福建省福州市八县（市）协作校2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题(1)

高二数学 第 1 页，共4 页 福州市八县（市）协作校2021-2022 学年第一学 期期中联考 高二 数学试卷 【完卷时间：120 分钟；满分：150 分】 一、单选题（本题共8 小题,每小题5 分，共40 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.抛物线y＝8x2的准线方程是（ ） A．y＝－2 B．x＝－1 C．y＝－ D．x＝－ 2.圆x2+ y2−2 x−4 y+4=0 与圆( x−1)2+( y+2)2=9 的位置 关系为（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 3.已知直线mx−ny+1=0 平行于直线4 x+3 y+5=0 ，且在y 轴上的截距为 1 3 ，则m，n 的值分别为（ ） A．4 和3 B．－4 和3 C．－4 和－3 D．4 和－3 4.椭圆x2 n2+1 + y2 n2 =1(n>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若 ∠F1 AF2= π 3 ，则n=（ ） A. 2 B.1 C.√2 D.√3 5.设点A（1，3），B（3，2），若直线ax−y−2=0 与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） 高二数学 第 2 页，共4 页 A．[ 4 3 ,5] B．(−∞, 4 3 ]∪[5,+∞) C．( 4 3 ,5) D． (−∞, 4 3 )∪(5,+∞) 6.已知F 为双曲线 的右焦点，A 为C 的右顶 点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴。若AB 的斜率为3，则C 的 渐近线方程为（ ） A.y=±√3 x B. y=±√3 3 x C.y=±2 x D. y=±1 2 x 7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮 马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮 马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸 线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即 回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.3√2−1 B.2 C.√17 D.√17−1 8．椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) 上一点A 关于原点的对称点为B，F 为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈ [ π 12 , π 4 ] ，则该椭圆 离心率的取值范围为（ ） A．[ ，1] B．[ ， ] C． [ ，1） D．[ ， ] 二、多选题（本题共4 小题,每小题5 分，共20 分。在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得2 分。） 高二数学 第 3 页，共4 页 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若直线l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 B．已知 为空间的一个基底，若 ，则 也是空 间的基底 C．若对空间中任意一点O，有 ，则P，A， B，C 四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 这两个向量共线 10．已知曲线C 的方程为 ，则下列结论正确的 是（ ） A．当k＝4 时，曲线C 为圆 B．当k>2 时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线 C．若曲线C 为椭圆，且焦距为2√2，则k＝5 D．不存在实数k，使得曲线C 为抛物线 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q 分别为棱BC 和棱CC1的中 点，则下列说法正确的是（ ） A．异面直线QP 与A1C1所成的角为45° B．A1D⊥平面AQP C．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 D．点M 在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ 的体积不变 12．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂 亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。如我们 熟悉的 符号，我们把形状类似 的曲线称为“ 曲线”。在平面 直角坐标系 中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为“ 曲线”C。已知点 是“ 曲线”C 上一点，下列说法中正确的有（ ） 高二数学 第 4 页，共4 页 A．“ 曲线”C 关于原点O 中心对称 B． C．“ 曲线”C 上满足 的点P 有两个 D． 的 最大值为 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。） 13.已知＝（1，1，0），＝（﹣1，3，2），且k + 与2 ﹣ 垂直，则k 的值为 。 14．已知抛物线 经过点 为抛物线的焦点， 且 ，则 的值为 。 15.1765 年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重 心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形 的欧拉线，若△ABC 的顶点都在圆x2+y2＝4 上，边AB 所在直线 方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则 △ABC 的欧拉线方程为 。 16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4 的正方体的水槽，水面高度恰为正方体 棱长的一半，在该正方体侧面 有一个小孔 ， 点到 的距离为 3，若该正方体水槽绕 倾斜（ 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 与桌面所成的角 正切值为 。 四、解答题（本题共6 小题,共70 分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。） 17．（10 分）如图，三棱柱 中，底面边长 和侧棱长都等于1， 。 （1）设 ， ， ，用向量 ， ， 高二数学 第 5 页，共4 页 表示⃗ AB1， ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 18.（12 分）已知圆 经过点P(5，0)和点Q(1，4),且圆心在直线 上。 （1）求圆 的标准方程； （2）若过点 的直线与圆 相交于A，B 两点，且 ∠ACB=120O，求直线的方程。 19.（12 分）已知双曲线E： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点 为F，离心率e＝2，虚轴长为2 。 （1）求E 的方程； （2）过右焦点F，倾斜角为30O的直线交双曲线于A、B 两点，求｜ AB|。 20．（12 分）如图，在四棱锥P－ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝ ∠CDP＝90°。 （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）若PD＝2,AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP 与 平面DBP 所成角的余弦值。 21．（12 分）设圆 的圆心为P，点Q(−√3,0)， 点H 为圆上动点，线段HQ 的垂直平分线与线段HP 交于点E，设点 E 的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C 的方程； （2）若直线l 与曲线C 交于点A，B，与圆 切于点M， 问： 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定 B D A C P 高二数学 第 6 页，共4 页 值，说明理由。 22．（12 分）如图，在三棱锥P ABC  中，平面PAC 平面ABC ， ABC △ 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 16 AC  ， 10 PA PC   ，O 为AC 中点，H 为∆PBC 内的动点 （含边界）。 （1）求点O 到平面PBC 的距离； （2）若 // OH 平面PAB ，求直线PH 与平面ABC 所成 角的正弦值的取值范围。