湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

武汉市部分重点中学2021—2022 学年度下学期期中联考 高一数学试卷 命题学校：武汉十一中命题教师：审题教师： 考试时间：2022 年4 月20 日上午9:00—11:00 试卷满分：150 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．平面与平面平行的充分条件可以是（） A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线a  ∥ ，a  ∥ ，且直线a 不在内，也不在内 C．直线a   ，直线b   ，且a  ∥ ，b  ∥ D．内的任何一条直线都与平行 2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若 4 (1 i) 3 4i z    ，则z 的虚部为（） A．16 25 B．16 i 25 C． 16 25  D． 16 i 25  3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶 体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的容积约 为（） A． 3 100cm B． 3 200cm C． 3 300cm D． 3 400cm 4．已知ABC  外心是O，且2 ,| | | | AO AB AC OA AB    � ，则BA � 在BC � 上的投影向量为（） A．1 4 BC � B． 3 4 BC � C． 1 4 BC  � D． 3 4 BC  � 5．已知圆锥的底面半径为R，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（） A． 2 2 R  B． 2 9 4 R  C． 2 8 3 R  D． 2 R  6．点O 是ABC  内一点，且满足3 4 5 0 OA OB OC    � ．则 AOB ABC S S   的值为（） A．3 5 B．4 7 C．5 12 D．1 3 7．ABC  中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边， , 3, 4 6 B b a    ，则ABC  为（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形或钝角三角形 D．直角三角形 8．在直角ABC  中，斜边BC 长为a，若ABC  所在平面内关于点A 对称的两点P，Q 满足 | | 2 PQ a  ，则BP CQ  � 的最大值为（） A．0 B． 2 a C． 2 2a D． 2 a  二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．设i 为虚数单位，复数 ( )(1 2 ) z a i i    ，则下列命题正确的是（） A．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2 B．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是 1 ,2 2        C．实数 1 2 a  是z z  （z 为z 的共钜复数）的充要条件 D．若 | | 5i( ) z z x x   R ，则实数a 的值为2 10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（） A．AB CD ∥ B．GH 与CD 相交C．EF CD ∥ D．AB 与GH 异面 11．已知 1 2 , e e � 是两个单位向量， R  时， 1 2 e e   � 的最小值为 3 2 ，则下列结论正确的是 （） A． 1 2 , e e � 的夹角是 3 B． 1 2 , e e � 的夹角是 3 或2 3  C． 1 2 1 e e   � 或 3 D． 1 2 1 e e   � 或 3 2 12．在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，如图M，N 分别是正方形ABCD ， 1 1 BCC B 的中心．则下 列结论正确的是（） A．平面 1 D MN 与棱 1 1 B C 的交点是 1 1 B C 的三等分点 B．平面 1 D MN 与棱BC 的交点是BC 的中点 C．平面 1 D MN 与棱AD 的交点是AD 的三等分点 D．平面 1 D MN 将正方体分成前后两部分的体积比为2 :1 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知 1 tan , R 4 2             ．若向量 (2tan ,1), (1, tan ), a b a b         ___________． 14．一般地，, a b   的夹角可记为 , a b   ，已知OA OB  � ， , 30 OB OC   � ， , 120 OA OC   � ，| | 2 OA  � ，| | 3 OB  � ，| | 1 OC  � ，OC OA OB     � ，则   _____ ____． 15．在ABC  中， 5 3 sin ,cos 13 5 A B   ，则cosC ______． 16．