2021-2022学年四川省南充市阆中中学校高二上学期上月第一学月月考数学（理）试题Word版含答案

阆中中学2021 年秋高2020 级第一学月教学 质量检测 数学试题（理科） （总分：150 分 时间：120 分钟 ） 一、单项选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给 出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 直线 的倾斜角等于 2. 已知三角形的三个顶点 则BC 边上的中线所 在直线的方程 为 3. 直线(a−1)x−(2a−1) y+1=0恒过一定点，则此定点为 (−2，1) (0，1) (1，2) (2，1) 4． 已知三条直线 、 和 中没 有任何两条平 行，但它们不能构成三角形的三边，则实数 的值为 −1 0 1 2 5. 已知方程 表示圆，则的取值范围是 (－∞，－1) (3，＋∞) (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－，＋∞) 6. 点 与圆 2 2 4 x y  上任一点连结的线段的中点的轨迹方程     2 2 2 1 1 x y         2 2 2 1 4 x y         2 2 4 2 4 x y         2 2 2 1 1 x y     7． 若圆心在(3，2)的圆与 轴相切，则该圆与直线3 x+4 y−2=0的位置 关系是 相离 相切 相交 不确定 8． 已知圆C ： 和两点 ， 若圆C 上存在点 P，使得 ，则t 的最小值为 1 2 3 4 9． 若点 是直线l ： 外一点，则方程 表示 过点P 且与l 平行的直线 过点P 且与l 垂直的直线 不过点P 且与l 平行的直线 不过点P 且与l 垂直的直线 10．设点 若直线 与线段AB 没有交点， 则 的取值范围 是 (−∞，−5 2 )∪( 4 3 ，+∞) (−4 3 ，5 2 ) [−5 2 ，4 3 ] (−∞，−4 3 )∪( 5 2 ，+∞) 11．已知圆C1：(x−1) 2+( y+1) 2=1，圆C2：(x−4)2+( y−5)2=9， 点M 、N 分别 是圆C1、圆C2上的动点，P 为轴上的动点，则|PN|−|PM|的 最大值是 2√5+2 2√5+4 7 9 12．过点P( x，y)作圆C1：x2+ y2=1与圆C2：(x−2) 2+( y−2) 2=1的 切线，切点分别 为A 、B ，若|PA|=|PB|，则x2+ y2 的最小值为 √2 2 2√2 8 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．若直线(m＋1)x－y－(m＋5)＝0 与直线2x－my－6＝0 平行，则 m＝________． 14. 已知圆C 的圆心与点P(−2，1)关于直线y=x+1对称，直线 3 x+4 y−11=0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|=6，则圆C 的方程为 . 15．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的 中点，F 为PC 上一点，若PA // 平面 ，则 PF FC = . 16．已知 ， 为实数，代数 式 的最小值是______. 三、解答题（本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17．（10 分）根据下列条件，求直线的方程： （1）求经过点A(−5，2)，且在轴上的截距等于在 轴上截距的2倍 的直线方程.（5 分） （2）求过A(2，1)，B(m，3)两点的直线l 的方程.（5 分） 18.（12 分） （1）已知直线 ， ，若 ， 且他们的距离为 ， 求 的值．（6 分） （2）已知圆C 的半径为 ,圆心在直线 上,且被直线 截得的弦长 为 ,求圆C 的方程。（6 分） 19. （12 分）已知数列是首项 ，公比 的等比数列，设 ，数列 满足 （1）求数列 的通项公式；（5 分） （2）求数列 的前项和 ．（7 分） 20． （12 分）已知 的内角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小；（5 分） （2）若角 为锐角， ， ， ，求 .