广东省顶级名校2021-2022学年高二上学期入学考试 数学

2021－2022 学年度高二第一学期入学考试 数学 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共8 页。时量120 分钟。满分 100 分。 第I 卷 一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知a∈R，则“a>1”是“ <1”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.已知复数z 满足(z－1)i＝1＋i，则z＝ A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i 3.下列命题中不正确的是 A.一组数据1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数相同 B.有A，B，C 三种个体按3：1：2 的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样 本容量为30 C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙 D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1 的85%分位数为5 4.已知两条不同的直线l，m 和不重合的两个平面α，β，且l β ⊥，有下面四个命题：①若 m β ⊥，则l//m；②若α//β，则l α ⊥；③若α⊥β，则l//α；④若l m ⊥ ，则m//β。其中真命题 的序号是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①④ 5.已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a//b，则|2a＋3b|＝ A. B.4 C.3 D.2 6.不等式x2＋2x< 对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是 A.(－2，0) B.(－∞，－2)∪(0，＋∞) C.(－4，2) D.(－∞，－4)∪(2，＋∞) 7.某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11 的概率为 A. B. C. D. 8.已知函数f(x)＝ ，则方程f(f(x))＝1 的根的个数为 A.3 B.5 C.7 D.9 二、选择题(本题共4 小题，每小题4 分，共16 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得4 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分) 9.小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分)随交通堵塞状况有所变化，其概率分 布如表所示： 则下列说法正确的是 A.任选一条线路，“所需时间小于50 分钟”与“所需时间为60 分钟”是对立事件 B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C.如果要求在45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100 分钟的概率为0.04 10.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后，所 得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是 A.φ＝ B.( ，0)是f(x)图象的一个对称中心 C.f(φ)＝－2 D.x＝－ 是f(x)图象的一条对称轴 11.如图，在棱长为6 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 为棱DD1上一点，且DE＝2，F 为 棱C1D1的中点，点G 是线段BC1上的动点，则 A.无论点G 在线段BC1上如何移动，都有A1G⊥B1D B.四面体A－BEF 的体积为24 C.直线AE 与BF 所成角的余弦值为 D.直线A1G 与平面BDC1所成最大角的余弦值为 12.已知定义在R 上的函数y＝f(x)满足条件f(x＋ )＝－f(x)，且函数y＝f(x－ )是奇函数 则四个命题中，正确的命题有 A.函数f(x)是周期函数 B.函数f(x)的图象关于点(－ ，0)对称 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)在R 上是单调函数 第II 卷 三、填空题(本题共4 小题，每小题3 分，共12 分) 13.函数f(x)＝ 的定义域为R，则实数m 的取值范围是 。 14.已知tanθ＝2 则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＋3 的值为 。 15.已知△ABC 三个顶点都在球O 的表面上，且AC＝BC＝1，AB＝ ，S 是球面上异于 A、B、C 的一点，且SA⊥平面ABC，若球O 的表面积为16π，则球心O 到平面ABC 的距 离为 。 16.在△ABC 中，已知 ，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P 为线段AB 上的一点， 且 ，则 的最小值为 。 四、解答题(本题共6 小题，每小题8 分，共48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。) 17.(本小题满分8 分) 已知m>0，p：(x＋1)(x－5)≤0，q：1－m≤x≤1＋m。 (1)若m＝5，p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。 18.(本小题满分8 分) △ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，设 bsinA＝a(2＋cosB)。 (1)求B； (2)若△ABC 的面积等于 ，求△ABC 的周长的小值。 19.(本小题满分8 分) 某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C 三道工序加工而成的，A，B，C 三 道工序加工的元件合格率分别为 ， ， 。已知每道工序的加工都相互独立，三道工序 加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不 进入市场。 (1)生产一个元件，求该元件为二等品的概率； (2)从该工厂生产的这种元件中任意取出3 个元件进行检测，求至少有2 个元件是一等品的 概率。 20.(本小题满分8 分) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC＝1，AA1＝2。 (1)求证：A1C⊥平面ABC； (2)设直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 ，求二面角A1－BB1－C 的余弦值。 21.(本小题满分8 分) 已知向量m＝( sin ，1)，n＝(cos ，cos2 )。 (1)若m·n＝1，求cos( －x)的值； (2)记f(x)＝m·n，在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝ bcosC，求函数f(A)的取值范围。 22.(本小题满分8 分) 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0 且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R 的奇函数。 (1)求k 的值； (2)判断并证明当a>1 时，函数f(x)在R 上的单调性； (3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1，2]时恒成立。请求出最大的整数λ。