圆锥PO 底面半径与高均为3，过PO 中点O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去 一个圆柱，剩下几何体的体积为________，表面积为_________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17．（10 分）已知复数 1 2 1 , , z i z m i m    R ，i 为虚数单位． （1）若 1 z 在复平面内对应向量 1 OZ � ，将 1 OZ � 绕点O 顺时针旋转60得到向量对应的复数为 3 z ， 求 3 3 z z  ； （2）若 2 z 是关于x 的方程 2 10 0( ) x nx n    R 的一个根，求实数m 与n 的值． 18．（12 分）ABC  中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知 cos2 3cos( ) 1 A B C   ． （1）求 A  的大小； （2）若ABC  的面积 3 3, 4 S b  ，求sin sin B C 的值． 19．（12 分）已知OAB  中，点D 在线段OB 上，且 3 OD DB  ，延长BA到C，使BA AC  ． 设OA a  � ，OB b  � ． （1）用, a b   表示向量 , OC DC � ； （2）若向量OC � 与OA kDC  � 共线，求k 的值． 20．（12 分）在①cos cos 2 B b C a c   ，② sin sin sin A b c B C a c     ，③2 3 S BA BC   � 三个条 件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在ABC  中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且选条件：_____________． （1）求 B  ； （2）作AB AD  ，使得四边形ABCD 满足 , 2 4 ACD AD     ，求BC 的取值范围． 21．（12 分）如图，在五棱锥P ABCDE  中， 2 1 , , , 3 2 AB ED CD AE AB ED CD AE   ∥ ∥ ，F 为棱PE 上一点，且满足 1 3 PF PE  ，平 面ABF 与棱 , PD PC 分别交于G，H． （1）求证：AB FG ∥ ； （2）求PH PC 的值． 22．（12 分）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为7cm,31cm ，高为32cm ，如图水平放置， 盛有水深为12cm ． （1）求玻璃容器的体积； （2）将一根长度为40cm 的搅棒l 置入玻璃容器中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱 1 GG 上，求l 没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计） 武汉市部分重点中学2021—2022 学年度下学期期中联考 高一数学试卷参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B A B C B A ACD BCD BC ACD 13． 1 3  14．1 4 15． 16 65  16．45 27 18 2 , 8 2    17．解：（1）依题意可知     3 1 3 1 3 2 cos 105 sin 105 2 2 z i               ∴ 3 3 1 3 1 3 2 6 2 6 2 2 2 2 2 z z i i                （2）由条件可知： 2 ( ) ( ) 10 0 m i n m i     ，整理得：  2 9 (2 ) 0 m nm m n i      ∵ , m n R ，∴ 2 9 0 2 0 m nm m n         解得 3, 6 m n  或 3, 6 m n   ． 18．解：（1）原式可化为： 2 2cos 3cos 2 0 A A    ，解之得： 1 cos 2 A  或2  （舍去） ∵0 A    ，∴ 3 A   （2） 1 sin 3 3 2 S bc A   ，∴ 3 c  由余弦定理得： 2 2 2 cos 13 a b c bc A      正弦定理得： 2 39 sin sin sin 3 b c a B C A    ，代入 4, 3 b c  得 9 sin sin 13 B C   19．解：（1）∵A 为BC 的中点，∴ 1 ( ) 2 OA OB OC   � ， 可得 2 2 OC OA OB a b     �   ，而 3 7 2 4 4 DC OC OD OC OB a b       �   （2）由（1）得 7 (2 1) 4 OA kDC k a kb     �   ， ∵OC � 与OA kDC  � 共线，设 ( ) OC OA kDC    � 即 7 2 (2 1) 4 a b k a kb         ， 根据平面向量基本定理，得 2 (2 1) 7 1 4 k k           解之得 2 3 k  ． 20．