江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题[

2022-2023 学年度第一学期高一年级阶段检测（一） 数 学 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 已知集合S 中的三个元素a,b,c 是 的三边长，那么 一定不是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2． 设a， ，则“ ”是“a＞1 且b＞1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3． 已知a， ，若 ，则 的值为（ ） A．1 B．0 C．－1 D．±1 4． 已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a－b 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5． 函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 6． 若a＞0，b＞0，则下面结论正确的有（ ） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D．若a＋b＝1，则ab 有最大值 7． 若不等式 对一切 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 8.已知命题P：两个正实数x，y 满足 ，且 恒成立， 命题Q：“ ，使 ”，若命题P 与命题Q 都为真命题，则实数m 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符 合题目要求的．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9． 已知p： ， 恒成立，则p 的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数 若 ，则实数a 的值可能为（ ） A． B． C．－1 D． 11．解关于x 的不等式： ，则下列说法中正确的是（ ） A．当 时，不等式的解集为 B．当 时，不等式的解集为 或 C．当 时，不等式的解集为 D．当 时，不等式的解集为 12．已知a，b 为正数， ，则（ ） A．ab 的最大值为 B． 的最小值为3 C． 的最大值为 D． 的最小值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，第16 题双空，第一问2 分，第二问3 分． 13． ，则 ▲ ． 14．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 ▲ ． 15．已知正实数a，b 满足 ，则a＋b 的最小值为 ▲ ． 16．已知集合 ，集合A 中的元素 ， ，定 义 为 ， ， 中的最小值，记为： ． （1）若 ， ， ，则 ▲ ； （2）若 ， 为集合A 中的元素，且 ，则n 的取值范围为 ▲ ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 已知集合 ， ， . （1）若 ，求集合 . （2）从集合B，C 中任选一个，补充在下面的问题中. 已知 ， ______，则p 是q 的必要不充分条件，若存在实数m，求出m 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 18．（本小题满分12 分） 已知正数a、b 满足a＋b－ab＝0． （1）求4a＋b 的最小值； （2）求 的最小值． 19．（本小题满分12 分） （1）若不等式 对一切 恒成立，求实数a 的取值范围． （2）若不等式 对一切 恒成立，求实数x 的取值范围． 20．（本小题满分12 分） 精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政 府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推 广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数 关系为 （其中推广促销费不能超过5 万元）．已知加工此农产品还要投入成本 万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为 元/件． （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推 广促销费） （2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 21．（本小题满分12 分） （1）用综合法和分析法两种方法证明基本不等式 ( )． （2）对于4 个正数a，b，c，d 尝试证明 ． 22．（本小题满分12 分） 已知二次函数 （a， ），且关于x 的不等式 的解集是 ． （1）若不等式 在 上恒成立，求实数k 的取值范围； （2）设 ，且对任意 ， ，都有 ，求实数m 的 最小值． 参考答案 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】AC 10.【答案】ACD 11.【答案】ABD 12.【答案】AB 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】 ， 17.【答案】 （1）由m=2 及 得： ，解得 ， 所以 ，又 ，所以 . （2）若选B：由 ，得 ， ∴ ，∴ . 由p 是q 的必要非充分条件，得集合B 是集合A 的真子集， ∴ （两端等号不会同时取得）， 所以m 的取值范围为 . 若选C：由 ，得 ，∴ . 由p 是q 的必要非充分条件，得集合C 是集合A 的真子集， （两端等号不会同时取得）， 所以m 的取值范围为 . 18.【答案】 解：（1）因为 ，所以 ， 又因为 、 是正数， 所以 ， 当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为； （2）因为 且 、 为正数， 所以 ， ，所以 ， ， 则 ， 当且仅当 、 时等号成立， 故 的最小值为 ． 19.【答案】 解：（1）因为 对一切 恒成立 ①当a=3 时，-6<0 恒成立，所以a=3 符合题意 ②当 时， ，则 综上，a 的取值范围为 . （2）因为不等式 对一切 恒成立 所以 对一切 恒成立 令 ，则 ，解得 所以 所以a 的取值范围为 . 20.【答案】 （1）由题意可得 y=(4+30 w )w−3(w+ 3 w)−x =w+30−9 w −x =63 2 −18 x+3−x 2 所以 y=63 2 −18 x+3−x 2 ，(0≤x≤5) . （2）∵ y=63 2 −18 x+3−x 2 ，(0≤x≤5) ， ∴ y=63 2 −1 2( 36 x+3 +x)=33−1 2( 36 x+3 +x+3) ¿33−1 2×2√ (x+3)36 x+3=27 ，当且仅当 x+3=36 x+3 ，即x=3 时取等号. 此时ymax=27 . 答：当推广促销费投入3 万元时，此批产品的利润最大为27 万元. 21.【答案】 （1）证明：分析法 要证 只要证 只要证 只要证 只要证 上式显然成立，当且仅当a=b 时等号成立． 所以 综合法 因为 所以 所以 所以 当且仅当a=b 时等号成立 （2）证明：因为a，b，c，d 均为正数， 所以 当且仅当a=b=c=d 时取“=” 22.【答案】 （1）因为 的解集为 ， 所以 的两根为 和4， 由韦达定理得 ，所以 ， 所以 ， 因为 在 恒成立， 所以 在 恒成立 ①当 时， 满足题意， ②当 时， 在 恒成立， 即 ， 因为 在 单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 ， ， 所以 ； （2） ， ，