河南省商丘名校2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年下期第一次联考 高二数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一､选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1.设函数 ，则 （ ） A. B. C. D.0 2.下列三个数依次成等比数列的是（ ） A. B. C. D. 3.直线 ，当 变动时，所有直线都通过定点（ ） A. B. C. D. 4.已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5.设函数 在点 附近有定义，且 为常数，则（ ） A. B. C. D. 6.若 成等差数列，而 和 都分别成等比数列，则 的值为（ ） A.16 B.15 C.14 D.12 （北京）股份有限公司 7.如图，在斜棱柱 中， 与 的交点为点 ，则 （ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 8.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线 的图象的一部分，当拱顶 到水面的距离为4 米 时，水面宽 为 米，则当水面宽度为 米时，拱顶 到水面的距离为（ ） A.4 米 B. 米 C. 米 D. 米 9.设等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，已知 ，若 ，则正整数 的值为（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 10.函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，下列排序正确的是（ ） （北京）股份有限公司 A. B. （北京）股份有限公司 C. D. 11.如图所示，三棱锥 中， 为等边三角形， 平面 .点 在线段 上，且 ，点 为线段 的中点，以线段 的中点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，则下列说法不正确的是（ ） A.直线 的一个方向向量为 B.点 到直线 的距离为 C.平面 的一个法向量为 D.点 到平面 的距离为1 12.几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点 是椭圆族 上任意一点，如图所示， 椭圆族 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点 ；③过定点 ，则 的 最大值是（ ） （北京）股份有限公司 A.5 B.7 C.9 D.11 二､填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知向量 为平面 的法向量，点 在 内，则点 到平面 （北京）股份有限公司 的距离为__________. 14.函数 ，则曲线 在 处的切线方程为__________. 15.图1 为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分.如图2，已知该卫星接收天线的口径 米，深度 米，信号处理中心 位于焦点处，以顶点 为坐标原点，建立如图2 所示的平面 直角坐标系 ，则该抛物线的标准方程为__________. 16.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 __________. 三､解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10 分）在平面直角坐标系中分别求以下方程. （1）求过两直线： 的交点，且斜率为2 的直线的一般式方程； （2）在 中，已知 ，且 ，求顶点 的轨迹方程. 18.（本题满分12 分） 记 为等差数列 的前 项和，已知 . （1）求 的通项公式 和 ； （2）设数列 的前 项和为 ，求 . 19.（本题满分12 分） 如图，线段 是圆柱 的母线， 是圆柱下底面 的内接正三角形， . （北京）股份有限公司 （1）劣弧 上是否存在点 ，使得 平面 若存在，求出劣弧 （北京）股份有限公司 的长度；若不存在，请说明理由. （2）求平面 和平面 夹角的余弦值. 20.（本题满分12 分） 已知动点 到定点 的距离比 到直线 的距离小2，设动点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）设 是 轴上的点，曲线 与直线 交于 ，且 的面积为 ，求点 的坐标. 21.（本题满分12 分） 已知数列 的前 项和为 ，满足 . （1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2）若不等式 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围. 22.（本题满分12 分） 已知椭圆 ，过动点 的直线交 轴于点 ，交 于点 （ 在第一象 限），且 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，连接 并延长，交 于点 . （1）设直线 的斜率为 的斜率为 ，证明： 为定值； （2）设直线 的倾斜角为 ，求 的最小值. 2022-2023 学年下期第一次联考 高二数学参考答案 一､选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1.D （北京）股份有限公司 【解析】因为 为常数，所以 .