浙江省台州市2021-2022学年高一上学期期末质量评估数学试题(0001)

台州市2021 学年第一学期高一年级期末质量评估试题 数学 2022.01 一､单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合   2, 1,0,1,2 A   ，   | 1 2 B x R x     ，则A B   （ ） A.  B. {-1，0，2} C. {-1，0} D. {-1，0，1} 2. 设f（x）是定义在R 上的奇函数，若   1 1 f  ，则f（1）=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 不等式 0 1 x x   的 解集为（ ） A. （∞，0） B.     ,0 0,    C. （0，1） D. （∞，1） 4. sin 75 cos15 cos75 sin15       （ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 0 D. 1 5. 函数  sin2 2 x x x f x  的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 设, a bR ，则“ 1, 1 a b   是“a b ab   ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足 1 1 2 2 2 5lg 2 5lg m E m E    ，其中星等为 k m 的星的亮度为   1,2 k E k  .已知甲天体的星等是 26.7，甲天体与乙天体的亮度的比值为 10,1 10 ，则乙天体的星等是（ ） A. 1.45 B. 1.45 C. 2.9 D. 11.9 8. 已知函数  2 2 f x ax x   的定义域为区间[m，n]，其中, , a m n R  ，若f（x）的值域为[-4， 4]，则n m  的取值范围是（ ） A. [4，4 2 ] B. [2 2 ，8 2 ] C. [4，8 2 ] D. [4 2 ，8] 二､多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项 中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的 得0 分. 9. 下列函数中，定义域为  0,   的函数是（ ） A. ln y x  B. 1 2 y x   C. y x  D. 2x y  10. 设函数  sin(2 ) 3 f x x    ，则下列结论正确的是（ ） A. 点( ,0) 6   是函数  f x 图象的 一个对称中心 B. 函数  f x 的最小正周期为π C. 12 x   是函数  f x 图象的一条对称轴 D. 函数  f x 在[ , ] 6 6   上单调递增 11. 若 , , a b cR ，则下列命题正确的是（ ） A. 若 0 c a b    ，则 a b c a c b    B. 若 0 a b c    ，则 c c a b  C. 若 0 a b c    ，则 a c a b c b    D.   2 2 2 4 3 a b c a b     12. 若存在 , R  ，使得函数       sin , cos f x x g x x       在区间[0，2  ]上均单调 递增，则可能成立的是（ ） A.     sin 0,cos 0         B.     sin 0,cos 0         C.     sin 0,cos 0         D.     sin 0,cos 0       三､填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分. 13. 若实数a 满足 1 2 a a  ，则 2 2 a a  ___________. 14. 设函数 2 , 1 ( ) , 1 x a x f x x x       ，若     2 9 f f  ，则实数a 的值为___________. 15. 在△ABC 中，若 1 sin 2 A  ， 3 tan 3 B  ，则cosC=___________. 16. 设 0, 0 a b   ，若3 2 3 a b ab    ，则   3 3 ) log 2 log ( 3 a b    的最大值为___________. 四､解答题：本大题共5 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合 | 1 2) A x x    ，集合 { ( 1)( ) 0} B x x x a     ∣ . （1）求集合A； （2）若2 A B    ，求实数a 的取值范围. 18. 已知函数  2 sin cos 3cos f x x x x   ，xR . （1）当 2 , 0 x       时，求  f x 的最小值； （2）求使  0 f x  成立的x 的取值集合. 19. 已知函数  1 sin2 2 f x x  ，若将函数f（x）的图象向左平移12  个单位长度，再向上平移 3 2 个单位长度得到函数g（x）的图象. （1）求函数g（x）的解析式和值域； （2）若对任意的xR ，   2 2 0 g x mg x   恒成立，求实数m 的取值范围. 20. 一家农产品网店要对指定的四件商品进行优惠促销活动，商品原价分别为110 元､75 元､50 元､m 元.促销方案如下：若购买的商品总价超过100 元，则可享受8 折优惠；享受8 折优惠后， 若满200 元可再减免x 元（ 10 x  ）；但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%. （1）若m=200，x=25，且顾客只选购了其中的两件商品，求优惠总额最多时顾客支付的金额； （2）若顾客支付220 元恰好买齐这四件商品，求m 的最小值. 21. 已知函数  ln ( 0,e 2.71828 ex a f x x a     L 为自然对数的底数）. （1）当 1 a 时，判断函数  f x 的单调性和零点个数，并证明你的结论； （2）当   1,e x 时，关于x 的不等式 2 ln f x x a   恒成立，求实数a 的取值范围. 