贵州省新高考协作体2024届高二上学期入学质量检测 数学参考答案

贵州新高考协作体2024届高二上学期入学质量监测 数学参考答案 一、 选择题： 本大题共8小题， 每小题5分， 共40分。 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 1. 【 解析 】2 x - 5 ≥1 ⇒1 ≤x - 5 ≤2 ⇒6 ≤x ≤7 ⇒A = { 6， 7 } ⇒A的子集个数为4.故选A. 2. 【 解析 】 ∵ c sin C = b sin B = 2R > 0， ∴c > b ⇔2R sin C > 2R sin B ⇒sin C > sin B.故选C. 3. 【 解析 】 原式= 5 sin2α - 3 cos2α + sin2α + cos2α sin2α + cos2α = 6 tan2α - 2 tan2α + 1 = 22 5 .故选C. 4. 【解析】 方程2x2 - 12x + b = 0 的另一个虚根是a - 2i ⇒2a = 6 ⇒a = 3 ⇒b 2 = (a + 2i) (a - 2i) = 13 ⇒b = 26.故选B. 5. 【 解析 】 (1 + K ) 6 ≈1545 ⇒K ≈3.40 - 1 = 2.40.故选D. 6.【解析】C，D 分别是OA，OB 的中点，      OP = λ      OC + μ      OD ⇒λ + μ = 2 ⇒1 4λ + 1 μ = 1 2 (λ + μ)( ) 1 4λ + 1 μ ≥1 2 × ( ) 1 4 + 1 + 1 = 9 8 （柯西不等式） .故选A. 7. 【解析】3 b = 2a sin B = 2b sin A ⇒sin A = 3 2 ， 又△ABC 为锐角三角形， ∴A = π 3 ， b + c = 2R( sin C + sin B) = a sin A é ë ê ê ê ù û ú ú ú sin C + sin( ) 2π 3 - C = 12 sin( ) C + π 6 ， ∴C ∈( ) π 6 ，π 2 ， ∴b + c ∈(6 3， 12 ].故选C. 8. 【 解析 】 ü ý þ ï ï ï ï ï ï 在é ë ê ê ê ù û ú ú ú 1 2， 1 上函数f (x)单调递减， f (x) ∈é ë ê ê ê ù û ú ú ú 5，17 2 在[ 2， 3] 上函数g(x)单调递增， g(x) ∈[ ] 4 + a， 8 + a ⇒ ì í î ï ï ï ï 8 + a ≥17 2 4 + a ≤5 ⇒a ∈é ë ê ê ê ù û ú ú ú 1 2， 1 .故选B. 二、 选择题： 本大题共4小题， 每小题5分， 共20分。全部选对的得5分， 部分选对的得2分， 有选错的得0分。 题号 答案 9 BCD 10 BCD 11 BC 12 ACD 9. 【 解析 】 中位数为99 + 100 2 = 99.5， A错误； 据图可判断B、 C、 D正确. 10. 【 解析 】 ∵f (-x) = 2x cos x = -f (x)， ∴函数f (x) 为奇函数， A错误； 此函数在[ 0， 2π ]内有0， π 2 ， 3π 2 三个 零点， B 正确； x2 + 1 2x ≥1 ≥cos x， 等号不同时成立， 故x2 + 1 > 2x cos x， 即f (x) < x2 + 1， C 正确； x > 0 时， f (x) < 0的解集为( ) π 2 + 2kπ，3π 2 + 2kπ ， k ∈N， D正确. 11. 【解析】 线段EF 的中点在MN 上， A 错误； 倍长DA 到点L， 则L， M， D1 共线， L， F， C 共线， 即三线共点， B 正确； VD - EPD1 = VP - ED1D， 与点P的位置无关， C正确； CF不垂直D1F， CF也不垂直PF， 故不存在点P， D错误. 12. 【解析】 在△ABD 中， 由余弦定理得AD2 = 5 - 4 cos B， A 正确； sin ∠CAD ∈(0， 1)， B 错误； 当BA ⊥CD 时， S△ACD取最大值1 2， C正确； S四边形ACDE = S△ADE + S△ACD = S△ADE + S△ABC = AD2 4 + 1 2 sin B = 5 4 - cos B + 1 2 sin B ≤ 5 4 + (-1) 2 + ( ) 1 2 2 = 5 + 2 5 4 ， D正确. - - 1 三、 填空题： 本大题共4小题， 每小题5分， 共20分。 