四川省内江市2022-2023学年高二上学期期末检测数学（理）试题

高二数学（理科）试卷第１ 页（共４页） 内江市２０２２－２０２３学年度第一学期高二期末检测题 数 学（理科） 本试卷共４页，全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟． 注意事项： １．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置． ２．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上． ３．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上． ４．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题共１２个小题，每小题５分，共６０分．在每小题的四个选项中只有一个 是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．） １．某个年级有男生１８０人，女生１６０人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个 容量为６８的样本，则此样本中女生人数为 Ａ．４０ Ｂ．３６ Ｃ．３４ Ｄ．３２ ２．已知向量ｍ →＝（－３，２，４），ｎ →＝（１，－３，－２），则｜ｍ →＋ｎ →｜＝ 槡 Ａ．２２ Ｂ．８ Ｃ．３ Ｄ．９ ３．如图所示的算法流程图中，第３个输出的数是 Ａ．２ Ｂ．３ ２ Ｃ．１ Ｄ．５ ２ ４．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 Ａ．８ Ｂ．８ ３ Ｃ．４ ３ Ｄ．３２ ３ ５．经过两点Ａ（４，２ｙ＋１），Ｂ（２，－３）的直线的倾斜角为３π ４，则ｙ＝ Ａ．－１ Ｂ．－３ Ｃ．０ Ｄ．２ ６．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏 艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的 航天科普知识讲座．现随机抽取１０名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知 识问卷，这１０名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是 高二数学（理科）试卷第２ 页（共４页） Ａ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于７０％ Ｂ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于８５％ Ｃ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 Ｄ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 ７．两条平行直线２ｘ－ｙ＋３＝０和ａｘ－３ｙ＋４＝０间的距离为ｄ，则ａ、ｄ分别为 Ａ．ａ＝６，ｄ＝槡 ６ ３ Ｂ．ａ＝－６，ｄ＝槡 ６ ３ Ｃ．ａ＝－６，ｄ＝槡 ５ ３ Ｄ．ａ＝６，ｄ＝槡 ５ ３ ８．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为ｍ、ｎ，则满足ｍ ２＋ｎ ２＜２５的概率 是 Ａ．１ ２ Ｂ．１３ ３６ Ｃ．４ ９ Ｄ．５ １２ ９．已知三条不同的直线ｌ，ｍ，ｎ和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是 Ａ．若ｍ⊥α，ｎ⊥α，则ｍ∥ｎ Ｂ．若α⊥β，ｌα，则ｌ⊥β Ｃ．若ｌ⊥α，ｍα，则ｌ⊥ｍ Ｄ．若ｌ∥α，ｌ⊥β，则α⊥β １０．