2021-2022年度第一学期高二年级数学科学科核心素养测试 参考答案

2021-2022 年度第一学期高二年级数学科学科核心素养测试参考答案 一、单项选择题：AADA BDCC 二、多项选择题：9．AC 10．ACD 11．BCD 12．ACD 三、填空题： 充分不必要 4 （1，＋∞） 17．【详解】（1）选择①： 由正弦定理 得， ， 由 得 ， 即 ． 又 ，∴ ， 又 ， ∴ ． 选择②： 由选择条件可得 由余弦定理 得 ， 又 ， ∴ ． （2）因为 ∴ ，即 ，∴ ， 又由余弦定理 ，化简得 ， 即 ， 所以 ， 所以 的周长为 ． 18．【详解】（1） ， 所以 的最小正周期为 （2）因为 ，所以 ， 所以当 即 时， 取得最大值为 ， 此时 ， 所以当 时， 取得最大值 . 19．解：（1）因为 ，所以 ； 又因为时间数据的第 百分位数为 ， 所以 ，则 ， 于是 ， 所以平均值为 ； （2）由于第二组和第四组的频率之比为： ， 那么分层抽样抽取的个人中，来自第二组共有 个人，设为 ，第四组共有 个人，设为 ， 则从个人中任选 人的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个， 其中 人来自不同组的事件有 ， ， ， ， ， ， ， 共个， 故所求概率为 . 20．【详解】（1）依题意知第10 天该商品的日销售收入为 ，解得 . （2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选② . ， ，可得 ，解得： （3）由（2）知 ∴ 当 时， 在区间 上是单调递减的，在区间 上是单调递增， 所以当 时， 取得最小值，且 ; 当 时， 是单调递减的，所以当 时， 取得最小值，且 . 综上所述，当 时， 取得最小值，且 . 故该商品的日销售收入 的最小值为121 元. 21．【详解】（1）连接 ，底面 是菱形， 是正三角形． 点 是 边的中点， 平面 ． （2）过 在平面 内做 于 ，连接 ， 由（1）知 面 ， 为 在面 内的射影． 直线 与平面 所成角的大小为 ． 为正三角形， ． 在 中， ． 为二面角 的平面角， 在 中， ． 故二面角 的大小为 ． 22．解：（1）∵ , ∴ . 又 为偶函数, 为奇函数, ∴ , , ∴ , . （2）存在满足条件的正整数n. 由题意可知： 为奇函数,其图象关于 中心对称, ∴函数 的图象关于点 中心对称, 即对 , . ∵ , ∴ . 两式相加,得 , 即 . ∴ . 由 ,得 , . ∵ , ∴ , 由此可得 恒成立. 即 对任意的 恒成立. 令 , , ,则 , , ,且 , 则 ∵ , ,∴ . 则 在 上单调递增, ∴ 在 上单调递增, ∴ ∴ . 又由已知 , , ∴