瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题 【专题说明】 动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和， 最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ** Expression is 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 【精典例题】 1、如图，在 中， ， ， ，点是B 的三等分点，半圆与相 切，M，分别是B 与半圆弧上的动点，则M 的最小值和最大值之和是（ ） ．5 B．6 ．7 D．8 【答】B 【详解】 如图，设⊙与相切于点D，连接D，作 垂足为P 交⊙于F， 此时垂线段P 最短，PF 最小值为

专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 如图，连 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折 中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．

专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】 【模型解读】 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1 如图，P 是圆上一个动点，为定点，连接P，Q 为P 中点．Q 点轨迹是？ 如图，连接，取中点M，任意时刻，均有△MQ∽△P，QM:P=Q:P=1:2． 则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。 模型1-2 如图，△PQ 是直角三角形，∠PQ=90°且P=k Q，当P 在圆运动时，Q 点轨迹是？ 如图，连 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折 中） 如图，若P 为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．

则往往用动能定理或机械能守恒定律 以及能量守恒定律求解. 【模型训练】 1．如图所示，倾角为 的粗糙斜面AB 长 ，B 端距水平地面 ，O 在B 点的正下方，B 点 右端接一光滑小圆弧（图上未画出），圆弧右端切线水平，且与一长 的水平木板MN 平滑连接。 一个小滑块与斜面AB 间的动摩擦因数为 ，它从A 端由静止释放后运动到N 端恰好停止。（ ， ） （1）求滑块到达B 点速度 的大小； 的光滑绝缘水平台面上，一个质量为 、带电量 的小物块压缩弹簧后被锁扣K 锁住，储存了 的弹性势能。现打开锁扣K，物块与弹簧分 离后以水平速度 向右滑离平台，并恰好从B 点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知B 点距水 平地面高 ，圆弧轨道BC 的圆心O 与水平台面等高，C 点的切线水平，并与水平地面上长为 的粗糙直轨道CM 平滑连接，CM 轨道区域存在水平向左的匀强电场，小物块穿过电场后平滑的 滑上以速度 点的速度； （2）在（1）的情况下，求滑块到达 点时对轨道的压力； （3）改变的大小，为了使小滑块不脱离圆弧轨道，求AB 初始距离的取值范围。 9．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB 的下端与圆弧轨道DCB 相切于B 点，DC 段粗糙，CB 段光滑，圆心角 ，D 点与圆心O 等高，圆弧轨道半径 ，一个质量为 ，可视 为质点的小物体，从D 点的正上方距离为 的E 点处自由下落，小物体与斜面AB

（北京）股份有限公司 a．当粒子从 时开始运动且运动轨迹顺序为Ⅰ→右侧圆弧→Ⅱ→Ⅲ→左侧圆弧→Ⅳ→Ⅰ→右侧圆弧→Ⅱ →Ⅲ→左侧圆弧→Ⅳ时，运动过程如下： 时电场方向向下，轨迹Ⅰ用时 ，右侧圆弧轨迹用时 （北京）股份有限公司 ，电场方向变为向上，轨迹Ⅱ用时 ，轨迹Ⅲ用时 ，左侧圆弧轨迹用时 ，电场方向变为向下，轨迹Ⅳ用 时 ，轨迹Ⅰ用时 ，右侧圆弧轨迹用时 ，电场方向变为向上……如此循环， 因此有 ，得 b．当粒子从 时开始运动且运动轨迹顺序为Ⅰ→右侧圆弧→Ⅱ→Ⅳ→左侧圆弧→Ⅲ→Ⅰ→右侧圆弧→Ⅱ →Ⅳ→左侧圆弧→Ⅲ时，运动过程如下： 时电场方向向下，轨迹Ⅰ用时 ，运动到右侧圆弧轨迹中点用 时 ，电场方向变为向上，运动剩余的 右侧圆弧轨迹用时 ，轨迹Ⅱ用时 ，电场方向变为向下，轨迹 Ⅳ用时 ，运动到左侧圆弧轨迹中点用时 ，电场方向变为向上，运动剩余的 左侧圆弧轨迹用时 ，轨 迹Ⅲ用时 ，电场方向变为向下……如此循环， 时开始运动且运动轨迹顺序为Ⅰ→右侧圆弧→Ⅱ→Ⅳ→左侧圆弧→Ⅲ→Ⅰ→右侧圆弧→Ⅱ →Ⅳ→左侧圆弧→Ⅲ时，运动过程如下： 时电场方向向下，轨迹Ⅰ用时 ，运动到右侧圆弧轨迹上的点 A（还没到轨迹中点，用时 ， ），电场方向变为向上，运动到右侧圆弧轨迹中点用时 ， 电场方向变为向下，运动到右侧圆弧轨迹上的点 用时 （点A 和点 关于过P 点的中轴线对称）， 电场方向变为向上，运动剩余的右侧圆弧轨迹用时 ，轨迹Ⅱ用时

则往往用动能定理或机械能守恒定律 以及能量守恒定律求解. 【模型训练】 1．如图所示，倾角为 的粗糙斜面AB 长 ，B 端距水平地面 ，O 在B 点的正下方，B 点 右端接一光滑小圆弧（图上未画出），圆弧右端切线水平，且与一长 的水平木板MN 平滑连接。 一个小滑块与斜面AB 间的动摩擦因数为 ，它从A 端由静止释放后运动到N 端恰好停止。（ ， ） （1）求滑块到达B 点速度 的大小； 的光滑绝缘水平台面上，一个质量为 、带电量 的小物块压缩弹簧后被锁扣K 锁住，储存了 的弹性势能。现打开锁扣K，物块与弹簧分 离后以水平速度 向右滑离平台，并恰好从B 点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知B 点距水 平地面高 ，圆弧轨道BC 的圆心O 与水平台面等高，C 点的切线水平，并与水平地面上长为 的粗糙直轨道CM 平滑连接，CM 轨道区域存在水平向左的匀强电场，小物块穿过电场后平滑的 滑上以速度 点时对轨道的压力； （3）改变的大小，为了使小滑块不脱离圆弧轨道，求AB 初始距离的取值范围。 【答案】（1） ；（2） ，方向竖直向下；（3） 或 【详解】（1）根据题意，从A 点到B，根据动能定理可得 解得 （2）由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律得 解得 方向竖直向下。 （3）滑块恰好始终沿轨道BCDG 滑行，则滑至圆弧轨道D、G 间等效最高点时，由电场力和重力的合力 提供向心力，此时的速度最小，

