二倍角、半角问题 一、方法突破 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半 角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角 的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． tan α 2 = a b+ a2+b2 tanα= a b a2+b2 a2+b2 b a α 2 α 构造二倍角三角函数： 构造二倍角三角函数： 勾股定理可求二倍角三角函数值 2α α α 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． α α 2α 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，抛 物线 经过、B 两点且与x 轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D 为直线B 上方抛物线上的一个动点，当∠BD=2∠B 时，求点D

镜的焦距为 100 m。 即焦点所在位置 注意：刻度尺要估读！ 方法2 二倍焦距法测焦距 突破口：图像特殊点u=υ=2f 例2 如图所示，小明根据实验记录，绘制了物体离凸透镜的距离u 与实像到凸透镜的距离υ 之间的 关系，则凸透镜的焦距为 5 m。 特殊点P：u=υ=2f=10m 解析：由图知：u＜υ，故成倒立、放大实验。 实验考点6 动态分析 技巧：成实像时：物近像远像变大（反之亦然） 成虚像时：物近像近像变小（很少考） 例7 在做凸透镜成像实验时，将点燃的蜡烛沿着光具座，从凸透镜二倍焦距之外的某位置向焦点移 动，在此过程中，像距会变 大 ，像会变 大 。 物近像远像变大 解析：物体靠近凸透镜，像会远离凸透镜，同时像会变大。 一物体放在凸透镜前从二倍焦距之外匀速靠近凸透镜，至透镜焦点处，考察像的运动速度，应 该是 先小于后大于 物体速度。 分析：像和物体运动时间相同，要比速度，采用相同时间路程。 1 当物体位于二倍焦距之外时：u>2f，f<υ<2f 物体的路程：无穷远到二倍焦距处 像的路程：一倍焦距到二倍焦距之间 相同时间内，s 物>s 像，故：υ 物>υ 像 2 当物体位于一、二倍焦距之间时：f< u

物体成像最清晰的点D. 光心 3. 物体位于凸透镜二倍焦距以外时，所成的像是（ ） A. 倒立、缩小的实像B. 倒立、放大的实像 C. 正立、放大的虚像D. 正立、缩小的虚像 4. 照相机成像时，物体到镜头的距离应满足（ ） A. u 2f D. u = 2f 5. 当物体从凸透镜二倍焦距外逐渐靠近焦点时，像的大小变化是 投影仪工作时，投影片应放置在（ ） A. 焦点以内B. 焦点上C. 一倍焦距到二倍焦距之间D. 二倍焦距 以外 7. 凸透镜成实像和虚像的分界点是（ ） A. 光心B. 焦点C. 二倍焦距点D. 无限远处 8. 一束平行光正对凸透镜照射，在透镜后光屏上得到最小最亮的光 斑，说明透镜焦距为（ 凸透镜成实像时，像与物移动方向相同。（ ） 8. 焦距越短的凸透镜，对光线的会聚能力越强。（ ） 9. 用光屏能承接的像一定是实像。（ ） 10. 物体在凸透镜二倍焦距处时，像也在二倍焦距处。（ ） 四、简答题（共4 题，每题5 分） 1. “ ” 简述凸透镜成像中物近像远像变大的规律，并说明其适用条件。 2. 如何利用太阳光粗略测量凸透镜的焦距？写出操作步骤。

像越大，借助放大镜看地图时地图到放大镜的距离越近看到的像越小，故错误。 B、根据物远像近像变小成像原理可知，用照相机拍摄人像时，人到镜头的距离越远像 越小，故B 正确； 、投影仪的镜头相当于一个凸透镜，物距在二倍焦距和一倍焦距之间时，像距大于2 倍 焦距，成倒立放大的实像；近视眼镜是凹透镜，故错误； D、远视眼镜的镜片是凸透镜做的，对光起会聚作用，可以用来矫正老花眼，故D 正确。 故选：BD。 5．（2021 B．借助放大镜看地图时，地图与放大镜之间的距离应略大于一倍焦距 ．照相时，被照者与相机的距离应在镜头的二倍焦距之外 D．投影仪能使物体在屏幕上成正立、放大的虚像 【答】 【分析】（1）凸透镜对光线有会聚作用； （2）当物距小于1 倍焦距时，所成的像是放大正立的虚像，这正是放大镜原理； （3）当物体在二倍焦距以外时，经过凸透镜成的是倒立、缩小的实像，这正是照相机 的原理； （4）投影仪成的是倒立、放大的实像。 （2）除屏幕上的像与投影片的景物上下颠倒外，左右有没有颠倒呢？ （3）要使屏幕上的像增大一些，应该怎样操作？ 【答】见解答。 【分析】（1）平面镜能反射光线； （2）物距大于一倍焦距小于二倍焦距成倒立、放大实像，像距大于二倍焦距，应用是 幻灯机、投影仪； （3）凸透镜成实像的规律：物距越大，像距越小，成的像也越小；物距越小，像距越 大，成的像也越大。 【解答】答：（1）投影仪上的平面镜能反射光线，改变光的传播方向；

