黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学答案

考试时间：2022 年10 月___ 1 大庆铁人中学2022 级高一上学期月考考试 数学参考答案 一．单选题（60 分） 二、填空题(20 分) 13．8 14．81 15． 2 3 0 3       ， 16．1 三、解答题（70 分） 17．（1）当 3 a  时，   4 8 N x x    ，而   6 1 /     x x M CU ， 所以   8 1 /     x x N M CU  ） （ . （2）因N M  ，则当 1 3 1 a a  ，即 1 a 时，N ，此时满足N M  ，即 1 a ， 当 1 3 1 a a  ，即 1 a 时，N ，则有3 1 1 a 或 1 6 a  ，即 0 a  或 5 a  ，因此 5 a  ， 所以实数a 的取值范围为    ,1 5,   . 18．解：因为函数  2 9 x x ax f b    是定义在  3,3  上的奇函数 所以  0 0 9 b f    ，解得 0 b  ． 经检验，当 0 b  时，  2 9 ax f x x   是  3,3  上的奇函数，满足题意． 又  2 1 1 9 1 8 a f    ，解得 1 a ，所以    2 , 3,3 9 x f x x x    ． （2）解：  f x 在  3,3  上为增函数．证明如下： 在  3,3  内任取 1 2 , x x 且 1 2 x x  ， 则   ) 3 )( 3 )( 3 )( 3 ( ) 9 )( ( 9 ) 9 ( 9 9 9 9 ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f                   ， 因为 3 3 2 1     x x ，所以 0 3 , 0 3 0 3 , 0 3 , 0 9 , 0 2 1 2 1 2 1 2 1             x x x x x x x x ， 所以 0 ) ( ) ( 2 1   x f x f ，即 ) ( ) ( 2 1 x f x f  ， 所以  f x 在  3,3  上为增函数． 19．（1）对 m m x x 3 1 3 1 1 2         ，不等式 恒成立， ） （ 令 1 1 1 3 ) (       x x x f ，则  2 min 3 f x m m   ， 当   1 , 1   x 时， 2 ) 1 ( ) ( min   f x f 即 2 3 2 m m  ，解得1 2 m   . 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是  1,2 . （2） 若q为真命题， 则存在   1,1 x ， 使得m x  成立， 所以 max x m  ； 故当命题q为真时， 1  m . 又 p  ，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p 真q假时，由 1 2 1 m m       ，得1 2 m   ； 当p 假q真时，由 1 m 或 2 m  ，且 1  m ，得 1 m . 综上所述，m 的取值范围为    ,1 1,2   . 20.（1）由题意可得 2 2 (1 ) 2 2 (1 ) 0 ax a x a ax a x a         对一切实数成立， 当 0 a  时， 0 x  不满足题意； 当 0 a  时，得 2 2 0 1 (1 ) 4 0 3 a a a a          . 所以实数a 的取值范围为 1 3 a a        . （2）由题意可得 2 2 (1 ) 2 1 (1 ) 1 0 ax a x a a ax a x          ， 当 0 a  时，不等式可化为 1 x ，所以不等式的解集为  1 x x  ， 当 0 a  时， 2 1 (1 ) 1 0 ( 1)( 1) 0 1 ax a x ax x x a          ， 当 0 a  时， 2 (1 ) 1 0 ( 1)( 1) 0 ax a x ax x        ， ①当 1 a ，解集  1 x x  ， ②当1 0 a   ，解集为 1 x x 或 1 x a    ， ③当 1 a ，解集为 1 x x 或 1 x a     . 综上所述， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B D D C C A A B D 考试时间：2022 年10 月___ 2 当 1 a ，不等式的解集为 1 x x 或 1 x a    ， 当 1 a ，不等式的解集为  1 x x  ， 当1 0 a   ，不等式的解集为 1 x x 或 1 x a    ， 当 0 a  时，不等式的解集为  1 x x  ， 当 0 a  时，不等式的解集为 1 1 x x a          . 21．（1） 2 1 20000 1 20000 1 20000 5 , 5 2 5 25 200 200 200 P p x x x x x x x           ， 当且仅当20000 1 200 x x  ，即 2000 x  时取等号， 所以每月生产2000 套玩具时，平均每套所需的成本费用最少，为25 元； （2）设利润为 2 2 1 30 20000 5 25 20000 100000 100 200 200 x x s x x x x                      ， 所以 2 5000 24000000 0 x x    ，即( 8000)( 3000) 0 x x    ， 所以 3000 3000, 75% 4000 x    ， 所以该企业的复工率至少达到75%时，才能确保月利润不少于10 万元． 22． 解： (1)∵由已知可得              1 0 , 1 1 1 , 1 1 ) ( x x x x x f ， ∴ ( ) f x 在(0,1)上为减函数， 在(1, ) 上为增函数， 由0 a b   且 ( ) ( ) f a f b  ，可得0 1 a b   且1 1 1 1 a b  ，故1 1 2 a b   . (2)不存在满足条件的实数a、b. 若存在满足条件的实数a、b，则0 a b   . ①当a， (0,1) b 时， 1 ( ) 1 f x x  在(0,1)上为减函数 故 ( ) ( ) f a b f b a      ，即 1 1 1 1 b a a b          ，解得a b  ，故此时不存在符合条件的实数a、b. ②当a， [1, ) b 时， 1 ( 1 ) f x x  在[1, ) 上是增函数.故 ( ) ( ) f a b f b a      ，即 1 1 1 1 a a b b          ， 此时，a、b 是方程 2 1 0 x x   的根.此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b. ③当 (0,1) a  ， [1, ) b 时， 由于1 [ , ] a b  ，而 (1) 0 [ , ] f a b  ，故此时不存在符合条件的实数a、b. 综上可知，不存在符合条件的实数a、b. (3)若存在实数a、b（a b  ），使得函数 ( ) y f x  的定义域为[ , ] a b 时，值域为[ , ] ma mb ，且 0 a  ， 0 m  . ①当a， (0,1) b 时，由于 ( ) f x 在(0,1)上是减函数，故 1 1 1 1 mb a ma b          . 此时得 1 1 a b m ab ab     ，得a b  与条件矛盾，所以a、b 不存在 ②当 (0,1) a  ， [1, ) b 时，易知0 在值域内，值域不可能是[ , ] ma mb ，所以a、b 不存在. ③故只有a， [1, ) b . ∵ ( ) f x 在[1, ) 上是增函数，∴ ( ) ( ) f a ma f b mb      ，即 1 1 1 1 ma a mb b          ， a、 b 是方程 2 1 0 mx x    的两个不等根.即关于x 的方程 2 1 0 mx x    有两个大于1 的不等实根. 设这两个根为 1 x 、 2 x ，则 1 2 1 x x m   ， 1 2 1 x x m   . ∴ 1 2 1 2 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 x x x x              ，即 1 4 0 1 2 0 m m          ，解得 1 0 4 m   . 故实数m 的取值范围是       4 1 0， .