13.3 14.f (x) = logax(a > 1) （答案不唯一） 15. 7 24 16. 6 + 2 4 13. 【 解析 】| | b = a ⋅b | | a ⋅cos θ = 3. 14.略 15. 【解析】cos α + cos β = 2 cos α - β 2 cos α + β 2 = 7 5，sin α - sin β = 2 cos α + β 2 sin α - β 2 = 1 5 ⇒ tan α - β 2 = 1 7 ⇒tan (α - β) = 7 24. 16.【解析】π 2 < T < 3π ⇒2 3 < ω < 4. 又x = π 8 为对称轴⇒ω = 2 ⇒f ( ) π 6 = sin( ) 2 × π 6 + π 4 = sin 7 12 π = 6 + 2 4 . 四、 解答题： 本大题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17. （10分） 解： 方法一： （1） 设喜欢中辣、 微辣、 不辣口味的人数分别为4x人、 3x人、 2x人. 由题意， 得4x + 3x + 2x = 500 - 50， 解得x = 50. ∴4x = 200， 3x = 150， 2x = 100. ∴喜欢中辣、 微辣、 不辣口味的人数分别为200人、 150人、 100人. …………………………………… 5分 （2） 由分层抽样可得， 从喜欢特辣、 中辣、 微辣和不辣口味中抽取的人数分别为1人、 4人、 3人、 2人， 现从 喜欢中辣和不辣口味的6 人中随机抽取2 人， 记喜欢中辣口味的人为a， b， c， d， 喜欢不辣口味的人为A， B， 则 有ab， ac， ad， aA， aB， bc， bd， bA， bB， cd， cA， cB， dA， dB， AB， 共15种等可能的情况， 满足条件的有8种情况. ∴所求事件的概率为8 15. ……………………………………………………………………………… 10分 方法二： 解： （1） 喜欢中辣的人数： 4 4 + 3 + 2 × (500 - 50) = 200 （人） ； 喜欢微辣的人数： 3 4 + 3 + 2 × (500 - 50) = 150 （人） ； 喜欢不辣的人数： 200 × 1 2 = 100 （人） . ………………………………………………………………… 5分 （2） 在分层抽样的10人中： 喜欢特辣的人数： 10 × 50 500 = 1 （人） ； 喜欢中辣的人数： 10 × 200 500 = 4 （人） ； 喜欢微辣的人数： 10 × 150 500 = 3 （人） ； 喜欢不辣的人数： 10 × 100 500 = 2 （人） . 令喜欢中辣的为A1， A2， A3， A4， 喜欢不辣的为B1， B2， 则任选两人的情况有n = 6 × 5 2 = 15 （种） ， 选出两人口味不同的情况有m = 4 × 2 = 8 （种） . ∴选出的这两人喜欢不同口味的概率P = 8 15. ……………………………………………………… 10分 18. （12分） 解： （1） 若选①： ∵ 3      CB ⋅      CA + 2S = 0， - - 2 ∴ 3 ab cos C + 2 × 1 2 ab sin C = 0， ∴sin C + 3 cos C = 0， ∴tan C = - 3. 又0 < C < π， ∴C = 2π 3 . 若选②： ∵(a + b) sin A = (b + c) (sin C - sin B)， ∴(a + b)a = (b + c) (c - b)， ∴a2 + b2 - c2 = -ab， ∴cos C = a2 + b2 - c2 2ab = - 1 2. 又0 < C < π， ∴C = 2π 3 . 若选③： ∵c cos A + (a + 2b) cos C = 0， ∴c cos A + a cos C + 2b cos C = 0. 由射影定理b = c cos A + a cos C， 得b + 2b cos C = 0. ∴cos C = - 1 2. 又0 < C < π， ∴C = 2π 3 . ………………………………………………………………………………………………… 5分 （2） 方法一： 如图， ∵∠DBC = π 2 ， ∠BAD = π 3 ， ∠ABC = θ( ) 0 < θ < π 3 ， ∴∠ABD = π 2 - θ， ∠ADB = π 6 + θ. 