专题强化 小船渡河与关联速度问题 [学习目标] 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.2.建立两种模型的一 般分析思路和解法. 一、小船渡河问题 1.运动分析 小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个 是船随水漂流的运动. 2.两类常见问题 (1)渡河时间问题 ①渡河时间t 取决于河岸的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝ 及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝. ②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图1 所示，此时t＝. 图1 (2)最短位移问题 ①若v 水v 船，如图乙所示，从出发点A 开始作矢量v 水，再以v 水末端为圆心，以v 船的大 小为半径画圆弧，自出发点A 向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向 (1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少； (2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s 不变，船能否垂直河岸渡河？ 答案 (1)20 s 20 m (2)25 s (3)不能 解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水 流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当

4．如图所示，河宽L＝200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u＝02x （x 是离最近的河岸的距离）。一小船在静水中的速度v＝10m/s，小船自处出发，渡河 时，船头始终垂直河岸方向，到达对岸B 处，设船的运动方向与水流方向的夹角为θ，下 列说法正确的是（ ） ．小船渡河时间大于20s B．、B 两点间距离为200 m ．到达河中央前小船加速度大小为02m/s2 D．在河中央时，θ 最小，且tθ＝05 等于静水速，根据河宽以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的时间；水流速与到河 岸的最短距离x 成正比，是成线性变化的，知水流速的平均速度等于 处的水流速；根 据平均水流速，求出沿河岸方向上的位移，从而求出B 的直线距离，最后根据水流速度 与距离的关系，得出在河中央处，水流速度，再结合三角知识，即可求解夹角的最小 值。 【解答】解：、渡河的时间t＝ ＝ s＝20s，故错误； B、水流速的平均速度等于 速度与河岸垂直，船可以垂直 渡河，船渡河的最短路程等于河宽； （2）船速小于水速时，船不可能垂直渡河，船的最短路程大于河宽，当船速垂直于船 的合速度时，船渡河的路程最短。 【解答】解：、D、当船速大于水速即：v1＜v2时，船可以垂直渡河，船的最小路程等 于河宽，s＝d，如图（1）所示；故错误，D 错误； 、B、当船速小于水速即：v1＞v2时，船不能垂直渡河，当船的合速度与船速垂直时，

4．如图所示，河宽L＝200m，越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u＝02x（x 是 离最近的河岸的距离）。一小船在静水中的速度v＝10m/s，小船自处出发，渡河时，船 头始终垂直河岸方向，到达对岸B 处，设船的运动方向与水流方向的夹角为θ，下列说 法正确的是（ ） ．小船渡河时间大于20s B．、B 两点间距离为200 m ．到达河中央前小船加速度大小为02m/s2 D．在河中央时，θ 最小，且tθ＝05 是（ ） ．若v1＞v2，s＝（ ）d B．若v1＞v2，s＝（ ）d ．若v1＜v2，s＝（ ）d D．若v1＜v2，s＝d 6．如图所示，河宽为L，河水流速为u，甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为 v。出发时两船相距d，行驶过程中两船船身均与岸边成45°，乙船最终到达正对岸的 第 1 页 / 共 8 页 点，两船始终没有相遇。则下列说法正确的是（ ） ．v：u＝1： 时，船的速度大小为（ ） ．2vsθ B． ． D． 二．多选题（共3 小题） （多选）8．如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从点先后两次渡河到对岸，船在 静水中行驶的速度为u，第一次船头向着B 方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1； 第二次船头向着方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2．若B、与河岸的垂线方向的 夹角相等，则有（ ） ．t1＝t2 B．t1＜t2 ．s1＜s2 D．s1＞s2