用动能定理间接求变力做的功，即W 变＋W 其他＝ΔEk. 如图1 所示，质量为m 的小球由静止自由下落d 后，沿竖直面内的固定轨道ABC 运 动，AB 是半径为d 的光滑圆弧轨道，BC 是直径为d 的粗糙半圆弧轨道(B 是轨道的最低点). 小球恰能通过圆弧轨道的最高点C.重力加速度为g，求： 图1 (1)小球运动到B 处时对轨道的压力大小(可认为此时小球处在轨道AB 上)； (2)小球在BC 运动过程中，摩擦力对小球做的功 m＝0.75 m. 针对训练2 (2018·金陵中学第二学期期末)图4 中ABCD 是一条长轨道，其中AB 段是倾角 为θ 的斜面，CD 段是水平的，BC 段是与AB 段和CD 段都相切的一小段圆弧，其长度可以 略去不计.一质量为m 的小滑块在A 点从静止释放，沿轨道滑下，最后停在D 点，A 点和D 点的位置如图4 所示，现用一沿轨道方向的力推滑块，使它缓缓地由D 点回到A 点，设滑 块 飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，BC 为圆弧竖直直径，其中B 为轨道的最低 点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5 m.已知 sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s2. 图5 (1)求小球的初速度v0的大小； (2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案 (1)3

3．如图所示，实线是电场线，一带电粒子只在电场力的作用下沿虚线由A 运动到B 的过 程中，其速度-时间图像是选项中的（ ） 4．如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R：bc 是半径为R 的四分之 一的圆弧，与ab 相切于b 点．一质量为m 的小球．始终受到与重力大小相等的水平外力的 作用，自a 点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g．小球从a 点开始运动到其他轨 迹最高点，机械能的增量为（ 11．如图所示，水平面上带有半圆弧槽的滑块N 质量为2m，槽的半径为r，槽两侧的最高 点等高。将质量为m 且可视为质点的小球M 由槽右侧的最高点无初速释放，所有接触面的 摩擦均可忽略。第一种情况滑块固定不动；第二种情况滑块可自由滑动。下列说法正确的 是（ ） A．两种情况下，小球均可运动到左侧最高点 B．两种情况下，小球滑到圆弧槽最低点时的速度之比为1：1 C．第二种情况，小球滑到圆弧槽最低点时圆弧槽的速度为 弧槽的速度为 D．第二种情况，圆弧槽距离出发点的最远距离为 12．如图，两个质量均为m 的小木块a 和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴 OO'的距离为l，b 与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍， 重力加速度大小为g。（ ） A．b 一定比a 先开始滑动 B．a、b 所受的摩擦力始终相等 C． 是b 开始滑动的临界角速度 D．当 时，a

3．如图所示，实线是电场线，一带电粒子只在电场力的作用下沿虚线由A 运动到B 的过 程中，其速度-时间图像是选项中的（ ） 4．如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为2R：bc 是半径为R 的四分之 一的圆弧，与ab 相切于b 点．一质量为m 的小球．始终受到与重力大小相等的水平外力的 作用，自a 点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g．小球从a 点开始运动到其他轨 迹最高点，机械能的增量为（ 11．如图所示，水平面上带有半圆弧槽的滑块N 质量为2m，槽的半径为r，槽两侧的最高 点等高。将质量为m 且可视为质点的小球M 由槽右侧的最高点无初速释放，所有接触面的 摩擦均可忽略。第一种情况滑块固定不动；第二种情况滑块可自由滑动。下列说法正确的 是（ ） A．两种情况下，小球均可运动到左侧最高点 B．两种情况下，小球滑到圆弧槽最低点时的速度之比为1：1 C．第二种情况，小球滑到圆弧槽最低点时圆弧槽的速度为 弧槽的速度为 D．第二种情况，圆弧槽距离出发点的最远距离为 12．如图，两个质量均为m 的小木块a 和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴 OO'的距离为l，b 与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍， 重力加速度大小为g。（ ） A．b 一定比a 先开始滑动 B．a、b 所受的摩擦力始终相等 C． 是b 开始滑动的临界角速度 D．当 时，a

A. B. C. D. 3. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线 上取长度为的线段 ，并作等边三角形 ，然后以 点为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长 线于点；再以点为圆心， 为半径逆时针画圆弧，交 线段 的延长线于点，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有个交点 不含点时，则螺线长度最小值为 A. B. C. D. 4. 幂函数 的图象不过原点，则 【解析】解：第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ，交累计次； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ，交累计次； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ，交累计欢； 前次累计画线 ； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ，交累计次， 累计画线 ； ； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ，交累计次； 第次画线：以点为圆心， ，旋转 ，划过的圆弧长为 ，交累计次， 累计画线 ， 故选：． 根据题意，找到螺线画法的规律，从而得到答案． 本题考查了弧长问题，推理想象能力，属于中档题． 4.【答案】 【解析】解： 是幂函数， 则 ，解得： 或 ， 时， ，函数图像过原点，