时成放大的像，投影仪就是根据这一原理制成的 D 把物体从距凸透镜12 m 处移动到24 m 处的过程中，像逐渐变小 第 2 页 / 共 19 页 【答】D 【解析】当物距等于像距(题图中为16 m)时，物体应在二倍焦点上，故焦距为8 m，错；当u=12 m 时，f2f，成倒立、缩小 的实像，故错；物体从12 m 向24 m 移动的过程中，符合“物远像近像变小”，故D 两部分，这两部分都是中间薄，边缘厚，是凹透镜．因此对照过去的平行光有发散作用，所以是正确 的． 凸透镜成像规律的相关推论： （1）任意一条光线穿过二倍焦点时，其折射光线一定也穿过对侧的二倍焦点。 （2）当物体在二倍焦距之外移动时，物体比像移动更快；当物体在一至二倍焦距之间移动时，像比 物体移动快。（可记作：谁远谁快。） （3）无论是成实像还是虚像，只要物体不断接近一倍焦点，像就会不断变大。 点评 、θ'＜θ，M''＜M B、θ'＜θ，M''=M 、θ'=θ，M''＜M D、θ'=θ，M''=M 【答】 【解析】把物体M 变为△M，△M 经凸透镜成倒立、缩小的△M'''，如图． 物体M 在凸透镜的二倍焦距以外，成倒立、缩小的实像，所以 M''＜M．凸透镜成像时，像的大小可以发生变化，但是像的形状不发生变化，所以夹角不发生变化． 所以θ'=θ． 例8、在凸透镜前有一物体，当它沿主轴向透镜方向移动20

时成放大的像，投影仪就是根据这一原理制成的 D 把物体从距凸透镜12 m 处移动到24 m 处的过程中，像逐渐变小 第 2 页 / 共 19 页 【答】D 【解析】当物距等于像距(题图中为16 m)时，物体应在二倍焦点上，故焦距为8 m，错；当u=12 m 时，f2f，成倒立、缩小 的实像，故错；物体从12 m 向24 m 移动的过程中，符合“物远像近像变小”，故D 两部分，这两部分都是中间薄，边缘厚，是凹透镜．因此对照过去的平行光有发散作用，所以是正确 的． 凸透镜成像规律的相关推论： （1）任意一条光线穿过二倍焦点时，其折射光线一定也穿过对侧的二倍焦点。 （2）当物体在二倍焦距之外移动时，物体比像移动更快；当物体在一至二倍焦距之间移动时，像比 物体移动快。（可记作：谁远谁快。） （3）无论是成实像还是虚像，只要物体不断接近一倍焦点，像就会不断变大。 点评 、θ'＜θ，M''＜M B、θ'＜θ，M''=M 、θ'=θ，M''＜M D、θ'=θ，M''=M 【答】 【解析】把物体M 变为△M，△M 经凸透镜成倒立、缩小的△M'''，如图． 物体M 在凸透镜的二倍焦距以外，成倒立、缩小的实像，所以 M''＜M．凸透镜成像时，像的大小可以发生变化，但是像的形状不发生变化，所以夹角不发生变化． 所以θ'=θ． 例8、在凸透镜前有一物体，当它沿主轴向透镜方向移动20

能正确反映其成像原理的示意图是（、b 为物体）（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】当物距大于二倍焦距时，像距在一倍焦距和二倍焦距之间，成倒立、缩小的实 像。 【解答】解：照相机成的是倒立、缩小的实像，此时物距大于二倍焦距，像距在一倍焦 距和二倍焦距之间，故正确。 故选：。 5．（2022 • 秋乐陵市期末）汽车电子后视镜通过摄像头成像，将车侧后方路况呈现在显示 的大小列出不等式，求出焦距的大小。 【解答】解：她的脸离水透镜光心的距离是40m，且能在水透镜另一侧距离光心20m 的 地方，用光屏承接到清晰的像，此时的物距大于像距，此时物体在二倍焦距以外，像在 一倍焦距和二倍焦距之间，即：40m＞2f；2f＞20m＞f，解得：10m＜f＜20m，故B 正 确。 故选：B。 7．（2022 • 秋长安区校级期末）如图所示，能说明近视眼或远视眼的成像光路图及矫正方 （2）凸透镜成像规律之一：物距2f＞u＞f，像距v＞2f，成倒立放大的实像。 【解答】解： S 是凸透镜主光轴上的一个发光点，由图知，发光点S 在凸透镜的二倍焦距之外，根据 凸透镜成像规律可知，其像点应该在一倍焦距和二倍焦距之间，即折射光线与主光轴的 交点位置应在一倍焦距和二倍焦距之间，由图可知，光线符合题意。 故选：B。 12．（2023• 抚松县三模）用凸透镜观察地图时，应将地图放在凸透镜的（ ）

