黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题

铁人中学2020 级高二学年下学期开学考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12 小题，每小题5 分，共60 分。） 1.两直线 l1:ax+ y+1=0 和l2: x−a 2 y−1=0 互相垂直，则a 的值是（ ） A.0 B. 1 C. 0 或1 D. 1 或-1 2. 等比数列 中， ， ，则 （ ） A.90 B.120 C.240 D.480 3.函数 是 上的单调函数，则 的范围是（ ） A． B． C． D． 4．函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 5.曲线 与直线y＝k(x－2)＋4 有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.在四棱锥 中， ，则这个四棱锥的高 为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.等差数列 的首项为正数，其前n 项和为 .下列说法错误的是（ ） A. 若 有最大值，则数列 的公差小于0 B. 若 ，则使 的最大的n 为18 C. 若 ， ，则 中 最大 D. 若 ， ，则数列 中的最小项是第9 项 8．若函数 恰有两个零点，则 在 上的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 9. 如图所示，已知 是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点， 在 轴上， ，且 是 的中点， 为坐标 原点，若点 到直线 的距离为3，则椭圆 的 方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 ， ，若 在 单调递增， 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.已知点 ， 分别为双曲线 的左，右焦点， 为 的左支上一点， ，若圆 与直线 相切，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 12.已知函数 ，若 ，则 的取值范围 是（ ） A． B． C D． 第II 卷 主观题部分 二、填空题（每小题5 分，共20 分。） 13. 已知函数 ， 是函数 的一个极值点，则a=__________. 14. 已知直线过抛物线 的焦点，并交抛物线 于 ， 两点， ，则弦AB 中 9 0 a  2 ( ) ex x a f x    f x l 2 : C y x  C A B | | 2 AB  点 的横坐标是 ___________ . 15.设双曲线 的左右两个焦点分别为 ，P 为双曲线上任意一点，过 的直线与 的平分线垂直，垂足为Q，则OQ 的长度为____________ 16. 设函数 ,若正项等比数列 满足 ，则 = ____________ 三 解答题 （17 题10 分，其余每小题12 分，共70 分。） 17. 已知等差数列 的公差 ， ，且 成等比数列. (1)求 的通项公式 (2)设 ,求数列 的前2 项和 . 18. 已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）求证：当 时， . 19．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F 分别为 和 的中点，D 为棱 上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成 夹角的正弦值最小. 20.已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且2Sn=3an+4 n−7 （1）证明:数列 为等比数列 ； （2）若 ， 求证：{bn}的前n 项的和 . 21.已知椭圆C： 的离心率为 ， ， 是椭圆的左、右焦点，过 且 垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，求 （O 为坐标原点）的面积的最大值． 22. 已知 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 在 上有1 个零点，求实数a 的取值 G . 范围． 铁人中学2020 级高二学年下学期开学考试 数学试题答案 一、1-6 CBDBDD BADDAC 二、13 -1 14 15 5 16 三、17.（1）由已知，有 ，解得 所以 （2）因为 ，所以 所以 18.（1）依题意知函数定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝2x-2 = ，由f′(x)>0， 得 x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1 ，∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1) （2）设g(x)＝f（x）-3x+4=x2－2lnx-3x+4， ∴g′(x)＝2x-2 --3= ， ∵当x>2 时，g′(x)>0， ∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数， ∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x>2 时， x2-2lnx>3x-4, 即当x>2 时 .. 19. 解：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 平面 ．所以 两两垂直． 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图． 所以 ， ．由题设 （ ）． （1）因为 ， 所以 ，所以 ． （2）设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以 ，即 ．令 ，则 因为平面 的法向量为 ， 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ． 当 时， 取最小值为 ，此时 取最大值为 ． 所以 ，此时 ． 20.（1）证明：当 ； ，两式相减得： 又 ，所以数列 为以1 为首项，3 为工笔的等比数列 （2） ，由此可得 因为n 为正整数，所以 >0 所以 21. 解：（1）椭圆C 的离心率为 ，由过 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长 为1， 将 代入椭圆C 方程，得 ，即 ， 所以 解得 椭圆C 的方程为 ； （2）由题意可知直线l 的斜率不为0， 则设直线l 的方程为 ， ， ， 联立 得 ， ， ， ， 面 积 ， ， 设 ， ， ， ，当 ， 时取得“ =” ，所以 ， ， 所以 面积的最大值为1． 22（1）函数 的定义域为R，求导得： 当 时，当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递减， 在 上单调递增， 当 时，令 ，得 ， 若 ，即 时， ，则有 在R 上单调递增， 若 ，即 时，当 或 时， ，当 时， ， 则有 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减， 若 ，即 时，当 或 时， ，当 时， ， 则有 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减， 所以，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减， 当 时， R 上单调递增， 当 时， 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减. （2）依题意， ， ，当 时， ， 当 时， ， ，则函数 在 上单调递增，有 ， 无零点， 当 时， ， ，函数 在 上单调递减， ，无零 点， 当 时， ，使得 ，而 在 上单调递增，当 时， ，当 时， ， 因此， 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， 若 ，即 时，无零点，若 ，即 时， 有一个零点， 综上可知，当 时， 在 有1 个零点 在