在△ABD中， 由正弦定理， 得 AB sin( ) π 6 + θ = 3 sin π 3 ， ∴AB = 3 sin( ) θ + π 6 sin π 3 = 2 sin( ) θ + π 6 . 在△ABC中， 由正弦定理， 得 b sin θ = AB sin C. ∴b = 2 sin( ) θ + π 6 sin θ sin C = 4 3 3 sin( ) θ + π 6 sin θ = 2 3 3 sin( ) 2θ - π 3 + 1. ………………………… 9分 ∵0 < θ < π 3 ， ∴- π 3 < 2θ - π 3 < π 3 ， ∴- 3 2 < sin( ) 2θ - π 3 < 3 2 ， ∴b ∈(0， 2)， 即b的取值范围是(0， 2). ……………………………………………………………………………… 12分 方法二： 由题意， 得∠ABC = θ， ∠ABD = π 2 - θ， ∠BAD = π 3 ， - - 3 ∴∠ADB = π 6 + θ. 在△ABD中， 由正弦定理， 得 AB sin( ) π 6 + θ = BD sin ∠BAD = 3 sin π 3 = 2， ∴AB = 2 sin( ) π 6 + θ . 在△ABC中， 由正弦定理， 得 b sin θ = AB sin 2π 3 = 2 sin( ) π 6 + θ ⋅ 2 3 ， ∴b = 4 3 sin θ ⋅sin( ) π 6 + θ（0 < θ < π 3） ， ∴b = 4 3 sin θ ⋅( ) 3 2 sin θ + 1 2 cos θ = 4 3 ( ) 3 2 sin2θ + 1 4 sin 2θ = 4 3 ( ) 3 2 ⋅1 - cos 2θ 2 + 1 4 sin 2θ = 1 - cos 2θ + 1 3 sin 2θ = 2 3 ( ) sin 2θ ⋅1 2 - cos 2θ ⋅ 3 2 + 1 = 2 3 sin( ) 2θ - π 3 + 1.……………………………………………………………………………… 9分 ∵0 < θ < π 3 ， ∴- π 3 < 2θ - π 3 < π 3 ， ∴- 3 2 < sin( ) 2θ - π 3 < 3 2 ， ∴0 < b < 2， 即b的取值范围是(0， 2). ……………………………………………………………………………… 12分 19. （12分） （1） 证明： 如图2， 取AB的中点为F， 连接EF， CF， 则EF ∥PA. 在图1中， ∵CD ∥AB， CD = 1 2 AB = AF， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∴CF ∥DA， 即CF ∥OA， 在图2中， ∵CF ⋂EF = F， OA ⋂PA = A， ∴平面CEF ∥平面PAO， ∵CE ⊂平面CEF， ∴CE ∥平面PAO. ………………………………………………………… 5分 （2） 解： 由 （1） 可知， 平面CEF ∥平面PAO， 平面CEO交PA于点M， ∴OM ∥CE， ∴VM - PBC = VO - PBC = VP - OBC， ……………………………………………… 7分 VP - OBC = 1 3 S△OBC ⋅OP， VO - PBC = 1 3 S△PBC ⋅d， 在图1中， 连接AC， OB， 则△ACD是边长为2的等边三角形， AC ⊥BC， AC = 2. - - 4 ∵∠ABC = π 6 ， ∴BC = 2 3， ∴∠BCO = 2 3 π， ∴S△OBC = 1 2 CB ⋅CO sin ∠BCO = 1 2 × 2 3 × 3 × 3 2 = 3 3 2 . …………………………………… 9分 ∵PA = 2， OA = OP = 1， ∴PO ⊥OA. ∵PO ⊥OC， OC ⋂OA = O， ∴PO ⊥平面OAC， ∴PC = 2. ∵OB2 = OA2 + AB2 - 2OA ⋅AB cos ∠BAD = 1 + 16 - 2 × 1 × 4 × cos 120° = 21， ∴PB = OB2 + PO2 = 22， ∴cos ∠PCB = PC2 + BC2 - PB2 2PC ⋅BC = 22 + （ 2 3） 2 - 22 2 × 2 × 2 3 = - 3 4 ， ∴S△PBC = 1 2 PC ⋅BC sin ∠PCB = 1 2 × 2 × 2 3 × 13 4 = 39 2 ，…………………………………… 11分 ∴1 3 × 39 2 d = 1 3 × 3 3 2 × 1， ∴d = 3 13 13 . …………………………………………………………………………………………… 12分 20. （12分） 解： （1） 令该棋手恰胜一盘为事件A， 则P （A ）= 0.5 × （ 1 - 0.6 ）× （ 1 - 0.7 ）+ （ 1 - 0.5 ）× 0.6 × （ 1 - 0.7 ）+ （ 1 - 0.5 ）× （ 1 - 0.6 ）× 0.7 = 0.06 + 0.09 + 0.14 = 0.29.