数学家欧拉在１７６５年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条 直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ＡＢＣ的顶点Ａ（０，０），Ｂ（０，２），Ｃ（－６，０），则其欧拉 线的一般式方程为 Ａ．３ｘ＋ｙ＝１ Ｂ．３ｘ－ｙ＝１ Ｃ．ｘ＋３ｙ＝０ Ｄ．ｘ－３ｙ＝０ １１．已知Ｐ是直线ｌ：ｘ＋ｙ－７＝０上任意一点，过点Ｐ作两条直线与圆Ｃ：（ｘ＋１） ２＋ｙ ２＝４ 相切，切点分别为Ａ、Ｂ．则｜ＡＢ｜的最小值为 槡 Ａ． １４ Ｂ．槡 １４ ２ 槡 槡 Ｃ．２３ Ｄ．３ １２．如图所示，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＢＢ１＝Ｂ１Ｄ１，点Ｅ 是棱ＣＣ１上的一个动点，平面ＢＥＤ１交棱ＡＡ１于点Ｆ，下列命题错误 的是 Ａ．四棱锥Ｂ１－ＢＥＤ１Ｆ的体积恒为定值 Ｂ．存在点Ｅ，使得Ｂ１Ｄ⊥平面ＢＤ１Ｅ Ｃ．存在唯一的点Ｅ，使得截面四边形ＢＥＤ１Ｆ的周长取得最小值 Ｄ．对于棱ＣＣ１上任意一点Ｅ，在棱ＡＤ上均有相应的点Ｇ，使 得ＣＧ∥平面ＥＢＤ１ 高二数学（理科）试卷第３ 页（共４页） 二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．） １３．已知ｘ、ｙ满足约束条件 ｘ－２≤０ ｙ－２≤０ ｘ＋ｙ－２≥ { ０，则ｚ＝２ｘ＋ｙ的最大值是 ． １４．直线ｌ与圆（ｘ＋１） ２＋（ｙ－１） ２＝１相交于Ａ、Ｂ两点，且Ａ（０，１）．若｜ＡＢ槡 ｜＝２，则直线ｌ 的斜率为 ． １５．已知Ｅ是正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱ＤＤ１的中点，过Ａ、 Ｃ、Ｅ三点作平面α与平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１相交，交线为ｌ，则直线ｌ与ＢＣ１ 所成角的余弦值为 ． １６．设ｍ∈Ｒ，过定点Ａ的动直线ｘ＋ｍｙ＝０和过定点Ｂ的动直 线ｍｘ－ｙ－ｍ＋３＝０交于点Ｐ（ｘ，ｙ），则△ＰＡＢ面积的最大值是 ． 三、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出必要的文字说明、推演步骤．） １７．（本小题满分１０分） 一汽车销售公司对开业４年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进 行分析研究并做了记录，得到如下资料： 日期 第一年 第二年 第三年 第四年 优惠金额ｘ（千元） １０ １１ １３ １２ 销售量ｙ（辆） ２２ ２４ ３１ ２７ （１）求出ｙ关于ｘ的回归方程； （２）假设第５年优惠金额８．５千元，估计第５年的销售量ｙ（辆）的值． 参考公式：回归直线ｙ ＾＝ａ ＾＋ｂ ＾ｘ的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： ｂ ＾＝ ∑ ｎ ｉ＝１ｘｉｙｉ－ｎ珋 ｘ珋 ｙ ∑ ｎ ｉ＝１ｘ ２ ｉ－ｎ珋 ｘ ２ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１（ｘｉ－珋 ｘ）（ｙｉ－珋 ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１（ｘｉ－珋 ｘ） ２，ａ ＾＝珋 ｙ－ｂ ＾珋 ｘ． １８．（本小题满分１２分） 已知圆Ｃ经过Ａ（６，１）、Ｂ（３，－２）两点，且圆心Ｃ在直线ｘ＋２ｙ－３＝０上． （１）求经过点Ａ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （２）求圆Ｃ的标准方程； （３）斜率为－４ ３的直线ｌ过点Ｂ且与圆Ｃ相交于Ｅ、Ｆ两点，求｜ＥＦ｜． 全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》 高二数学（理科）试卷第４ 页（共４页） １９．