江苏省海安高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

2022-2023 学年度高二10 月月考数学试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数 （是虚数单位）的虚部是 A．1 B． C．2 D．2i 2．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则A∩B＝B， 则实数m 的取值范围是 A．[2，3] B．(－∞，3] C．(2，3] D． (－∞，2] 3．若 ， ， ，则m 的值为 A． B．2 C． D． 4．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年 历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲､乙在内的5 位棋手参 加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3 位，另外一个小组有2 位，则甲和乙不在同一 个小组的概率为 A． B． C． D． 5．已知等差数列 的前n 项和为 ，若 ， ，则 A．－10 B．－20 C．－120 D．－110 6．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上．为测 量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B 两个观测点，在A 处测得该塔底部C 在西偏北 α 的方向上；在B 处测得该塔底部C 在西偏北β 的方向上，并测得塔顶D 的仰角为γ．已知AB ＝a，0<γ<β<α<，则此塔的高CD 为 A．tan γ B．tan γ C．tan γ D．tan γ 7．已知边长为 的菱形ABCD， ，沿对角线BD 把 折起，二面角 的 平面角是 ，则三棱锥 的外接球的表面积是 A． B． C． D． 8．若a＞b＞c＞1，且 ，则 A．logab＞logbc＞logca B．logcb＞logba＞logac C．logbc＞logab＞logca D．logba＞logcb＞logac 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．在 的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n 的值可能为 A．11 B．10 C．9 D．8 10．已知由样本数据 ， ，2，3， ， 组成的一个样本，得到回归直线方程为 ，且 ，去除两个样本点 和 后，得到新的回归直线的斜率为3.则 下列说法正确的是 A．相关变量x，y 具有正相关关系 B．去除两个样本点 和 后，回归直线方程为 C．去除两个样本点 和 后，随 值增加相关变量y 值增加速度变小 D．去除两个样本点 和 后，样本 的残差为0.1 11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1的中点，则 A．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 B．直线A1G 与平面AEF 平行 C．异面直线A1G 与EF 所成角的余弦值为 D．平面AEF 截正方体所得的截面面积为 12．有4 支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛，并决出胜负），任两支球队之 间胜率都是 ．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次 顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是 A. 四支球队并列第一名为不可能事件 B. 有可能出现恰有三支球队并列第一名 C. 恰有两支球队并列第一名的概率为 D. 只有一支球队名列第一名的概率为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知 ，则 ▲ ． 14．在平面直角坐标系 中，圆M 交 轴于 ，交y 轴于 ，四边形ABCD 的面积为18，则 ▲ ． 15．为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取 包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服 从正态分布 .假设生产状态正常，记 表示每天抽取的k 包食品中其质量在 之外的包数，若 的数学期望 ，则k 的最小值 为 ▲ ． 附：若随机变量X 服从正态分布 ，则 . 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 的右焦点为F，过F 点作两条相互 垂直的直线，分别与椭圆交于点P，与椭圆右准线交于点Q（点P，Q 均在 x 轴的上方）．若 O，F，Q，P 四点共圆，则椭圆离心率的取值范围 ▲ ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 已知△ABC 的内角 ， ， 的对边分别为，，，其面积 ， ． （1）求和角 ； （2）如图， 平分 ，且 ， ，求 的长． （第17 题图） 18．（本小题满分12 分） 已知等差数列 满足 ， ，等比数列 满足 ，且 ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）记数列 的前n 项和 ，若数列 满足 ， ，求 的前n 项和Tn． 19．（本小题满分12 分） 新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗， 并已进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到 抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x 表示注射疫苗后的天数，y 表示人体中抗体含 量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示． 天数x 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平y 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图． (1)根据散点图判断， 与 （a，b，c，d 均为大于0 的实数）哪一个更适宜作 为描述y 与x 关系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10 天的 抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6 天的检测数据中随机抽取3 天的数据作进一步的分析，求其中的y 值 小于50 的天数X 的分布列及数学期望． 参考数据：其中 ． 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 参考公式：； ， ． 