1【答案】D 2【答案】A 3【答案】C 4【答案】A 5【答案】C 6【答案】D 7【答案】B 8【答案】C 9【答案】AB 10【答案】ABC 11【答案】ABD 12【答案】BC 13【答案】6 14【答案】5 15【答案】 1 2  ## 0.5  16【答案】1 17【答案】（1） { 1 3} A x x     ∣ （2）(2, )  【小问1】 | 1| 2, x    2 1 2, x     1 3 x    所以集合 { 1 3} A x x     ∣ ； 【小问2】 2 A B     且2 A   ， 2 B   ( 2 1) ( 2 ) 0 a      ，解得： 2 a  ， ∴实数a 的取值范围是(2, ) . 18【答案】（1） 3  （2）{ | , } 3 2 x k x k k Z         【小问1】 解：由函数    1 3 3 sin2 1 cos2 sin 2 2 2 3 2 f x x x x              ， 因为 2 , 0 x        ，可得 2 2 , 3 3 3 x            ，则 3 sin 2 ,1 3 2 x                ， 所以 max 3 3 3 2 2 f x    . 【小问2】 解：由函数  3 sin 2 0 3 2 f x x            ，即 3 sin 2 3 2 x          ， 可得 2 2 2 2 , 3 3 3 k x k k Z            ，解得∴ , 3 2 k x k k Z         ， 所以x 的取值集合为{ | , } 3 2 x k x k k Z         . 19【答案】（1） 1 3 sin 2 2 6 2 g x x           ，值域为[1，2] （2）[3，+∞） 【小问1】 由题意可知函数g（x）的解析式为 1 3 sin 2 2 6 2 g x x           ∵1 sin 2 1 6 x            ， 1 3 1 sin 2 2 2 6 2 x            . 所以函数g（x）值域为[1，2]； 【小问2】 记  t x g  ，则   1,2 t  由   2 2 0 g x mg x   恒成立，可知 2 2 0 t mt   恒成立. 即 2 2 mt t   恒成立，因为 0 t  ，所以 2 2 2 t m t t t    令 2 h t t t  ，因为h（t）在[1， 2 ]上单调递减，在 2,2    上单调递增. 又   min 2 2 2 h t h   . max (1) (2) 1 2 3 h t h h    . 当 max ( ) 3 m h t  时，不等式   2 2 0 g x mg x   恒成立. 所以实数m 的取值范图是[3，+∞）. 20【答案】（1）223 元 （2）52.5 【小问1】 解：因为m=200，x=25，所以顾客选购的2 件商品的原总价可能为250，275，310（元） 当2 件商品的原总价为250 元时，250 80% 200   ，200 25 175 250 70%     ， 优惠总额为250 175 75   元； 当2 件商品的原总价为275 元时，275 80% 220 200    ，220 25 195 275 70%     ，优 惠总额为275 195 80   元； 当2 件商品的原总价为310 示时，310 80% 248 200    ，248 25 223 310 70%     ，优 惠总额为310 223 87   元 所以优惠总额最大为87 元，此时顾客需支付的金额为223 元. 【小问2】 由题意得，买齐这四种商品的原总价为( 235 m  ） ，超过了100 元，享受8 折优惠后应付款金额 为  235 80% 0.8 188 m m     ， 因为求m 的最小值，所以m 应满足 10 0.8 188 220 0.7( 235) 220 200 0.8 188 x m x m m                ， 解得 555 52.5 7 m   ，所以m 的最小值为52.5. 21【小问1】 函数  f x 的定义域为  0,   . 当 1 a 时，函数  e 1 ln x f x x   在  0,   上单调递减，证明如下： 任取   1 2 , 0, x x  ，且 1 2 x x  ，   1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ln e e e e x x x x f x f x x x x x          2 1 1 2 2 1 e e ln e e x x x x x x     ∵ 1 2 0 x x   ，∴ 2 1 2 1 1,e e 0 x x x x    ， 2 1 ln 0 x x   ∴   1 2 0 f x f x   ，即   1 2 f x f x  . 所以函数  e 1 ln x f x x   在  0,   上单词递减. 又 1 1 1 1 (1) ln1 0, (e) ln e 1 0 e e e ex x f f         ∴  e 1 ln x f x x   在区间  1,e 上存在零点，且为唯一的零点. ∴函数  f x 的零点个数为1 个 【小问2】 ( ) 2 ln f x x a   可化为 ln 2 ln ex a a x x    . 可化为 ln e ln ln a x a x x x     . 可化为 ln ln e ln e ln a x x a x x     . 令 ex g x x   ，可知( ) e x g x x   在R 单调递增， 所以有ln ln a x x   ，即ln ln a x x   令( ) ln h x x x   ，可知( ) ln h x x x  在 (0, )  上单调递增. 即( ) ln h x x x   在  1,e 上单调递增， max ( ) (e) ln e e 1 e h x h     e 1 max ln ( ) e 1 ln e a h x     ， e 1 e a    所以实数a 的取值范图是  e 1 e ,   .