河南省商丘名校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年上期期中联考高二数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1.若直线的方向向量 ，则直线的斜率是（ ） A. B. C.3 D. 2.椭圆 的离心率是（ ） A. B. C. D. 3.若曲线 表示圆，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4.如图，在平行六面体 中， （ ） A. B. C. D. 5.已知 ， 两点到直线 的距离相等，则 （ ） A.2 B. C.2 或 D.2 或 6.设 为实数，若直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则 （ ） （北京）股份有限公司 A.3 B. C.3 或 D. 或1 7.直三棱柱 中， 为等边三角形， ， 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 8.“直线 与直线 相互垂直”是“ ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知直线过定点 ，且方向向量为 ，则点 到的距离为（ ） A. B. C. D. 10.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 ， 两点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 11.过圆 内一点 作直线交圆 于 ， 两点，过 ， 分别作圆的切线交于点 ，则 点 的坐标满足方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四棱雉 中，底面 为平行四边形，且 ， ， ，若二面角 为60°，则 与平面 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.设直线 与圆 相交于A，B 两点，且圆上存在一点 使得 ，则 实数 的值为______. （北京）股份有限公司 14.若 ， ， ，则 的外接圆面积为______. 15.已知点 ， ，M 是椭圆 上的动点，则 最大值是______. 16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思 维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线 就是一条 形状优美的曲线，对于此曲线，若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是______. 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10 分） 已知直线经过点 . （1）若直线与直线 垂直，求直线的方程； （2）若 的方程是 ，直线与 相切，求直线的方程. 18.（本题满分12 分） 如图，在四棱雉 中， 底面 ，底面 为梯形， ， ，且 ， . （1）若点F 为 上一点，且 ，证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 19.（本题满分12 分） 一束光线从点 出发，经直线 上一点 反射后，恰好穿过点 . （1）求点 的坐标； （2）求以 ， 为焦点，且过点 的椭圆的标准方程. （北京）股份有限公司 20.（本题满分12 分） 圆 . （北京）股份有限公司 （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）已知 ，圆 与 轴相交于两点M，N（点 在点 的左侧）.过点 任作一条直线与圆 相交于两点A，B.问：是否存在实数 ，使得 .若存在，求出实数 ，若不 存在，请说明理由. 21.如图，在长方体 中，点E，F 分别在棱 ， 上，且 ， . （1）证明：点 在平面 内； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值. 22.（本题满分12 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点的坐标为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的右焦点为 ，如图，过点 作斜率不为0 的直线交椭圆 于M，N 两点，设直线 和 的斜率为 ， ，证明： 为定值，并求出该定值. （北京）股份有限公司 2022-2023 学年上期期中联考 高二数学参考答案 （北京）股份有限公司 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1.D 【解析】因为 ，所以 .故选D. 2.B 【解析】 ，故选B. 3.B 【解析】由 ，得 ， 由该曲线表示圆，可知 ，解得 或 ，故选B. 4.B 【 解 析 】 连 接 、 ， 可 得 ， 又 ， 所 以 .故选B. 5.D 【解析】因为 ， ，两点到直线 的距离相等， 所以有 ，或 ，故选D. 6.C. 【解析】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 直线 的一般方程为 ，则由已知得 ，解得 或 ，故选C. 7.B 【解析】如图所示，取 的中点D，以D 为原点， ， ， ，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 , , , （北京）股份有限公司 所以 ，平面 的一个法向量为 ，设 与平面 .所成角为 ， 向量 与 所成的角为 ，所以 ，即AM 与平面 （北京）股份有限公司 所成角的正弦值为 .故选B. 8.B 【解析】因为直线 与直线 相互垂直，所以 ，所以 . 当 时，直线 与直线 相互垂直，而当直线 与直线 相互垂直时， 不一定成立，所以“直线 与直线 相互垂直”是 “ ”的必要而不充分条件，故选B. 9. 【解析】因为 ， ，所以 ，则 , ，由点到直线 的距离公式得 ，故选A. 10.D 【解析】如下图所示，设 ，则 ， ，所以， ，所以 ，由椭圆定义可得 ，∴ ，∴ ，所以， ，所以， 为等腰直角三角形，可得 ，∴ ， 所以，该椭圆的离心率为 .