黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题

大庆铁人中学2021-2022 学年度高二上学期开学考试 数学试题 分数：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（ 每小题5 分 共60 分） 1. 若复数 ，则 （ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2.在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点 ，则 （ ） A. -10 B. 10 C. -12 D. 12 3.下列结论错误的是（ ） A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C. 若 是两个不共线的向量，且 ( 且 )，则 构 成空间的一个基底 D. 若 、 、 不能构成空间的一个基底，则 四点共面 4. 已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到 的距离为 （ ） A. 10 B. 3 C. D. 5. 已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ， ，则 6. 已知向量 ，若 共面，则 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 1 或 D. 1 或0 7.进入8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为 24 小时内最高气温将升至37 摄氏度以上），在今后的3 天中，每一天最高气温在37 摄氏度以上的 概率是 .用计算机生成了20 组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用 6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的3 天中恰有2 天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A. B. C. D. 8.设 若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 9.下面两个图是2020 年6 月25 日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日 期，纵向标注累计数量.现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数 累计死亡数 累计治愈数. 则下列叙述错误的是（ ） A．自1 月20 日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期 B．自4 月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制 C．自6 月16 日至24 日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加 D．自6 月16 日至24 日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少 10. 在正方体 中， 为棱 的中点， 是为棱 上的点，，且 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 11.如图，已知正方体 的棱长为1， 分别是棱 的中点。若点 为 侧面 内（含边界）的动点，且存在 ，使 ,则点 的轨迹长度为 （ ） A. B. C. D. 12. 在ABC  中，角A B C ，， 所对的边分别为 ， ， ， 为 的外接圆， ，给出下列四个结论：正确的选项是（ ） ①若 ，则 ； ②若P 在 上，则 ； ③若P 在 上，则 的最大值为2； ④若 ，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 . A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（ 每小题5 分 共20 分） 13．已知 ，则以 为邻边的平行四边形的面积是_________. 14．已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值为_______ __. 15. 若满足 ， 的 有且只有一个，则边 的取值范围是_________. 16. 在四棱锥 中，平面 平面 ，且 为矩形， 则四棱锥 的外接球的体积为_________. 三、解答题（ 17 题10 分，18~22 每题12 分） 17．（10 分）在 中， 分别为角 的对边，且 . （1）求 ； （2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围. 18. （12 分）在平行六面体 中， 0 4, 3, 5, 90 , AB AD AA BAD      ,点 为 与 的交点，点 在线段 上，且 （1）求AC 的长；, （2）设 ,求 的值 P A B C D M H G [18 题图] [20 题图] 19. （12 分）已知 的面积为 ， . （1）求 的大小； （2）若 ，求三角形内切圆半径 . 20. （12 分）如图所示，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形， 是 的中 点，在 上取一点 ，过 和 作平面交 于点 . （1）求证： ； （2）已知 是边长为4 的等边三角形， ， 且平面 平面 ， ，求四棱锥 的体积. 21. （12 分）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100 分，成绩都是整 数）中抽取一个样本量为100 的样本，其中男生成绩数据40 个，女生成绩数据60 个，再将40 个男 生成绩样本数据分为6 组： ， ， ， ， ， ，绘 制得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80 百分位数； （Ⅱ）在区间 和 内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查 对象来自不同分组的概率； （Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71 和187.75，女生成绩样本数据的平均数和 方差分别为73.5 和119，求总样本的平均数和方差． A1 C F E C1 A B B1 [21 题图] [22 题图] 22. （12 分）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ， ， ， 分别是 的中点． （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. （3）求平面 与平面 夹角的正弦值 大庆铁人中学2021-2022 学年度高二上学期开学考试 数学答案 一、单选题 1-5 BDCDC 6-10 CACDB 11-12 CB 二、填空题 13.6 5 14.2 15.   1 2,   16. 4 3 三、解答题 17．（1）由正弦定理得： ， ， ， ， 整理可得： ， ， ， ，又 ， ； （2） 为锐角三角形， ， ，即 ， 解得： ； 由正弦定理可得： ， ， ，则 ， ， 即 的取值范围为 . 18. （1） ' ' AC AB AD AA    � ,   2 2 2 2 ' ' 2 ' ' 85 AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA        �     , （2）     1 1 1 1 ' ' ' ' ' ' 3 2 3 2 EF EC C F AC BC AB AD AA AD AA          � � 19.（1）由面积公式可知 ，即 ，由正弦定理可知 . （2） 面积 ， 设三角形内切圆半径为，则 ，得 . 20. （1）证明：如图所示，连接 交 于点 ，连接 ∵四边形 是平行四边形 ∴ 是 的中点 又 是 的中点 ∴ 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又平面 平面 ， 所以 . （2）由（1）知 ，且 ， ， 所以 为 的中点， 为 的中点， 延长 与 交于 ，则 在 上，如图： 因为 为 的中点，所以 ，所以 ， , 取 的中点 ，则 ，又平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以 到平面 的距离为 ， ∴ . 21. （1）由频率分布直方图可知，在 内的成绩占比为70%，在 内的成绩占比为 95%，因此第80 百分位数一定位于 内． 因为 ， 所以估计男生成绩样本数据的第80 百分位数约是84． （2）在区间 和 内的男生成绩样本数据分别有4 个和2 个，则在这6 个数据中随 机抽取两个的样本空间 包含的样本点个数为 ． 记事件 “调查对象来自不同分组”， 则事件 包含的样本点个数为 ， 所以 ． （3）设男生成绩样本数据为 ， ，…， ，其平均数为 ，方差为 ；女生 成绩样本数据为 ， ，…， ，其平均数为 ，方差为 ；总样本的平均数为 ，方差为 ． 由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 得 ． 因为 ， 又 ， 同理 ，所以 ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5 和148． 22. （1）如图所示，连结 ， 等边 中， ，则 ， 平面ABC⊥平面 ，且平面ABC∩平面 ， 由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ， 由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ， 由线面垂直的判定定理可得： 平面 ， 结合 平面 ⊆ ，故 . （2）在底面ABC 内作EH⊥AC，以点E 为坐标原点，EH,EC, 方向分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系 . 设 ，则 ， , ， 据此可得： ， 由 可得点 的坐标为 ， 利用中点坐标公式可得： ，由于 ， 故直线EF 的方向向量为： 设平面 的法向量为 ，则： ， 据此可得平面 的一个法向量为 ， 此时 ， 设直线EF 与平面 所成角为 ，则 . （3）由（1）知，平面 1 AAC 的一个法向量为 (1,0,0) n   ， 可得 5 cos , 5 m n m n m n     � � � ， 可得 2 5 sin , 5 m n  � ， 即二面角 1 A AC B   的正弦值为 2 5 5