20．（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E，F 分别为PA，BC 的中点． (1)证明：EF∥平面PCD (2)若PD⊥平面ABCD， ，且 ，求直线AF 与平面DEF 所成角的正 弦值． 21．（本小题满分12 分） 已知椭圆C： 过点 ，左、右焦点分别是 ， ．过 的直线 与椭圆交于 ， 两点，且△ 的周长为 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若点 满足 ，求四边形 面积的最大值． 22．（本小题满分12 分） 已知 ， ． （1）若存在 ，使 成立，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a，使 对任意 恒成立?证明你的结论． 参考答案 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】B 9.【答案】ABC 10.【答案】AB 11.【答案】BCD 12.【答案】ABD 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】依题意 ，所以在 之外的概率 ，则 ，则 ，因为 ，所以 ，解得 ，因为 ，所以 的最小值为 16.【答案】 17.解：（1）因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， …… 2 分 又因为 ， 所以 ． …… 5 分 （2）因为 平分 ， 所以 ， 在△ABD 中， ， ， ， 由正弦定理可得： ， …… 7 分 在△BCD 中， ， ， ， 由余弦定理可得： ， 所以 ． …… 10 分 18.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为 ， ， 所以 ， 解得a1＝1，d＝2， 即 ， …… 3 分 又设等比数列{bn}的公比为q，满足b3+b5＝2（b2+b4）， 所以b2q+b2q3＝2（b2+b2q2）， 即q+q3＝2（1+q2），所以q＝2， 因为 ，所以b2＝2b1 2＝b1q， 所以b1＝1， ． …… 6 分 （2）由（1）可得Sn＝n2，所以 ， 当 时， ， 两式相减可得 ， 所以 ， 当 时， ，也成立，所以 ， 所以 ， …… 10 分 故 ， 两式相减可得 ， 故Tn＝3+（2n 3 ﹣）2n． …… 12 分 19.解：(1)根据散点图判断， 更适宜作为描述y 与x 关系的回归方程类型. ……2 分 (2) ， ， 设 ，则有 ， ， ， ，所以y 关于x 的回归方程为 . ……5 分 当 时， ， 则该志愿者在注射疫苗后的第10 天的抗体含量水平值约为 miu/mL. ……6 分 (3)由表中数据可知，前三天的 值小于50，故 的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， ， ……10 分 故 的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望 . … …12 分 20.解：(1)证明：取PD 的中点G，连接CG，EG， 因为E，F 分别为PA，BC 的中点， 所以 ， 又底面ABCD 为菱形， 所以 ， 所以 ， 所以四边形EGCF 为平行四边形， 所以 ……2 分 又 平面PCD． 平面PCD， 所以EF//平面PCD． ……4 分 (2)解：连接 ，因为PD⊥平面ABCD， 平面 ABCD， 所以 ， 因为四边形ABCD 为菱形， ， 所以 为等边三角形， 因为F 为BC 的中点， 所以 ， 因为 ∥ ， 所以 ， 所以 两两垂直， ……6 分 所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz． 因为 ，所以D（0，0，0），F( ，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2）， 则 ． 设平面DEF 的法向量 ，则 ，令 ，得 ． ……8 分 设直线AF 与平面DEF 所成的角为θ， 则 ， 所以直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值为 . ……12 分 21.解：（1）因为椭圆 过点 ，且△ 的周长为 ． 所以 ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 ． …… 4 分 （2）由（1）可知， 的坐标为 ，直线 的斜率不为0， 设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，得 ， 所以 ， ，且△ 恒成立， …… 6 分 因为点 满足 ， 故四边形 为平行四边形，设其面积为 ， 则 ， 所以 ， …… 8 分 又 ， …… 10 分 令 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时， 有最大值4． 答：四边形 面积的最大值为4． …… 12 分 22.解：（1）令h(x)＝lnx－ax3－(1－3a)x－1， h’(x)＝－3ax2＋(3a－1)＝[－3ax3＋(3a－1)x＋1]＝(x－1)(－3ax2－3ax－1)， 令k(x)＝3ax2＋3ax＋1，x∈[1，e]， 若a≥0，则k(x)＞0，于是h’(x)≤0，所以h(x)在[1，e]上单调递减， 所以h(x)max＝h(1)＝2a－2，要求2a－2＞0，解得a＞1； ……2 分 若a＜0，则令k(x)＝3ax2＋3ax＋1＝0，△＝9a2－12a＞0， x1＋x2＝－1，x1x2＝＜0，k(x)＝0 在(0，＋∞)上有且只有一个零点x0， 则若x0∈(1，e) x (1，x0) x0 (x0，e) h’(x) － 0 ＋ h(x) ↘ 极小值 ↗ 或若x0∈(e，＋∞)， x (1，x0) x0 (x0，e) h’(x) － 0 ＋ h(x) ↘ 极小值 ↗ 故h(x)max＝max{h(1)，h(e)}，因此要求h(1)＞0，或h(e)＞0， 解得a＞1，或a＜，所以a＜， 综上所述，a 的取值范围是 ． …… 6 分 （2）存在a＝． …… 7 分 设m(x)＝lnx＋(－x3)，m’(x)＝＋(－3x2)， 可知m’(1)＝0，m’’(x)＝－＋(－6x)＝－(＋3x)， 当1≤x＜2 时，m’’(x)＝－(＋3x)＜()max－(＋3x)min＝－4＜0， 因此m’(x)在[1，2)上单调递减，又因为m’(1)＝0，所以m’(x)＜0， 因此m(x)在[1，2)上单调递减，所以m(x) ≤m(1)＝0，故f(x)＋g(x) ≤0； …… 9 分 当0＜x＜1 时，0＜x2＜x＜1，m’’(x)＝－(＋3x)＜－(＋3x)＜－2＜0， 因此m’(x)在(0，1)上单调递减，又因为m’(1)＝0，所以m’(x)＞0， 因此m(x)在(0，1)上单调递增，所以m(x) ≤m(1)＝0，故f(x)＋g(x) ≤0； …… 11 分 综上所述，当a＝时，f(x)＋g(x)≤0 对任意x (0 ∈ ，2)恒成立． …… 12 分