故选D. 2.C 【解析】 选项错误； 选项错误.因为 ，所以 依次成等比数列， 选项正确. 选项错误.故选 . （北京）股份有限公司 3.A 【解析】直线 可化为 ，表示过点 ，斜率为 的直线，所 以所有直线都通过定点 .故选A. 4.B 【解析】若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得： . 所以 成立的充要条件是： .结合四个选项可知： 成立的充分不必要条件是 ，故选 . 5.C 【解析】由题意得 ，故选C. 6.D 【解析】 成等差数列， ，又 与 都分别成等比数列， .联立 解得 .故选 . 7.A 【解析】 ， .故选A. 8.D 【解析】根据题意： ，故 ，解得 ，即 ， 当水面宽度为 米时，即 时， ，拱顶 到水面的距离为 .故选D. 9.A 【解析】设等差数列 的公差为 ， （北京）股份有限公司 ，所以 ， 则 ，所以 ，所以 ， （北京）股份有限公司 所以 ， 因为 ，所以 ，解得 .故选A. 10.C 【解析】因为 分别是函数 在 处的切线斜率，由图可知 ，又 ， 所以 ，故选C. 11.C 【解析】依题意， ；若 ， 则 ，则 ，故A 正确； ，故 点到直线 的距离 ，故B 正确； 设 为平面 的法向量，则 ，即 ，令 ，则 为平面 的一个法向量，故 错误； 而 ，故点 到平面 的距离 ，故D 正确.故选C. 12.A 【解析】如图所示，设点 所在椭圆的另一焦点为 ，则 （北京）股份有限公司 .故选A. （北京）股份有限公司 二､填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 14. 15. 16.10240 13.【解析】 ，点 到平面 的距离为 . 14.【解析】由题意， 故 ， 则曲线 在 处的切线方程为： ，即： 15.【解析】设抛物线方程为 ， 依题意 ，代入 得 ， 所以抛物线标准方程为 . 16.【解析】由题意得 ，所以 ，解得 ， 又因为 ，于是 ， 因此数列 是以 为首项､2 为公比的等比数列， 故 ，于是 ， （北京）股份有限公司 因此数列 是以1 为首项､1 为公差的等差数列， 故 ，故 ，所以 . （北京）股份有限公司 三､解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17.【解析】 （1）由 可得 ， 所以 的交点为 ， 故过 且斜率为2 的直线的方程为 即 . （2）根据正弦定理由 可得 ， 设顶点 的坐标为 ，则 ， 因为构成三角形，故 ， 故轨迹方程为 . 18.【解析】 （1）设等差数列 的公差为 ，由 得到 ，解得 ， 得 . （2）当 时， 当 时， 故 所以 .（不求 ，直接求 也得分） （北京）股份有限公司 19.【解析】 （1）如图过点 作 的平行线 交劣弧 于点 ，连接 ， 因为 平面 平面 ，则 平面 （北京）股份有限公司 同理可证 平面 ，且 平面 平面 所以平面 平面 ，又因为 平面 ，所以 平面 故存在点 满足题意. 因为 为底面 的内接正三角形， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 的半径为 ， 所以劣弧 的长度为 . （2）如图取 的中点为 ，连接 ，以 为 轴， 为 轴，过 作 平行线为 轴，建立 空间直角坐标系， 又因为 ，设 中点为 . （北京）股份有限公司 故 ， ，易知平面 的法向量 设平面 的法向量为 ， （北京）股份有限公司 又因为 故 即 ， 令 得 易知平面 和平面 夹角为锐角， 所以平面 和平面 大角的余弦值为 20.【解析】 （1）依题意动点 到定点 的距离等于动点 到直线 的距离， 由抛物线的定义可知，动点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 . （2）联立方程 ，整理得 . 设 ，则有 . 于是 . 设 到直线 的距离为 ，因为 ， 由点到直线的距离公式得 . 又 ，所以 ， （北京）股份有限公司 于是 . 解得 或 ，. 故点 的坐标为 或 . （北京）股份有限公司 21.【解析】 （1） ① ② ①-②得 ，即 ， 变形可得 ，. 又 ，得 故数列 是以-1 为首项， 为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式可得 ， . （2）令 ，则 . . 当 或 时， ， 当 时， 又 ， 因为不等式 对任意的正整数 恒成立， 解得 . （北京）股份有限公司 22.【解析】 （1）设直线 ，显然 ， （北京）股份有限公司 令 ，得 ，则 ， 因为 是线段 的中点， 所以 ， 所以 ， 又 所以 为定值. （2）联立 ，消去 并整理得 ， 则 ，则 ， 根据韦达定理可得 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 由（1）知， ， 所以直线 的方程为 ， （北京）股份有限公司 联立 ，消去 并整理得 ， 则 ，则 ， 根据韦达定理可得 ， （北京）股份有限公司 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 ；即 的最小值为 .