（本小题满分１２分） 在直四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，底面ＡＢＣＤ是平行四边形， ∠ＡＣＢ＝６０°，ＡＢ槡 ＝３，ＢＣ＝１，Ａ１Ｃ 槡 ＝２７，Ｅ、Ｆ分别是Ａ１Ｃ、ＡＢ的中点． （１）求证：ＥＦ∥平面Ａ１ＡＤ： （２）求三棱锥Ｆ－ＡＣＡ１的体积． ２０．（本小题满分１２分） 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出４０名学生，将其数学成绩（均为整数）分成 六段［４０，５０），［５０，６０），…，［９０，１００］后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答 下列问题： （１）求第四小组的频率，并补全这个频率分 布直方图； （２）根据频率分布直方图估计这次数学考试 成绩的平均分； （３）若将分数从高分到低分排列，取前１５％ 的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方 法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数 线． ２１．（本小题满分１２分） 如图，已知正方形ＡＢＣＤ和矩形ＡＣＥＦ所在的平面互相垂直，ＡＢ槡 ＝２，ＡＦ＝１，Ｍ是线段ＥＦ 的中点． （１）求证：平面ＡＣＥＦ⊥平面ＢＤＦ； （２）求证：ＤＭ⊥平面ＢＥＦ； （３）求二面角Ａ－ＤＦ－Ｂ的大小． ２２．（本小题满分１２分） 已知圆Ｍ：（ｘ－３） ２＋ｙ ２＝９．设Ｄ（２，０），过点Ｄ作斜率非０的 直线ｌ１，交圆Ｍ于Ｐ、Ｑ两点． （１）过点Ｄ作与直线ｌ１垂直的直线ｌ２，交圆Ｍ于ＥＦ两点，记四边形ＥＰＦＱ的面积为Ｓ，求 Ｓ的最大值； （２）设Ｂ（６，０），过原点Ｏ的直线ＯＰ与ＢＱ相交于 点Ｎ，试讨论点Ｎ是否在定直线上，若是，求出该直线 方程；若不是，说明理由． 高二数学（理科）试题答案第１ 页（共４页） 内江市２０２２－２０２３学年度第一学期高二期末检测题 数学（理科）参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分． １．Ｄ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ｂ ５．Ｂ ６．Ｂ ７．Ｄ ８．Ｂ ９．Ｂ １０．Ｃ １１．Ａ １２．Ｄ 二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分． １３．６ １４．± １ １５．１ ２ １６．５ ２ 三、解答题：本大题共６小题，共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７．解：（１）由题中数据可得 珋 ｘ＝１ ４×（１０＋１１＋１３＋１２）＝１１．５，珋 ｙ＝１ ４× （２２＋２４＋３１＋２７）＝２６， ２分 ����� ∑ ４ ｉ＝１ｘｉｙｉ＝１０× ２２＋１１× ２４＋１３× ３１＋１２× ２７＝１２１１，∑ ４ ｉ＝１ｘ ２ ｉ＝１０ ２＋１１ ２＋１３ ２＋１２ ２＝５３４， 所以ｂ ＾＝ ∑ ４ ｉ＝１ｘｉｙｉ－４珋 ｘ珋 ｙ ∑ ４ ｉ＝１ｘ ２ ｉ－ｎ珋 ｘ ２＝１２１１－４× １１．５× ２６ ５３４－４× １１．５ ２ ＝１５ ５＝３． ５分 ������������� 所以ａ ＾＝珋 ｙ－ｂ ＾珋 ｘ＝２６－３× １１．５＝－８．５， ６分 ������������������� 所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ ＾＝３ｘ－８．５． ８分 ����������������� （２）由（１）得，当ｘ＝８．５时，ｙ ＾＝３× ８．５－８．５＝１７， 所以第５年优惠金额为８．５千元时，销售量估计为１７辆． １０分 ���������� １８．