福建省泉州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

2021～2022 学年度上学期泉州市高中教学质量监测 高二数学 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点A是点 (2,9,6) A 在坐标平面Oxy 内的 射影，则点A的坐标为（） A. (2,0,0) B. (0,9,6) C. (2,0,6) D. (2,9,0) 2. 设等差数列  n a 的 前n 项和为 n S ．若 1 2 7 1, 6    a a a ，则 7 S （） A. 19 B. 21 C. 23 D. 38 3. 设 1 2 , F F 分别是椭圆 2 2 : 1 25 16 x y C  的左、右焦点，P 是C 上的点，则 1 2 PF F △ 的周长为（） A. 13 B. 16 C. 20 D. 10 2 41  4. 已知直线1 : 3 1 0    l x y ，若直线2 l 与1 l 垂直，则2 l 的倾斜角为（） A. 30° B. 60 C. 120 D. 150 5. 在棱长均为1 的平行六面体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， 1 1 60 BAD BAA DAA     ，则 1 AC  u u u r （） A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 6. 已知数列  n a 满足 1 2 a  ， 1 , , 2 3 1, , n n n n n a a a a a        当 为偶数时 当 为奇数时 则 8 a  （） A. 1 64 B. 1 C. 2 D. 4 7. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点． 已知抛物线 2 4 x y  的焦点为F，一条平行于y 轴的光线从点 (1,2) M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则经点B 反射后的反射光线必过点（） A. ( 1,2)  B. ( 2,4)  C. ( 3,6)  D. ( 4,8)  8. 已知点 (2,1) C 与不重合的点A，B 共线，若以A，B 为圆心，2 为半径的两圆均过点 (1,2) D ， 则DA AB  � 的取值范围为（） A. [ 2,2] B. [ 2, 2]   C. [ 8,0) - D. [ 8, 4]   二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 圆 2 2 4 x y  与圆 2 2 2 4 2 0      x y x my m 的位置关系可能是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”． “三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，设第n 层有 n a 个球，从上往 下n 层球的总数为 n S ，则（） A. 5 35 a  B. 5 35 S  C. 1 1 n n a a n   D. 1 2 3 2022 1 1 1 1 2022 2023       a a a a 11. 已知曲线 2 2 : 1 6    x y C m m ， 1 2 , F F 分别为C 的左、右焦点，点P 在C 上，且 1 2 PF F △ 是直 角三角形，下列判断正确的是（） A. 曲线C 的焦距为2 6 B. 若满足条件的点P 有且只有4 个，则m 的取值范围是 6 m  且 12 m  C. 若满足条件的点P 有且只有6 个，则 12 m  D. 若满足条件的点P 有且只有8 个，则m 的取值范围是0 6 m   12. 已知边长为2 的正三角形ABC 中，O 为BC 中点，动点P 在线段OB 上（不含端点），以 AP 为折痕将 ABP △ 折起，使点B 到达B的位置．记 APC    ，异面直线B C  与AP 所成 角为 ，则对于任意点P ，下列成立的是（） A. 0    � PA B C B.    C. 存在点B，使得  B P CP D. 存在点B，使得AO  平面  B PC 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填在答题卡的相应位 置． 13. 已知 (1,2, 1), (2,2 , )      a b m m ，且a b  ∥ ，则m _____________． 14. 若等比数列  n a 满足 2 1 3 1 1, 3     a a a a ，则  n a 的前n 项和 n S ____________． 15. 已知P 是椭圆 2 2 : 1 4 x C y  的上顶点，过原点的直线l 交C 于A，B 两点，若 PAB △ 的面积 为 2 ，则l 的斜率为____________． 16. 设O 为坐标原点，F 为双曲线 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的焦点，过F 的直线l 与C 的两条渐 近线分别交于A，B 两点．若 0   � OA FA ，且OAB  的内切圆的半径为3 a ，则C 的离心率为___ _________． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17. 