……………………………………………………… 6分 （2） P1 = 0.6 × 0.5 × (1 - 0.7) + (1 - 0.6) × 0.5 × 0.7 = 0.09 + 0.14 = 0.23，………………………… 8分 P2 = 0.5 × 0.6 × (1 - 0.7) + (1 - 0.5) × 0.6 × 0.7 = 0.09 + 0.21 = 0.30，…………………………… 10分 P3 = 0.5 × 0.7 × (1 - 0.6) + (1 - 0.5) × 0.7 × 0.6 = 0.14 + 0.21 = 0.35， ∴P1 < P2 < P3. ………………………………………………………………………………………… 12分 21. （12分） （1） 解： f (x) = 2 cos2( ) ωx 2 + π 12 - 1 = cos( ) ωx + π 6 = sin( ) ωx + 2π 3 . ………………………………… 2分 令- 4ωπ 9 + 2π 3 = 0， 则ω = 3 2. …………………………………………………………………………… 3分 ∴f (x) = sin( ) 3 2 x + 2π 3 ， ∴f (x) 的对称轴方程为x = 2 3 kπ - π 9 （k ∈Z） . ………………………………………………………… 5分 （2） 证明： g(x) = f é ë ê ê ê ù û ú ú ú 2( ) x - π 18 = sin é ë ê ê ê ù û ú ú ú 3 2 × 2( ) x - π 18 + 2π 3 = sin( ) 3x + π 2 = cos 3x. ……………… 6分 ∴4f ( ) 2 3 x - π 3 f ( ) 2 3 x - π 9 f ( ) 2 3 x + π 9 = 4 sin é ë ê ê ê ù û ú ú ú 3 2( ) 2 3 x - π 3 + 2 3 π sin é ë ê ê ê ù û ú ú ú 3 2( ) 2 3 x - π 9 + 2π 3 sin é ë ê ê ê ù û ú ú ú 3 2( ) 2 3 x + π 9 + 2π 3 = 4 sin( ) x + π 6 sin( ) x + π 2 sin( ) x + 5π 6 = 4 cos x sin( ) x + π 6 sin( ) x + 5π 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 - - 5 = 4 cos x ⋅( ) - 1 2 ì í î ü ý þ cos é ë ê ê ê ù û ú ú ú ( ) x + π 6 + ( ) x + 5π 6 - cos é ë ê ê ê ù û ú ú ú ( ) x + π 6 - ( ) x + 5π 6 = -2 cos x( ) -cos 2x + 1 2 = 2 cos x cos 2x - cos x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 = 2 cos 2x cos x - cos( ) 2x - x = 2 cos 2x cos x - cos 2x cos x - sin 2x sin x = cos 2x cos x - sin 2x sin x = cos 3x = g(x). …………………………………………………………………………………………………… 12分 22. （12分） 解： （1） ∵f (x) 为偶函数， ∴14m - 8mn + 8 = 0， ∴n = 7 4 + 1 m. …………………………………………………………………………………………… 2分 ∵m > 1， ∴0 < 1 m < 1， ∴7 4 < 7 4 + 1 m < 11 4 ， 即7 4 < n < 11 4 . …………………………………………………………………………………………… 4分 又n ∈N∗，