解：（１）当直线过原点时，直线的方程为ｘ－６ｙ＝０， １分 ������������ 当直线不过原点时，设直线的方程为ｘ＋ｙ＝ａ，将点Ａ（６，１）代入解得ａ＝７， 即直线的方程为ｘ＋ｙ－７＝０， ３分 ����������������������� 所以所求直线的方程为ｘ－６ｙ＝０或ｘ＋ｙ－７＝０． ４分 �������������� （２）因圆心Ｃ在直线ｘ＋２ｙ－３＝０上，则设圆心Ｃ（３－２ｂ，ｂ）， 又圆Ｃ经过Ａ（６，１），Ｂ（３，－２）两点，于是得圆Ｃ的半径ｒ＝｜ＡＣ｜＝｜ＢＣ｜， 即有（３＋２ｂ） ２＋（１－ｂ） 槡 ２＝ ４ｂ ２＋（ｂ＋２） 槡 ２， ６分 ��������������� 解得ｂ＝－１，圆心Ｃ（５，－１），圆Ｃ的半径ｒ槡 ＝５， 所以圆Ｃ的标准方程为（ｘ－５） ２＋（ｙ＋１） ２＝５． ８分 ��������������� （３）依题意，直线ｌ的方程为ｙ＋２＝－３ ４（ｘ－３），即３ｘ＋４ｙ－１＝０， 圆心Ｃ（５，－１）到直线ｌ的距离为ｄ＝｜１５－４－１｜ ５ ＝２， １０分 ������������ 所以｜ＥＦ｜＝２ ｒ ２－ｄ 槡 ２＝２． １２分 ����������������������� 高二数学（理科）试题答案第２ 页（共４页） １９．证明：（１）取Ａ１Ｄ的中点Ｍ，连结ＭＥ、ＭＡ， １分 ���������������� 在△Ａ１ＤＣ中，Ｍ、Ｅ分别为Ａ１Ｄ、Ａ１Ｃ的中点，所以ＭＥ∥ＤＣ，且ＭＥ＝１ ２ＤＣ，底面ＡＢＣＤ是 平行四边形，Ｆ是棱ＡＢ的中点，所以ＡＦ∥ＤＣ且ＡＦ＝１ ２ＤＣ，所以ＭＥ∥ＡＦ且ＭＥ＝ＡＦ， ３分 �� ������������������������������������ 所以四边形ＡＦＥＭ为平行四边形，所以ＥＦ∥ＡＭ ５分 ��������������� ＥＦ平面Ａ１ＡＤ，ＡＭ平面Ａ１ＡＤ，所以ＥＦ∥平面Ａ１ＡＤ； ６分 ��� （２）在△ＡＢＣ中，由余弦定理有ＡＢ ２＝ＡＣ ２＋ＢＣ ２－２ＡＣ× ＢＣ× ｃｏｓ∠ＡＣＢ， 即３＝ＡＣ ２＋１－ＡＣ，解得ＡＣ＝２， ７分 ������������� 则Ｓ△ＡＢＣ＝１ ２ＢＣ× ＡＣ× ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝１ ２× １× ２× ｓｉｎ６０° ＝槡 ３ ２， 因为Ｆ为ＡＢ的中点，所以Ｓ△ＡＣＦ＝１ ２Ｓ△ＡＢＣ＝槡 ３ ４， ９分 ������ 由直四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，可得∠Ａ１ＡＣ＝９０° Ａ１Ａ＝ Ａ１Ｃ ２－ＡＣ 槡 ２ 槡 槡 ＝ ２８－４＝２６ １０分 ������������������� 所以ＶＦ－ＡＣＡ１＝ＶＡ１－ＡＦＣ＝１ ３Ｓ△ＡＦＣ·ＡＡ１＝１ ３×槡 ３ ４ 槡 × ２６＝槡 ２ ２ １２分 ���������� ２０．解：（１）由频率分布直方图可知，第１，２，３，５，６ 小组的频率分别为：０．１，０．１５，０．１５，０．２５，０．０５，所以 第四小组的频率为：１－０．１－０．１５－０．１５－０．２５－ ０．０５＝０．３． ２分 ���������������� 在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为 ０．０３，补全频率分布直方图对应图形如图所示： ４分 �� ������������������� （２）由频率分布直方图可得 平均分为：０．１× ４５＋０．１５× ５５＋０．１５× ６５＋０．３× ７５＋０．２５× ８５＋０．０５× ９５＝７１； ８分 �� ������������������������������������ （３）由频率分布直方图可知，区间［９０，１００］占５％，区间［８０，９０）占２５％， 估计本次数学考试“优秀”档次的分数线为ｘ， 由题可得：０．７＋（ｘ－８０）× ０．０２５＝０．８５ １０分 ����������������� 解得：ｘ＝８６ 所以，估计本次数学考试“优秀”档次的分数线为８６分． １２分 ����������� ２１．