（7 分） 21．（12 分）如图，四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，平 面PAB⊥¿ ¿平面 ABCD ，PB=PC ， . （1）)求证：AB⊥PC ；（6 分） （2）若 是边长为2的等边三角形，求三棱锥P−ABC 外接球 的表面积.（6 分） 22. （12 分）已知平面直角坐标系上一动点 到点 的距 离是点 到点 的距离的倍． （1）求点 的轨迹方程：（3 分） （2）若点 与点 关于点 对称，求 、 两点间距离的最 大值；（4 分） （3）若过点 的直线 与点 的轨迹 相交于 、 两点， ，则是否存在 直线，使 取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不 存在，请说明理 由．（5 分） 阆中中学2021 年秋高2020 级第一学月教学 质量检测 数学参考答案（理科） 一、选择题： DCDAAA BBCBDB 1.斜率 ，所以倾斜角 选D. 2.《必修2》第96 页例4，选C. 3. 由 (a−1)x−(2a−1) y+1=0得 ，故 ，解之得： ，所以该直线过定点 ，选D. 4. 由已知得三条直线必过同一个点，则联立{4x+3y=10¿¿¿¿解得这两条直 线的交点为(4，−2)，代入ax+2 y+8=0 可得a=−1，故选A。 5. 由 得 ， ，选A. 6. 《必修2》第122 页例5 改编，设圆上任意一点 ， 则 ，即 可得中点 的轨迹方程为： ，选 A 7. 由题意得该圆的圆心为(3，2)，半径为3，∴圆的方程为 (x−3) 2+( y−2) 2=9， 圆心到直线3 x+4 y−2=0的距离 d=|9+8−2| √32+42 =3=r ，故该圆与直线相 切，故选B。 8. 由∠APB=90∘ 得点P 在圆x2+ y2=t2 上，因此由两圆有交点得： ，即t 的最小值为2， 故选B。 9. ∵点P (x0，y0)不在直线l ：Ax+By+C=0 上，∴Ax0+By0+C≠0 ， ∴直线Ax+By+C+( Ax0+By0+C )=0不过点P ， 又直线Ax+By+C+( Ax0+By0+C )=0与直线l ：Ax+By+C=0 平行， 故选C。 10. 直线ax+ y+2=0 过定点P(0，−2)， k PA=−5 2 ， k PB= 4 3 ， 若直线ax+ y+2=0 与线段AB 有交点，根据图像可知 k≤−5 2 或 k≥4 3 ， 若直线ax+ y+2=0 与线段AB 没有交点，则 −5 2 <k< 4 3 ， 即 −5 2 <−a< 4 3 ，解得 −4 3 <a< 5 2 ，故选B。 11. 圆C1：(x−1) 2+( y+1) 2=1的圆心E(1，−1)，半径为1， 圆C2：(x−4)2+( y−5)2=9的圆心F(4，5)，半径是3， 要使|PN|−|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小， |PN|最大值为|PF|+3，|PM|的最小值为|PE|−1， 故|PN|−|PM|最大值是(|PF|+3)−(|PE|−1)=|PF|−|PE|+4 ， F(4，5)关于x 轴的对称点F '(4，−5)， |PF|−|PE|=|P F '|−|PE|≤|E F '|=√(4−1)2+(−5+1)2=5， 故|PF|−|PE|+4 的最大值为5+4=9 ，故选D。 12. 如图所示， 由圆的切线的性质得C1 A⊥PA 、C2 B⊥PB ， 在Rt Δ PAC1、Rt Δ PBC2中有 |PA|2=|PC1|2−1、|PB|2=|PC2|2−1， 由题知|PA|=|PB|，∴|PC1|=|PC2|，∴点P 在线段C1C2的垂直平分线上， 由题知C1(0，0)、C2(2，2)，∴C1与C2的中点Q 的坐标为(1，1)， C1与C2所在直线的斜率为 k1=2−0 2−0=1 ，∴P 、Q 所在直线l1的斜率为 k2=−1 k1 =−1 ， ∴直线l1的方程为y=−1×(x−1)+1，即y=−x+2， 点P(x，y)在y=−x+2，∴点P 的坐标满足y=−x+2， ∴x2+ y2=x2+(−x+2)2=2x2−4 x+4=2(x−1)2+2≥2，故选B。 