一、照相机的原理 1 物体位于凸透镜2 倍焦距以外（μ＞2f），成倒立的、缩小的、实像。 像位于凸透镜的一倍焦距与二倍焦距之间。（f＜μ＜2f）。 物体与实像分别位于凸透镜的两侧。 利用照相机能成倒立的、缩小的、实像。 2 被照的物体位于镜头（凸透镜）的二倍焦点以外（μ＞2f ）。 物体与实像大小比较实像小于物体（像小）。 物距与像距大小比较像距小于物距（像距小）。 3 像越小，像的位置（胶卷到镜头的距离）越 近，暗箱越短。 （3 ）照相机胶卷上所成的像一定比物体小。 （4）物体和像在镜头（凸透镜）的两侧。 二、投影仪的原理 1 物体位于凸透镜的二倍焦距与一倍焦距之间（2f＞μ＞f）成倒立的、放大的、实像。 物体与实像大小比较实像大于物体（像大）。 物距与像距大小比较像距大于物距（像距大）。 2 ．投影仪主要构造 投影仪上有一个相当 B．相当于凸透镜，焦距可能为01 m ．相当于凹透镜，焦距可能为04 m D．相当于凹透镜，焦距可能为01 m 答与解析：镜头应该是凸透镜，而且所成的像应是缩小、倒立的实像，人到镜头的距离 应远远大于二倍焦距，即05 m＞2f，解得f＜025m，所以B 选项正确。故选：B。 2．探究凸透镜成像的规律 【知识点的认识】 （1）凸透镜成像规律：是指物体放在焦点之外，在凸透镜另一侧成倒立的实像，实像有缩

专题05 透镜及其应用 一、单选题 1．小晨在做探究凸透镜成像规律的实验，如图所示， 点为一倍焦距处， 点为二倍焦距处。下列说法 错误的是（ ） ．为使像成在光屏的中央，应将蜡烛向上移动 B．烛焰位于点时，成放大的实像 ．烛焰位于B 点时，光屏承接不到像 D．烛焰从点移到B 点的过程中时，光屏上始终出现放大的像 【答】D 【解析】 ．由图可知，像在光屏的上方，为使像成在光屏 示，用手机扫描二维码，相当于给二维码 拍了一张照片，则手机摄像头离二维码的距离肯定大于______（选填“一倍焦距”或“二倍焦距”）。影 像传感器上成的是______（选填“正立”或“倒立”）______（选填“放大”“缩小”或“等大”）的实 像。 【答】 二倍焦距 倒立 缩小 【解析】 [1][2][3]手机摄像头相当于凸透镜，是利用物体在2 倍焦距以外，成倒立、缩小实像的原理工作的，所以， 实验现象更明显（或便于观察、或减少污染等） 蜡烛在焦点上 125 【解析】 （1）[1]如图所示烛焰、透镜和光屏位置关系，此时物距大于像距，故成倒立、缩小的实像，像距大于一 倍焦距小于二倍焦距。 （2）[2][3]保持凸透镜的位置不变，将蜡烛向左移动一段距离，物距变大，则像距变小，故应向左移动光 屏。将蜡烛继续向左移动，则像距会变得更小，即像更靠近凸透镜。此时保持凸透镜和光屏的位置不变，

6.【答案】 【解析】解：因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 因为， 都为锐角， 所以 ， 所以 ，即 ． 故选：． 先结合二倍角公式及同角商的关系进行化简，然后结合特殊角的三角形函数可得，关系， 进而可求． 本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系，和差角公式在三角化简中的应用，属于中档 题． 7.【答案】 【解析】解：若函数为偶函数， 则对 ， 都成立， 即对 是第一象限或第三象限角，故正确； 对于，若 ， ，满足条件，是第一象限角，且 ，但 ， 故错误． 故选： ． 对于，利用二倍角的正弦公式及正弦函数的性质即可求解； 对于，利用诱导公式，余弦函数的性质即可求解； 对于，根据象限角的概念即可求解； 对于，取特例，若 ， ，满足条件，但 ，即可判断得解． 本题主要考查了二倍角的正弦公式，正弦函数的性质，诱导公式，余弦函数的性质，象限 角的概念，属于中档题． 10.【答案】 勾函数性质 在解三角形中的综合应用，属于拔高题． 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合角的范 围可求 ，即可判断； 由题意可得范围 ，可得 ，即可判断； 由正弦定理，二倍角公式可求 ，结合的范围，利用余弦函数的性质即可判断； 利用三角函数恒等变换的应用化简可得 ，又 ， 可得 ，令 ，则 ，由对勾函数性 质即可求解． 【解答】 解： ， 由正弦定理可得 ，