证明：（１）由题可知：平面ＡＢＣＤ⊥平面ＡＣＥＦ且交线为ＡＣ，由正方形ＡＢＣＤ可得， ＢＤ⊥ＡＣ，ＢＤ平面ＡＢＣＤ所以，ＢＤ⊥平面ＡＣＥＦ； ２分 ���������������� ∵ＢＤ平面ＢＤＦ，∴平面ＡＣＥＦ⊥平面ＢＤＦ ４分 ���������������� 高二数学（理科）试题答案第３ 页（共４页） （２）∵平面ＡＢＣＤ⊥平面ＡＣＥＦ，平面ＡＢＣＤ∩平面ＡＣＥＦ＝ＡＣ，ＦＡ⊥ＡＣ，ＦＡ平面ＡＣＥＦ， ∴ＦＡ⊥平面ＡＢＣＤ；ＡＤＡＢＣＤ，∴ＦＡ⊥ＡＤ ∵ＡＢ槡 ＝２，ＡＦ＝１，在直角三角形ＡＤＦ中，可得ＤＦ槡 ＝３，同理可得ＤＥ＝ＢＥ＝ＢＦ槡 ＝３ ∵Ｍ为ＥＦ中点，∴ＤＭ⊥ＥＦ，且ＤＭ＝ＢＭ槡 ＝２， ６分 ��������������� 又∵ＢＤ＝２，∴在△ＢＤＭ中，有ＢＤ ２＝ＤＭ ２＋ＢＭ ２，故ＤＭ⊥ＢＭ， ∵ＥＦ，ＢＭ平面ＢＥＦ，且ＥＦ∩ＢＭ＝Ｍ ∴ＤＭ⊥平面ＢＥＦ ８分 ��������������� （３）过Ａ作ＤＦ垂线，交ＤＦ于Ｈ点，连接ＢＨ， 由ＡＦ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ平面ＡＢＣＤ， ∴ＡＦ⊥ＡＢ， 而ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ∩ＡＦ＝Ａ，ＡＤ平面ＡＤＦ，ＡＦ平面ＡＤＦ， ∴ＡＢ⊥平面ＡＤＦ， １０分 ��������������� 故∠ＢＨＡ即为二面角Ａ－ＤＦ－Ｂ的平面角， 而ＡＨ＝槡 槡 ２ ３ ＝槡 ６ ３．ＡＢ槡 ＝２，故ｔａｎ∠ＢＨＡ＝槡 槡 ２ ６ ３ 槡 ＝３． ∴二面角Ａ－ＤＦ－Ｂ的大小为π ３ １２分 ��������������������� ２２．解：（１）由Ｍ：（ｘ－３） ２＋ｙ ２＝９，则圆心Ｍ（３，０），半径ｒ＝３， 由直线ｌ１过点Ｄ且斜率非０，则可设ｌ１：ｋｘ－ｙ－２ｋ＝０， 点Ｍ到直线ｌ１的距离ｄ１＝｜３ｋ－２ｋ｜ １＋ｋ 槡 ２＝ ｜ｋ｜ １＋ｋ 槡 ２， １分 ��������������� 故｜ＱＰ｜＝２ ｒ ２－ｄ 槡 ２ １＝２ ９－ ｋ ２ １＋ｋ 槡 ２＝２ ８ｋ ２＋９ １＋ｋ 槡 ２， ３分 �������������� 同理可得：｜ＥＦ｜＝２ ９ｋ ２＋８ １＋ｋ 槡 ２ ４分 ����������������������� 故Ｓ＝１ ２·｜ＥＦ｜·｜ＱＰ｜＝１ ２× ２ ８ｋ ２＋９ １＋ｋ 槡 ２× ２ ９ｋ ２＋８ １＋ｋ 槡 ２ ＝２（８ｋ ２＋９）（９ｋ ２＋８） （１＋ｋ ２） 槡 ２ ≤２× １７（１＋ｋ ２） ２ １＋ｋ ２ ＝１７． 当且仅当９ｋ ２＋８＝８ｋ ２＋９，即ｋ＝± １时，取等号， 故四边形ＥＰＦＱ的面积Ｓ最大值为１７． ６分 ������������������� （２）设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），直线ＰＱ：ｘ＝ｍｙ＋２， 联立（ｘ－３） ２＋ｙ ２＝９ ｘ＝ｍｙ { ＋２ ，消ｘ得（ｍ ２＋１）ｙ ２－２ｍｙ－８＝０， 高二数学（理科）试题答案第４ 页（共４页） 则ｙ１＋ｙ２＝ ２ｍ １＋ｍ ２，ｙ１ｙ２＝ －８ １＋ｍ ２，即ｙ１＋ｙ２ ｙ１ｙ２ ＝－ｍ ４， ８分 �������������� 直线ＯＰ的方程为ｙ＝ｙ１ ｘ１ ｘ，直线ＢＱ的直线方程为ｙ＝ ｙ２ ｘ２－６（ｘ－６）， 联立 ｙ＝ｙ１ ｘ１ ｘ ｙ＝ ｙ２ ｘ２－ｙ（ｘ－６        ） ，消ｙ得ｙ１ ｘ１ ｘ＝ ｙ２ ｘ２－６（ｘ－６）， 解得ｘ＝ ６ｘ１ｙ２ ｘ１ｙ２－ｙ１（ｘ２－６）＝ ６（ｍｙ１＋２）ｙ２ （ｍｙ１＋２）ｙ２－ｙ１（ｍｙ２－４） ＝３（ｍｙ１ｙ２＋２ｙ２） ２ｙ１＋ｙ２ １０分 ������������������������ 由ｙ１＋ｙ２ ｙ１ｙ２ ＝－ｍ ４，则ｍｙ１ｙ２＝－４（ｙ１＋ｙ２）， 得ｘ＝３（－４ｙ１－４ｙ２＋２ｙ２） ２ｙ１＋ｙ２ ＝－６， 所以，点Ｎ在定直线ｘ＝－６上． １２分 ���������������������