已知抛物线 2 : 2 ( 0) C y px p   的焦点为F，点 (1,2) M 在C 上． （1）求p 的值及F 的坐标； （2）过F 且斜率为 4 3 的 直线l 与C 交于A，B 两点（A 在第一象限），求 | | | | AF BF ． 18. 公差不为0 的等差数列  n a 中， 8 10 2   a a ，且 9 10 13 , , a a a 成等比数列． （1）求数列  n a 的通项公式； （2）设 2 n n b a  ，数列 n b 的前n 项和为 n S ．若 n S   ，求的取值范围． 19. 如图，在正四棱锥P ABCD  中，O 为底面中心， 3   PO AO ，M 为PO 中点， 2 PE EB  � ． （1）求证： // DM 平面 EAC ； （2）求：（ⅰ）直线DM 到平面EAC 的距离； （ⅱ）求直线MA 与平面EAC 所成角的正弦值． 20. 已知数列  n a 的 前n 项和 2 2 n n S a   ． （1）证明  n a 是等比数列，并求  n a 的通项公式； （2）在 n a 和 1 n a 之间插入n 个数，使这 2 n  个数组成一个公差为 n d 的等差数列，求数列 1 n d      的前n 项和 n T ． 21. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8 米，在其南面有 一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道 距离10 米．在建筑物底面中心O 的东北方向20 2 米的点A 处，有一360全景摄像头，其安 装高度低于建筑物的高度． （1）在西辅道上距离建筑物1 米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ （2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 22. 曲线 2 2 : 1 C mx ny  的左、右焦点分别为 1 2 , F F ，左、右顶点分别为 1 2 , A A ，C 上的点M 满 足 1 2 4 MF MF   ，且直线 1 2 , MA MA 的斜率之积等于 3 4  ． （1）求C 的方程； （2）过点( 4,0)  S 的直线l 交C 于A，B 两点，若 ,   � AS BS AT TB   ，其中 1  ，证明： 2 2   A TB TSO ． 1【答案】D 2【答案】A 3【答案】B 4【答案】D 5【答案】C 6【答案】B 7【答案】D 8【答案】D 9【答案】ABC 10【答案】BC 11【答案】AC 12【答案】ABC 13【答案】2 14【答案】2 1 n  ## 1 2n  15【答案】 1 2  16【答案】 5 2 ## 1 5 2 17【答案】（1） 2 p  ， (1,0) F 【小问1 详解】 将 (1,2) M 代入 2 2 y px  ，得4 2p  ，解得 2 p ， 所以 (1,0) F 【小问2 详解】 由（1）得抛物线方程为 2 4 y x  ， 直线l 的方程为 4 ( 1) 3 y x   ， 联立 2 4 4 ( 1) 3 y x y x         消y 得 2 4 17 4 0 x x    ， 解得 1 4 x  或 4 x ， 因为A 在第一象限，所以 1 4, 4 A B x x   ， 所以| | 1 5 A AF x  ， 5 | | 1 4 B BF x   ， 所以 | | 4 | | AF BF  18【答案】（1） 2 17 n a n   （2） 28  【小问1 详解】 依题意， 2 10 9 13 a a a   ， 8 10 9 2 2 a a a    ，所以 9 1 a ， 设等差数列  n a 的公差为 ( ) d d 0 ，则 2 (1 ) 1 (1 4 ) d d   ， 解得 2 d  ， 所以 9 ( 9) 2 17 n a a n d n      【小问2 详解】 2 4 17 n n b a n    ，则数列 n b 是递增数列， 1 2 3 4 5 6 0 b b b b b b       ， 所以 1 2 3 4 min ( 13 9 5 1 28 ) n S b b b b          ， 若 n S   ，则 28  . 19【小问1 详解】 证明：连接BD ，则O 为BD 的中点，且 AC BD  ， 在正四棱锥P ABCD  中，PO  平面ABCD ， 以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、 y 、z 轴建立如下图所示的 空间直角 坐标系， 则  0,0,0 O 、  3,0,0 A 、  0,0,3 P 、  0,3,0 B 、   3,0,0 C  、   0, 3,0 D  、 3 0,0, 2 M      、   0,2,1 E ， 3 0,3, 2 DM       � ， 设平面EAC 的法向量为   , , m x y z  � ，   6,0,0 CA  � ，   3,2,1 AE  � ， 则 6 0 3 2 0 m CA x m AE x y z              � � ，取 1 y  ，则   0,1, 2 m   � ， 因为 3 3 0 DM m   � ，则DM m  � ，又因为DM 平面EAC ，所以， // DM 平面EAC . 【小问2 详解】 解：（i）   3,3,0 DA  � ，所以，直线DM 到平面EAC 的距离为 3 3 5 5 5 DA m d m     � � . （ii） 3 3,0, 2 MA         � ，则 3 2 cos , 5 3 5 5 2 MA m MA m MA m        � � � ， 因此，直线MA 与平面EAC 所成角的正弦值为 2 5 . 