解：若选①：由cos cos 2 B b C a c   ，根据正弦定理可得cos sin cos 2sin sin B B C A C   ， 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C   ， 即2sin cos sin cos sin cos sin( ) sin A B B C C B B C A      ， 可得 1 cos 2 B  ，因为 (0, ) B   ，所以 2 3 B   ， 选②：由 sin sin sin A b c B C a c     ，根据正弦定理可得 a b c b c a c     ， 可得 2 2 2 a ac b c    ，即 2 2 2 a c b ac    ， 又由余弦定理，可得 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac       ， 因为 (0, ) B   ，所以 2 3 B   ， 若选③：由2 3 S BA BC   � ，可得 1 2 sin 3 cos 2 ac B ac B   ， 即sin 3cos B B  ，可得tan 3 B  ，因为 (0, ) B   ，所以 2 3 B   ， 以下同：（2）设 BAC    ，则 , 2 4 CAD CDA          ， 在ACD  中，由正弦定理得 sin sin AC AD ADC ACD    ， 可得 2 sin sin 4 2sin sin 4 sin 4 AD ADC AC ACD                          ． 在ABC  中，由正弦定理得 sin sin AC BC B   ， 可得 2sin sin sin 4 4 sin sin 2 sin 4 3 sin 3 AC BC B                             2 4 2 2 4 2 2 sin cos sin sin sin cos 2 2 2 2 3 3                         2 2 2 2sin 2sin cos (1 cos2 sin2 ) 3 3           2 3 2 2 6 2 3 6 sin2 cos2 sin 2 3 2 2 3 3 4 3                       ， 因为0 3     ，可得 5 2 4 4 12         ， 当 5 2 4 12     时，即 3   ，可得2 3 5 6 6 2 sin 3 12 3 2     ， 当2 4 4     时，即 0 ，可得2 3 6 sin 0 3 4 3           ， 所以BC C 的取值范围是 6 2 0, 2        ． 21．解：∵ , ED AB ED  ∥ 平面 , ABF AB 平面ABF ∴ED∥平面ABF ∵ED 平面PED ，平面PED 平面ABF FG  ∴ED FG ∥ ，又ED AB ∥ ∴AB FG ∥ （2）设AB 与CD 交点M，则MD 的中点为C，由（1）知 1 3 PG PD  ．易知M 平面ABF ， M 平面PCD ∴MG 平面ABF 平面ACD 又H 为PC 与平面ABF 的交点 ∴H MG PC   在MPD  中，如图 1 3 PG PD  ，C 为MD 中点，由平面几何知识易知H 为PC 中点，故 1 2 PH PC  另解：M，H，G 共线 1 (1 ) 3 PH kPM k PD     � 又C 为MD 中点， 1 1 2 2 PC PM PD   � 设PH PC   ，故PH PC   � ，∴ 1 2 1 1 (1 ) 3 2 k k            解得 1 2  22．解：（1）由题意可知，下底面面积为 2 2 1 3 147 3 7 6 cm 4 2 S    ，上底面的面积 2 2 3 31 6 4 S    2 2883 3 cm 2 ，又台体的高为32cm ， 所以正六棱台的体积     3 1 2 1 2 1 1 147 3 2883 3 147 3 2883 3 32 19632 3 cm 3 3 2 2 2 2 V h S S S S                   （2）设搅棒在 1 GG 上的点为M，则 40cm EM  ，搅棒与水面的交点为N，在平面 1 1 E EGG 中， 过点N 作NP EG  ，交EG 于点P，过点E 作 1 1 EQ E G  ，交 1 1 E G 于点Q， ∵ 1 1 1 1 1 1 EABGCD E A B G C D  为正六棱台，∴ 1 1 1 1 1 1 , , EE GG EG E G EG E G   ∥ ， ∴ 1 1 EE G G 为等腰梯形，画出平面 1 1 EE G G 的平面图， ∵ 1 1 62cm, 14cm, 32cm, 12cm E G EG EQ NP     ， ∴ 1 24cm E Q  ， 由勾股定理得： 2 2 1 1 40cm E E E Q EQ    ， ∴ 1 1 4 sin 5 EE G   ， 1 1 4 sin sin 5 EGM EE G     ， 3 cos 5 EGM   ， 根据正弦定理得：sin sin EM EG EGM EMG    ，∴ 40 14 4 sin 5 EMG   ， ∴ 7 24 sin ,cos 25 25 EMG EMG     ， ∴sin sin( ) GEM EGM EMG     3 sin cos cos sin 5 EGM EMG EGM EMG        ， ∴ 12 20cm 3 sin 5 NP EN GEM     ． ∴搅棒l 没入水中部分的长度为20cm ．