四川省雅安市2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题

（北京）股份有限公司 雅安市2022-2023 学年上期期末检测高中二年级 数学试题（理科） （本试卷满分150 分，答题时间120 分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并 检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5 毫米黑色墨水 签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无 效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求的. 1.总体由编号01，02，...，29，30 的30 个个体组成.利用下面的随机数表选取6 个个体，选取方法是从如下随 机数表的第1 行的第6 列和第7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 个个体的编号为（ ） 第1 行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 69 97 28 01 98 第2 行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A.27 B.26 C.25 D.19 2.抛物线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3.若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4.若直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为（ ） （北京）股份有限公司 A.1 B. C.2 D. 5.已知 ， 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A.1 B. C. D. 6.如图是我国2011-2021 年国内生产总值（GDP）（单位：亿元）及其年增长率（%）的统计图，则下列结论 错误的是（ ） （北京）股份有限公司 A.2011-2021 年国内生产总值逐年递增 B.2021 年比2020 年国内生产总值及其年增长率均有增加 C.2014-2017 年国内生产总值年增长率的方差大于2018-2021 年的方差 D.2011-2021 年国内生产总值年增长率的平均值小于7.0% 7.根据如下样本数据，得到回归直线方程为 ，则（ ） 4 5 6 7 8 9 5.0 3.5 0.5 1.5 A. ， B. ， C. ， D. ， 8.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为，点 在 上， 于 ，若 ，则 （ ） A.6 B. C.4 D.3 9.直线 与圆 交于 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C.1 D.2 10.椭圆与双曲线 有相同的焦点 ， ，且离心率互为倒数， 为椭圆上任意一点，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 11.过点 的直线与坐标轴的正半轴相交于 ， 两点，当三角形 的面积最小时直线与圆 相切，则实数 的值为（ ） （北京）股份有限公司 A. 或4 B.1 或6 C.0 或5 D.2 或7 12.如图所示， 、 是双曲线 ： 的左、右焦点，过 的直线与 （北京）股份有限公司 的左、右两支分别相交于 ， 两点.若 ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B. C. D. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 ， 的比值 _ _______. 14.双曲线 的焦点到渐近线的距离等于________. 15.已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，直线 与直线的交点恰好为线段 的中点，则直线的斜率为________. 16.设 ， 分别为椭圆 ： 与双曲线 ： 的公共焦点， 它们在第一象限内交于点 ， ，若椭圆的离心率 ，则双曲线 的离心率 的取值范围为________. 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （北京）股份有限公司 17.（10 分）在 中，已知点 ， ， . （1）求 边上的中线的方程. （2）若某一直线过 点，且 轴截距是 轴上截距的2 倍，求该直线的一般式方程. （北京）股份有限公司 18.（12 分）内蒙古自治区成立70 周年某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70 周年，举办了第十三届 成吉思汗旅游文化周。为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了600 名年龄在 且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数和众数； （2）若按照分层抽样的方法从年龄在 ， 的居民中抽取6 人进行旅游知识推广，并在知识推 广后再抽取2 人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有1 人的年龄在 的概率. 19.（12 分）某连锁经营公司所属5 个零售店某月的销售额和利润额资料如表. 商店名称 销售额 （千万 元） 3 5 6 7 9 利润额 （千万 元） 2 3 3 4 5 （1）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额 对销售额 的回归直线方程（参考公式 ， ） （2）若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8 百万，请预估销售额需要达到多少？ 20.（12 分）已知圆 的圆心在直线 上，且经过点 ， . （1）求圆 的方程； （2）若直线： ，点 为直线上一动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，当 （北京）股份有限公司 四边形 面积最小时，求直线 的方程. 21.（12 分）已知抛物线 ： 与直线： 交于 ， 两点，且线段 的中点 为 . （1）求抛物线 的方程； （北京）股份有限公司 （2）过点 作直线 交抛物线于点 ， ，是否存在定点 ，使得以弦 为直径的圆恒过点 .若存在， 请求出点 坐标；若不存在，请说明理由. 22.（12 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分 别为 ， ，以 为圆心以3 为半径的圆与以 为圆心1 为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两 点，射线 交椭圆 于点 . （i）求 的值； （ii）求 面积的最大值. 雅安市2022-2023 学年上期期末检测高中二年级 数学试题（理科）参考答案 一、选择题 1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B 二、填空题 13. 14.3 15. 16. 三、解答题 17. （1 ） 中点 ，即 ，故 边上中线的方程为 ，即 ； （2）直线过 点且 轴于截距是 轴截距的2 倍， （北京）股份有限公司 i.若直线过原点，则直线方程为 ，即 ； ii.若直线不过原点，设 轴上截距为 ，则直线方程为 ，代为 点解得 ，故直线方程为 ，即 ； （北京）股份有限公司 故该直线的一般式方程为 或 . 18.（1）年龄在 的频率为 ，故估计该市被抽取市民的 年龄的平均数为： . 众数为 . （2）由分层抽样得被抽取的6 人中，有4 人年龄在 ，分别记为 ， ， ， ，有2 人年龄在 ，分别记为 ， .则“抽取2 人进行反馈”包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15 种，其中事件“至少有1 人的年龄在 ”包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共9 种， 故该事件发生的概率 . 19.（1）由表中的数据可得， ， ， ， ∵回归直线方程恒过样本中心，∴ ， 故利润额 对销售额 的回归直线方程为 . （2）∵该公司计划再一个店想达到预期利润为8 百万，即0.8 千万， ∴ ，解得 ，故预计销售额需要达到8 百万. （北京）股份有限公司 20.（1）由题意可得： ， 中点坐标为 ，则直线 的垂直平分线方程为 ，与直线 联立可得两直线的交点坐标为 ，即所求圆的圆心坐标为 ，圆 的半径 ，圆的方程为： . （2）∵ （北京）股份有限公司 ∴当 最小时四边形面积最小 又 得： 当 时， 最小 由题易得直线 方程是： 联立与直线 方程可得 故以 为直径的圆为： 即 又易知 ， 在以 为直径的圆上， 则直线 是以 为直径的圆与圆 的公共弦 联立两圆方程易得直线 ： 21.（1）将 代入 ，得 ； ∴ ，可得 ，所以抛物线 的方程为 . （2 ）设直线 ： ， ， . 联立 ，整理得 ，所以 ， . 假设存在以 为直径的圆恒过 ， 则 恒成立， 化简得 ， （北京）股份有限公司 令 ，可得 ，故以弦 为直径的圆恒过 . 22.解：（1）由题意知 ，则 ，又 ， 可得 ， 所以椭圆 的标准方程为 . （北京）股份有限公司 （2）由（1）知椭圆 的方程为 ， （i）设 ， ，由题意知 因为 ，又 ，即 ，所以 ，即 . （ii）设 ， ，由 ，可得 由 ，可得 ①则 ， 所以 ，因为直线 与 轴交点的坐标为 所以 的面积为： 令 ，将 代入椭圆 的方程可得： 由 ，可得 ②，由①②可知 因此 ，由 ，在 上单调递增， 当 ， 即 时， 由（i）知， 面积为 ， 所以 面积的最大值为 .