故选D. （北京）股份有限公司 11.A 【解析】设 ，则以 为直径的圆 ，即 ①，因为 ， 是圆O 的切线，所以 ， ，所以A，B 在圆M 上，所以AB 是圆O 与圆M 的公共弦，又因为圆 ②，所以由① ②得直线 的方程为： ，又点 （北京）股份有限公司 满足直线 方程，所以 ，即 .故选A. 12.B 【解析】取 中点 ，连接 ， ，如图，则由已知得 ， ，所以 为 二面角 的平面角，所以 ，又 ， ， 中， ， ，所以 ，由 ， ， 平面 ，得 平面 ，又 平面 ，所以 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， ，所以 ，以 ， ， 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ， ，平面 的一个法向量是 ， ，所以 与平面 所成角的正弦值为 .故选B. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 14. 15. 16.2 13.【解析】∵点M 在圆上，且 ，∴直线过圆心 ，∴ ，解得 . 14.【解析】如图，计算斜率得 ，即 ，所以 是直角三角形.又 ，故面 积： . （北京）股份有限公司 15. 【解析】椭圆 ，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为 ，则由椭圆定义 ，于是 . （北京）股份有限公司 当 不在直线 与椭圆交点上时，M、F、B 三点构成三角形，于是 ，而当M 在直线 BF 与椭圆交点上时，若在第一象限交点时，有 ，在第三象限交点时，有 . 显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时 有最大值，其最大值为 . 16.【解析】 当 ， 时，曲线C 的方程可化为 ； 当 ， 时，曲线C 的方程可化为 ； 当 ， 时，曲线C 的方程可化为 ； 当 ， 时，曲线C 的方程可化为 ； 由图可知，曲线C 是四个半径为 的半圆围成的图形， 因为 到直线 的距离为 ，所以 ，当d 最小 时，易知 在曲线C 的第一象限内的图象上， 因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为 ，半径为 的半圆， 所以圆心 到 的距离 ， 从而 .即 . （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【解析】 （1）因为直线l 与直线 垂直，设直线l 的方程为 ， 因为直线l 过点 ，所以 ，解得 . 所以直线l 的方程为 .……4 分 （2） 的方程化为标准形式是 ， 圆心 ，半径 ，……5 分 当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为 ， 圆心C 到直线l 的距离为2，所以直线l 与 相切，符合题意；……6 分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是 ，即 ， 由直线l 与 相切，得 ，解得 ，……8 分 所以直线l 的方程是 ，即 .……9 分 综上所述，直线l 的方程是 或 .……10 分 18.【解析】 （1）作 交 于 ，连接 . ∵ ，∴ ，又 且 ，∴ 且 ， ∴四边形 为平行四边形，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ……6 分 （北京）股份有限公司 （2）∵ 平面 ， 平面 ，∴ 又 ， ，∴ 则可以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则 ， ， ， ， ∴ ， ， （北京）股份有限公司 设平面 的法向量 ，则 ， 令 ，则 ， ，∴ 设直线 与平面 所成角为 ∴ .……12 分 19.【解析】 （1）设 关于的对称点为 ，（由反射的性质，可知点F，P， 三点共线） 则 且 ，解得 ， ，即 ， 易得直线 方程为 ， 由 ，解得 .……6 分 （2）因为 ，根据椭圆定义， 得 ， （北京）股份有限公司 所以 .又 ， 所以 .所以椭圆C 的方程为 .……12 分 20.【解析】 （北京）股份有限公司 （1）由 得 ，……2 分 因为圆与y 轴相切，所以 ，解得 或4，……3 分 故所求圆C 的方程为 或 .……4 分 （2）令 得 ， 解得 或 ，而 ，即 ， .……5 分 假设存在实数a，设 ， ， 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 ， 由 得 ，……6 分 根据韦达定理有 ，……7 分 又 ，即 、 的斜率互为相反数，……8 分 ∴ ，即 ， 即 ， 所以 ，解得 .……10 分 当直线AB 与x 轴垂直时，仍然满足 ， 即NA、NB 的斜率互为相反数.……11 分 综上所述，存在 ，使得 .……12 分 21.【解析】 （1）在棱 上取点 ，使得 ，连接 、 、 、 ，如图1 所示. （北京）股份有限公司 在长方体 中， ， ，所以四边形 为平行四边形，则 ， ，而 ， ，所以 ， ， 所以四边形 为平行四边形，即有 ，同理可证四边形 为平行四边形， （北京）股份有限公司 ∴ ，∴ ，因此点 在平面 内.……6 分 （2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，如图2.则 、 、 、 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 ，得 ，则 ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 ，得 ， ，则 ， 设二面角 的平面角为 ，则 ，∴ . 因此，二面角 的正弦值为 . （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 22.【解析】 （1）设椭圆C 的半焦距为c， 因为C 的短轴的一个端点的坐标为 ，所以 ， ， 因为 ，所以 .得 ，所以 ， 所以椭圆C 的方程为 .……4 分 （2）设直线MN 的方程为 ， ， ，……5 分 联立 ，消去y 整理得： . 则 ， ，……7 分 所以 ……9 分 将 ， ， 代入上式分子中得： ，……10 分 即 ，……11 分 所以 为定值，且 .……12 分