，则此时货物的速度为（ ） A． B． C． D． 5．一小船渡河，河宽 ，水流速度 ，小船在静水中的速度 ，则 （ ） A．小船能垂直到达正对岸 B．小船渡河时间最短为 C．小船渡河的实际速度一定为 D．小船船头始终垂直于河岸渡河，若渡河过程中水流速度变大，则渡河时间将变长 6．如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球，如果给小球一个合适的初 解析：因小船在静水中的速度小于水流速度，故小船的合速度方向不可能垂直河岸，即小 船不可能垂直到达正对岸，选项A 错误；小船的最短渡河时间 ，选项B 正确；实际 速度即合速度，与小船在静水中的速度、水流速度和它们之间的夹角都有关系，选项C 错误； 船头垂直渡河时，渡河时间与水流速度无关，选项D 错误． 6．C 解析：向心力是效果力，不进行受力分析，选项A 错误；小球做匀速圆周运动，应该是细

项羽了。宋义严令军中不准轻举妄动。与此同时又宴请宾客，大吃 大喝，而士兵、百姓却忍饥挨饿。项羽实在忍不下去，便杀死了宋 义，将士们马上拥戴项羽为上将军。之后，项羽立即派出两名将 军，率两万人马渡河解救巨鹿。取得小胜后，项羽下令全军渡河救 援赵。在全军渡河之后，他采取了一系列果断的行动:把所有船只凿 沉，把煮饭的锅都打破，把营房都烧掉，只携带三天的干粮，以此 表示决一死战的决心，不给士兵留 一点儿退路。项羽领军到达巨鹿外围，立即包围了秦军，经过九天

点时的速度大小等于整个上滑过程中平均速度的大小 4. 一小船在静水中的速度为 ，它在一条河宽150m，流速为 的河流中渡河， 则下列说正确的是( ) A．小船渡河时间不少于60s B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250m D．小船以最短位移渡河时，时间为60s 5. 如图，倾角为α=37°且表面光滑的斜面体固定在匀速下降的升降机上，质量相等

在河道宽度为d 的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1＞v2），方向可以 选择，现让该船开始渡河，则该船（ ） A. 可能的最短渡河时间为 B. 可能的最短渡河位移为d C 只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水流速度无关 D. 不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水流速度均无关 【答案】BD 15. 目前世界已进入太空时代。“嫦娥奔月”工程的顺利实施，标志着我国的航天事业进入

，河水流速恒为 ，小船在静水中的速度大小为 ，则（ ） 第5 页/共13 页 （北京）股份有限公司 A. 若船以最短时间渡河，渡河时间为120s B. 若船以最短时间渡河，渡河路程为600m C. 若船以最短航程渡河，渡河时间为150s D. 若船以最短航程渡河，渡河路程为1000m 11. 跳台滑雪因其惊险刺激而被称为“勇敢者的运动”。图（a）是运动员在空中飞行的照片，将上述飞行 过

河流中河水的速度大小为5m/s，小船相对于静水的速度大小为3m/s。小船船头正对河岸渡河时，恰好 行驶到河对岸的B 点。若小船船头偏向上游某方向渡河，则小船（ ） A. 到达对岸时一定在B 点的上游 B. 到达对岸时可能还在B 点 C. 渡河时间可能变短 D. 渡河位移可能变短 【13 题答案】 【答案】BD 【解析】 【详解】AB．小船船头正对河岸渡河时，根据几何关系，此时合速度方向与河岸夹角的正切值为 ，现使 小船船头指向上游与垂直河岸方向夹角为 方向渡河，合速度方向与河岸方向夹角正切值 根据数学知识可知 最小可以趋近于零，最大可以超过 ，因此仍然可能到达B 点，故A 错误， B 正确； C．渡河时间等于河宽与船在垂直河岸方向的分速度，船头正对河岸渡河时，时间最短，船头偏向上游某 方向渡河，渡河时间必然变长，故C 错误； D．因为合速度方向可能更偏向B 点左侧，则渡河位移可能变短，故D 正确。 故选BD。

D．做圆周运动的物体加速度不一定总指向圆心 7.小船在静水中速度为v，今小船要渡过一条河流，渡河时小船船头始终垂直对岸划 行．若小船划行至河中间时，河水流速忽然增大．与河水流速不变的情况下作对比，下列 说法正确的是( ) A．渡河时间比水流流速不变时所用时间更长 B．因船头始终垂直于河岸，故渡河时间与位移都不会变化 C．因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间与位移的变化 D．小船到达对岸所用时间不变，但位移将变大