二、填空题： 13.根据两直线平行可得： 解之得： （根据斜率 算出 后还需要检验两条直线是否重合，即 是 否相等。） 14. 点P 关于直线y=x+1的对称点为Q(0，−1)，即为圆心的圆心， Q 到直线3 x+4 y−11=0的距离为 d=|−4−11| √16+9 =3 ，又弦长为6 ， 故圆的半径为√32+32=√18 ，得圆的方程x2+( y+1)2=18。 15. 连接AC 交BE 于点M ，连接FM ， ∵PA // 平面EBF ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC∩¿ ¿平面EBF=EM ， ∴PA // EM ，∴ PF FC = AM MC = AE BC =1 2 。 16. 如图所示， 构造点 ， ， ， ， ， 分别作 关于 轴的对称点 ， 关于 轴的对称点 ，连 接 ， ， ， ， ， ， 当且仅当 ， 分别为 与 轴､ 轴的交点时，等号成立， 故答案为： . （本题中需要正确理解 的几何意义（直角三角形的斜边），如 果理解成到原点的距离，将出现三条线段的和，处理难度变大。） 三、解答题： 17.(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x 2a + y a =1 ，将(−5，2)代入 所设方程， 解得 a=−1 2 ， ∴直线方程为x+2 y+1=0 ，当直线过原点时， 设直线方程为y=kx ，则−5k=2，解得 k=−2 5 ，∴直线方程为 y=−2 5 x ， 即2 x+5 y=0， 故所求直线方程为2 x+5 y=0或x+2 y+1=0 ； 5 分 (2)①当m=2时，直线l 的方程为x=2； ②当m≠2时，直线l 的方程为 y−1 3−1 = x−2 m−2 ，即 2 x−(m−2) y+m−6=0， ∵m=2时，代入方程2 x−(m−2) y+m−6=0，即为x=2， ∴直线l 的方程为2 x−(m−2) y+m−6=0。 10 分 18.（1）【解析】（1）若 ，则 ，∴ ． ∴ 可以化简为 ， ∴ 与 的距离为 ， ∴ 或 6 分 （2）因为所求圆的圆心C 在直线 上,所以设圆心为 , 所以可设圆的方程为 , 因为圆被直线 截得的弦长为 ,则圆心 到直线 的距离 ,即 ,解得 . 所以圆的方程为 或 . 12 分 20. 解：(1)由已知 ， 所以由正弦定理可得 ， 又 ，所以可得 ， 又 ， 所以 或 . (2)若角 为锐角，则 ， 又 ， ， ，设 ，可得 ， ， 在 中，由余弦定理可得 ，① 又 ， 所以 ，整理可得 ，② 由①②联立解得 ， 解方程可得 ，或 （舍去）. (方法二：本题中 ，利用向量的模长来计算更方便； 方法三：通过平行线，将相关的量转移到同一个三角形中，不用“补角 余弦”，计算量更小，同学们不妨一试。） 21. (1)作PO⊥AB 于O ①，连接OC ，∵平面PAB⊥¿ ¿平面ABCD ， 平面PAB∩¿ ¿平面ABCD=AB ， ∴PO⊥¿ ¿平面ABCD ，∴PO⊥OC ， 3 分 ∵PB=PC ，∴Δ POB≌Δ POC ，∴OB=OC ，又∵∠ABC=45∘ ，∴ OC⊥AB ②， 又PO∩CO=O ，由①②得AB⊥¿ ¿平面POC ，又PC ⊂平面POC ，∴ AB⊥PC ， 6 分 (2)∵Δ PAB 是边长为2 的等边三角形，∴PO=√3 ，OA=OB=OC=1， ∵PO⊥¿ ¿平面ABCD ，PO>OA=OB=OC ，线段PO 上取点E ，使 PE=EC ， 8 分 ∴EA=EB=EC ，即E 是外接球的球心，设三棱锥P−ABC 外接球半径 为R ， ∴EO=√3−R ，EC=R ，则EC2=EO2+OC2 ，R2=12+(√3−R)2 ， 解得 R=2√3 3 ， ∴ S=4 πR2=16 π 3 。 12 分 22. 解：（1）由已知， ． ，即 ， （2）设 ，因为点 与点 关于点 对称， 则 点坐标为 ， 点在圆上运动， 点 的轨迹方程为 ， 即： ， ； （3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为 ，且 ， ， 则： ， 联立方程： ， ， 又 直线不点 ， ． 点 到直线的距离 ， ， ， ， ， 当 时， 取得最大值 ，此时， ， 直线得方程为 或 ．