湖北省武汉市部分重点中学2021-2022 学年高二下学期3月联考试题 数学

武汉市部分重点中学2021——2022 学年度下学期三月联 考 高二数学试卷 一、单选题 1．已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．在等比数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．设 是定义在R 上的可导函数，若 （ 为常数），则 （ ） A． B． C． D． 4．某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16 米高处下落，每次着地后又弹回原来 高度的一半再落下，则第6 次着地时乒乓球所运动的路程之和为（ ） A．31 米 B．31.5 米 C．47 米 D．63 米 5．已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．已知数列 的前n 项和为 ， ， ，则 （ ） A． B． C．1025 D．2049 7．若函数 在 上的最大值与最小值之和不小于 ， 则实数a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．函数 在定义域 内恒满足 ，其中 为 的导函 数，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设等差数列 的前n 项和是 ，若 （ ，且 ），则必定有 （ ） A． B． C． D． 10．对于函数 ，下列说法中正确的是（ ） A． 存在有极大值也有最大值 B． 有三个零点 C．当 时， 恒成立 D．当 时， 有3 个不相等的实数根 11．已知函数 R 则下列判断正确的是（ ） A．函数 的图象关于y 轴对称 B．函数 在 上单调递增 C．函数 的最小值为2，无最大值 D．不等式 的解集为 12．设函数 数列 满足 ，则（ ） A．当 时， B．若 为递增数列，则 C．若 为等差数列，则 D．当 时， 三、填空题 13．已知函数 ，其中 ，若函数 在 处取得极大值，则 __________. 14．在等差数列 中， ，当 取得最小值时， ______. 15．已知 ，直线 与曲线 相切，则 的最小值是________． 16．已知数列 的通项公式是 ，数列 的前n 项和为 ，且 ．那么 _________． 四、解答题 17．已知 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求曲线 过原点 的切线方程. 18．已知数列 的前 项和为 ，在① ＝ －，② ＝ 这两个条件中任 选一个，并作答. (1)求数列{ }的通项公式； (2)设 ＝ ，求数列{ }的前 项和 . 19．已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)讨论函数 的零点个数. 20．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半 径为100 m，其与城站路一边所在直线l 相切于点M，MO 的延长线交圆O 于点N，A 为上 半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设 △ABM 的面积为S(单位：m2). （1）以∠AON=θ(rad)为自变量，将S 表示成θ 的函数； （2）求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积. 21．设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，且 (1)求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式； (2)设 ，若对任意正整数 ，当 时， 恒成立， 求实数的取值范围. 22．设函数 的零点为 ， 的零点为 ，其 中 ， 均大于零. (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)当 时，求证： . 参考数据： ， . 高二数学参考答案： 1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．AD 10．CD 11．ACD 12．AD 13．1 14．7 15． 16． 17．解：（1）由 求导得： ，当 时， ， 由点斜式得曲线在点 处的切线方程为 ，即 ， 所以曲线 在点 处的切线方程 ； （2）由题意知，点 不在曲线上，设切点为 ，由(1)知曲线 在点B 处切线斜率为 ，切线方程为 ， 即 ，而切线过点 ，即 ， 解得 ，于是得所求切线方程为 ， 所以曲线 过原点 的切线方程为 . 18．解：(1)若选①，则当 时， ，得 ， 当 时，由 ＝ －，得 ， 所以 ，得 ， 所以数列 是以2 为公比，3 为首项的等比数列，所以 若选②，则当 时， ， 当 时，由 ＝ 可得 ， 两式相减 ，即 ， 满足上式，所以 (2)由（1）得 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 所以 19．解：(1)函数 的定义域为 ， . 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. (2)令 ，得 .令 ，则 ， 令 ，得 ；令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 ；当 时， ，当 时， ，所以 ，所以函数 的图象如图所示，由图可得， 当 时，直线 与函数 的图象没有交点，函数 没有零点； 当 或 时，直线 与函数 的图象有1 个交点，函数 有1 个零点； 当 时，直线 与函数 的图象有2 个交点，函数 有2 个零点. 20．解：(1)依题意，四边形ABMO 是直角梯形，其中 ， (0<θ<π)， 于是得BM=100sin θ，AB=100+100cos θ，则 ， 所以 (0<θ<π)； (2)由(1)知 (0<θ<π)，则 ， 因0<θ<π，则 ，由 得， ，即 ，当 时， ， ，当 时， ， ， 因此， 在 上单调递增，在 上单调递减， 则当 时， ，，此时AB=150， 所以当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为 m2. 21．解：(1)当 时， 得到 ，∴ ， 当 时， 是以4 为首项，2 为公差的等差数列 ∴ 当 时， 当 时， 也满足上式， . (2) 令 ， 当 ， 因此 的最小值为 ， 的最大值为 对任意正整数，当 时， 恒成立，得 ， 即 在 时恒成立， ，解得t＜0 或t＞3. 22．(1)解：由题意， 在 上有解，即 在 上有解，因为 在 上单调递增，且 时， ， 时， ， 所以 ，即实数 的取值范围 ； (2)证明：当 时，由（1）问知 ， ，将 替换为， 构造函数 ，则函数 的零点为 ， ，其中 ， 又 ， ，所以 在 上单调递增， 所以 ，所以 在 上单调递增，又 ， 所以当 时， ，即 ，函数 在 上单调递减， 当 时， ，即 ，函数 在 上单调递增， 又 ，且函数 在 上单调递减，所以 在 上无零点， 由参考数据 ， ，可得 ， ， 所以 在 上存在零点 ，且 ，构造函数 ， 因为 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，即 ，整理得 .