蹈 “你给的幸福不是我想要的。”面对家中父母的期待，哪怕嘴里不说，我们心里也常常这样想。我们 身上承载了家庭太多的期望，有时甚至有“生命不能承受之重”的哀伤。 “你看看别人家的孩子！”我们常常不得不面对这样的感慨。 现自己还是只能平平淡淡过一生。 “这真是垮掉的一代啊！”我们常常不得不接受这样的评价。 是的，我们对自己人生的定位和对未来的期望，常常与家庭、社会对我们的期望之间产生落差、错位。 可是，错位就错位，要什么完美？在错位中跳舞，我们一样可以跳出精彩的舞蹈！ 与上一代人相比，我们的确代表了家庭的未来。但是，未来的样子是不是应该由我们来描绘？只要我 们是勤劳的，是积极的，为什么一定要“头悬梁锥刺

侵入②切穿背斜轴部③切穿向斜轴部④早于寒武纪形成 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 14. 该地区经历的地质过程是（ ） A. 褶皱隆升—固结成岩—断层错位 B. 固结成岩—断层错位—褶皱隆升 C. 固结成岩—褶皱隆升—断层错位 D. 褶皱隆升—断层错位—固结成岩 盐土是排水不畅或蒸发强烈地区具有明显积盐过程的土壤。下图为我国某内陆盆地山前冲积平原断面 图，沿坡分布多种盐土。完成下面小题。 15

(1)求 的值，并求数列 的通项公式. (2)令 ，求数列 的前 项和. 【答案】(1) ， ， (2) 【分析】（1）根据递推公式分别计算 的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式； （2）错位相减法求和. 【详解】（1） ， 当 时， ；当 时， ， ， ， ， 又 （2）由（1）得 ， ， ， ， 3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ） 的值，再利用累乘法可求得数列 的通项公式； 解法二：由已知条件计算出 的值，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数 列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式； （2）利用错位相减法求出 ，进而可证得结论成立. 【详解】（1）解：解法一：由题 ①， ，即 ②，由①②得 ， 由 得 ， 所以当 时， ， 也满足 ， 所以数列 的通项公式为 ； 解法二：由题， ①， 1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在数列 中， ． (1)证明：数列 为常数列． (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）化简得 ，即可证明； （2）应用错位相减法即可求解. 【详解】（1）令 ，得 ，则 ． 因为 ①，所以 ②． ①-②得 ，即 ． 因为 ，所以数列 为常数列． （2）由（1）可得 ，所以 是公差为1 的等差数列， 所以 ．

玻璃烧杯 B. 锋利的手术刀 C. 化学试剂 D. 塑料量筒 15. 发现器材丢失后，正确的做法是：（） A. 立即报告老师 B. 检查是否放错位置 C. 隐瞒不报 D. 和同学一起寻找 16. 实验结束后必须做的是：（） A. 清理操作台 B. 关闭电源水源 C. 将器材归位 23. × 24. √ 25. × 26. × 27. √ 28. × 29. × 30. √ 四、简答题 31. 立即报告老师，说明缺少的器材名称和数量；与老师一起检查是 否放错位置或遗漏角落；如实记录情况不隐瞒。 32. 登记能追踪使用人，明确责任；记录异常便于及时维修；培养规 范使用习惯，延长器材寿命。 33. 如实记录数量，不谎报（如：发现烧杯缺口仍计入损坏项）；主

离。 （4）用本文的“成本效益”观念，对第12段的“学习达成目标”这一事例加以 分析。 （5）概括本文的论证思路。 （二）阅读下文，完成下列各题，（15分） 5．（15分）阅读下文，完成下列各题错位之思 凸凹 （1）记忆里，母亲有一双美丽的手，纤长、白皙，但却不善女红。纳鞋底 时，常把针尖扎到自己的手上，布面上便血迹斑斑。但她依然要勤勉地纳，因 为有三个顽皮小儿等鞋穿，她要怜惜他们的脚。待手艺渐渐娴熟起来，她的手 （8）从母亲身上，我似乎懂得了，所谓岁月，就是无论如何都要过的日 子，这其中的行止，都是被迫的动作，人不能左右，生活的状态就常出现错 位。随着阅历的增长，心灵的深处便多了生命的沧桑之感，即面对生活的种种 错位，不再诧异、惊恐，更不再抱怨，而是以豁然的心境泰然处之，如此，人 就自在了，从被动的顺应，到主动的顺生，最后进入乐生之地，俗生活也有了 佛门禅意。母亲在捡荒中的乐此不疲，或许就有了个中意味。 （9）虽然她对此浑然不知，但我知。 之 微，是无声的天启，让人懂得敬畏，懂得了内敛。 （有删改） （1）第2段和第5段如何塑造母亲形象的？请加以分析。 （2）第7、8两段的语言呈现出不同特点，请结合内容加以赏析。 （3）全文围绕“错位”进行构思，新颖独特，请结合内容加以赏析。 （4）评析本文所表达的思想的意义。 （三）阅读下面的诗歌，完成下列各题．（8分） 6．（8分）阅读下面的诗歌，完成下列各题。 从军行 （唐）崔国辅

136 读书《时间旅行者的妻子》口播推荐语 奥德丽·尼芬格 豆瓣评分：8.1 (34859 人评价) 如果生命可以任意旅行，你最想去到几岁的时候？ 本书的主人公亨利患有“慢性时间错位症”，这种病使得他的灵魂不受控制 地穿梭于生命中的各个时间节点。 而他的妻子克莱尔，从相遇、相知、相爱直到生命完结，都在等待这个不 知何时会出现然后又消失的丈夫。 面对时间的操控，小编感到了亨利和克莱尔的无能为力。他俩时刻都在担

持一论百 横贯 古今 为政之要，唯在用 人 2 标题出彩 夺人 眼球 身之远离，心之 相近 3 铺排陈理 整散 铿锵 拼搏以发展，合异 以相济 4 辩证思考 小大 之辩 正式错位，调整 方向 5 思路清晰 结构 严谨 带你走近武汉 6 由此及彼 联想 丰富 人，终究会有计 可施 正文 1.青睐理由：持一论百 横贯古今 为政之要，唯在用人 湖南一考生 小大之辩 正视错位，调整方向 浙江一考生 “我的地盘我做主！”“走自己的路，让别人说去吧！” “我命由我不由人！”作为越来越独立、越 来越有个性的年轻人，我们常常被这样的话语激励着，热血沸腾，义无反顾。 必须承认，给自己的人生定位的理所当然应该是我们自己，我们当然应该做自己命运的主人。但这不 等于我们可以闭目塞听，完全不顾父母和社会的期待。当我们对自己的定位与他们的期待发生错位时，我 认为应该审慎以对。 上不听亚父范增的建议，轻易放走了日后与他争夺天下的刘邦，最终落得乌江自刎的结局。父母长辈有丰富的 社会经验和人生阅历，他们看问题往往会更全而、深刻，目光更加地深远。我们当然不能一切以他们的意志为 转移，但当我们的追求与他们的期待发生错位时，我们应该多听听他们的意见、建议。一个时代行一个时代的 特征，这个时代对青年自然也会有特}的期待。比如革命战争年代，帝罔宅义列强欺侮我们，这个时代的青年就 应该把自己的人生定位与时代的期望结合