20【小问1 详解】 因为 2 2 n n S a   ， 当 2 n 时， 1 1 2 2 n n S a     ， 所以，当 2 n 时， 1 2 n n a a   ，又 1 1 2 2 a a   ，解得 1 2 a ， 所以  n a 是以2 为首项，2 为公比的等比数列， 故 2n n a  【小问2 详解】 因为 2n n a  ，所以 1 2 1 1 n n n n a a d n n      ， 1 1 2n n n d   ， 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 ( 1) 2 2 2 n n n T n d d d            ， 2 3 1 1 1 1 1 2 3 ( 1) 2 2 2 2 n n T n         ， 所以 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 2 n n n T n          2 1 1 1 1 1 (1 ) 1 3 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n n n n n n             1 3 3 2 2n n     ， 所以 3 3 2 n n n T   21【答案】（1）不在（2）17.5 米 【小问1 详解】 以O 为原点，正东方向为x 轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则 (0,0), (20,20) O A ，观景直道所在直线的方程为 10 y  依题意得：游客所在点为 ( 5,0) B  则直线AB 的方程为 5 20 20 5 y x    ，化简得4 5 20 0 x y   ， 所以圆心O 到直线AB 的距离 2 2 | 20 | 20 4 41 4 5 d     ， 故直线AB 与圆O 相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. 【小问2 详解】 由图易知：过点A 的直线l 与圆O 相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线l 过A 且恰与圆O 相切， ①若直线l 垂直于x 轴，则l 不可能与圆O 相切； ②若直线l 不垂直于x 轴，设: 20 ( 20) l y k x    ，整理得 20 20 0 kx y k     所以圆心O 到直线l 的距离为 2 | 20 20 | 4 1 k d k      ，解得 3 4 k  或 4 3 k  ， 所以直线l 的方程为 3 20 ( 20) 4 y x    或 4 20 ( 20) 3 y x    ， 即3 4 20 0 x y    或4 3 20 0 x y    ， 设这两条直线与 10 y  交于D，E 由 10 3 4 20 0 y x y        ，解得 20 x  ，由 10 4 3 20 0 y x y        ，解得 2.5 x  ， 所以 17.5 DE  ， 观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5 米. 22【小问1 详解】 因为C 上的点M 满足 1 2 4 MF MF   ， 所以C 表示焦点在x 轴上的椭圆，且2 4 a ，即 2 a ， 1 4 m  ， 所以 1 2 ( 2,0), (2,0) A A  ， 设 0 0 ( , ) M x y ，则 2 2 0 0 1 4 x ny  ，① 所以直线 1 MA 的斜率 1 0 0 2 MA y k x   ，直线 1 MA 的斜率 2 0 0 2 MA y k x   ， 由已知得 1 MA k 2 0 0 0 0 3 2 2 4 MA y y k x x       ， 即 2 2 0 0 3 4 12 x y   ，② 由①②得 1 3 n  ， 所以C 的方程为 2 2 1 4 3 x y   【小问2 详解】 当直线l 的斜率为0 时，A 与 1 A 重合，B 与 2 A 重合， 2 0 A TB  ， 0 TSO  ， 2 2   A TB TSO 成立. 当直线l 的斜率不为0 时，设l 的方程为 4 x py   联立方程组 2 2 1 4 3 4 x y x py          ，消x 整理得 2 2 (3 4) 24 36 0 p y py     所以 2 2 ( 24 ) 4 (3 4) 36 0 p p       ，解得 2 p  或 2 p  设 1 1 2 2 ( , ), ( , ) A x y B x y ，则 1 2 2 24 3 4 p y y p    ， 1 2 2 36 3 4 y y p   由AS BS   � ，得 1 2 y y    ，所以 1 2 y y  设( , ) t t T x y ，由AT TB   � ，得 1 2 ( ) t t y y y y     ， 所以 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 36 2 2 2 3 3 4 24 1 1 3 4 t y y y y y p y y p y y p y p               ， 所以 3 4 4 1 t t x py p p      ， 所以点T 在直线 1 x  上，且 0 t y ， 所以 2 TSA  是等腰三角形，且 2 2 TSA TA S   ， 所以 2 2   A TB TSO ， 综上， 2 2   A TB TSO