四川省南充市阆中中学校2021-2022学年高二上学期第一学月月考数学（文）试题 Word版含答案

阆中中学2021 年秋高2020 级第一学月教学 质量检测 数学试题（文科） （满分：150 分 时间：120 分钟 ） 第I 卷（选择题，共60 分） 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出 的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的） 1. 下列两点确定的直线的斜率不存在的是 A. ， B. ， C. ， D. , 2. 圆心在 轴上，半径长为，且过点 的圆的标准方程 A. B. C. D. 3. 若直线 不过第三象限，则 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 已知直线过圆 的圆心，且与直线 垂直， 则的方程是 A． B． C． D． 5. 已知 ， ， ，则过点 ， 的直线 的方程是 A． B. C. D. 6. 设点 在 轴上，点 在 轴上， 的中点是 ，则 等于 A. B. C. D. 7. 若直线过点 ，且与圆 相切，则直线 的方程为 A. B. C. 或 D. 或 8. 已知三点 ， ) 3 , 0 ( B ， ) 3 , 2 ( C ，则ABC  外接圆的圆心到 原点的距离为 A．3 5 B. 3 21 C. 3 5 2 D. 3 4 9. 已知点 ．若点 在函数 的图象上，则使得 的面积为 的 点 的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 10. 若直线 与直线 关于点 对称，则直线 恒过定 点 A. B. C. D. 11. 已知点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最大值是 A. B. C. D. 12. 已知实数 ， 满足 ，则 的最 大值和最小值分 别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 第II 卷（非选择题，共90 分） 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在答 题卡中的横线上） 13. 若直线： 在 轴、 轴上的截距 之和等于 ，则 _________. 14. 若坐标原点在圆 内，则 的取 值范围是 _________. 15. 已知圆 与圆 相交，且它们的公 共弦的长为 ，则 的值为_________. 16. 在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________. 三、解答题（本大题共7 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10 分） 设等比数列 满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）记 为数列 的前 项和．若 ，求 ． 18. （本小题满分12 分） （1）已知点 和 ，点 在 轴上，且 为直 角，求点 的 坐标. （2）已知直线与两平行直线 和 的距离相等，求 直线的方程； 19. （本小题满分12 分） 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的取值范围． 20.（本小题满分12 分） 已知圆 和直线 （1）判断直线和圆 的位置关系？ （2）若直线和圆 相交，求直线被圆 截得的最短弦长及此时 的直线方程. 21.（本小题满分12 分） 在 中， ， . （1）建立适当的平面直角坐标系，求顶点 的轨迹方程； （2）求 的面积的最大值. 22.（本小题满分12 分） （1）设 ， ， ， ，求证：对于任意 ， ， . （2）假设阆中七里、江南两镇在一平面直角坐标下的坐标为 ， ，嘉 陵江所在的直线的方程为 ，若在嘉陵江边 上建一座供水站 使之到 ， 两镇的管道最短，问供水站 应建在什么地 方？此时 为多少？ 阆中中学2021 年秋高2020 级第一学月教学 质量检测 数学参考答案（文） 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的） 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答 案填在答题卡中的横线上） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共7 小题，共70 分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）设等比数列 的公比为 ， 根据题意，有 ，解得 ， 所以 ； （2）令 ， 所以 ， 根据 ，可得 ， 整理得 ，因为 ，所以 ， 18. 【解析】（1）因为点 在 轴上，所以可设点 的坐标为 ， 直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，因为 ，所以 ，所以 ， 解得 或 ，所以点的坐标为 或 . 【也可以利用 ，即 求解】 （2）设所求的直线方程为 ，分别在 ： 和 ： 上取点 和 ，则此两 点到 的距离相等，即 ，解得 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D A C D B A B C B ，故直线的方程为 . 【另解】由已知可得直线到直线 和直线 的距离相等，即 ，解得 ，故直线的方程为 . 19.【解析】(1)证明:由直线的方程可得, ，则直线恒 通过点 ,把 代入圆的 方程,得 ， 所以点 在圆 的内部,又因为直线恒过点 ， 所以直线与圆 总相交. 【也可以利用几何法：判断圆心距与半径的大小或代数法：联立直线方 程和圆的方程消元后判段一元二次方程解的个数】 （2）设定点为 ，由题可知当直线与 直线垂直时，直线被 圆 截得的弦长最短，因为 ，所以直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ，即 . 设圆心 到直线距离为 ，则 所以直线被圆 截得最短的弦长为 . 20.【解析】（1）∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ，∴ ， 又 ∴ ． （2）由余弦定理可知 ， 代入可得 ， 当且仅当 时取等号， ∴ ， 又 ， ∴ 的取值范围是 ． 21.【解析】（1）如图所示，以直线 为 轴，线段 的中点为坐标 原点 ，建立平面直角坐标系，设 ，则由 得 ，化简整理得 ，故 顶点的轨迹方程为 （ ）. （2）当点 位于圆 ： 的最高点时， 的面积最 大，且最大值为 22.【解析】（1）设 ， ， ，则 ， ， . 因为对于平面上的任意三点 ， ， ，总有 ， 所以 . （2）如图所示，作点 关于直线的对称点 ，连接 交于点 ， 连接 ，取直线上异于点 的一点 ，则 ， 因此，供水站建在点 处时，才能使得 取得最小值，设 ，则 的中点在直线上，且 ，则 解得 ，即 ，所以 直线的方 程为 ，解方程组 ，得 ，所以点 的坐标为 ，故供水站建在点 处.