东省济南市历城第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

高一线上教学质量评估（数学） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程 2 x x  的所有实数根组成的集合为( ) A. (0,1) B. {(0,1)} C. {0,1} D. 2 { } x x  2. 设命题p： { | 1} n n n   ， 2 2 1 n n  ，则命题p 的否定是( ) A. { | 1} n n n   ， 2 2 1 n n   B. { | 1} n n n   ， 2 2 1 n n   C. { | 1} n n n   ， 2 2 1 n n   D. { | 1} n n n   ， 2 2 1 n n   3. “ 1 8 a  ”是“对任意的正数x，2 1 a x x   ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数 2 ( ) (1 )sin 1 x f x x e   的图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 5. 已知函数 ，则函数 的定义域为( ) A.  ,1  B.  , 1  C. D. 6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余 爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略描绘，将画中女子的嘴唇A、C 处作圆弧的切线，两条切线交 于B 点．测的如下数据： 6 AB cm  ， 6 BC cm  ， 10.392 AC cm  ，( 其中 3 0.866). 2  根据测量得到的 结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作圆弧对应的圆心角大约等于( ) A. 3  B. 4  C. 2  D. 2 3  7.已知ABC  的三个内角分别为A、B、C，若满足 1 sin ,tanC 2 3 A   ，那么   tan 2 2 A C  ( ) A. 10 2 23  B. 2 2 C. 2 2  D. 56 2 17 8.为了衡量星星的明暗程度， 古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小， 星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普 森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足   1 2 2 1 2.5 lg lg m m E E    ， 其中星等为 k m 的星的亮度为 ( 1,2). k E k  已知“心宿二”的星等是1.00， “天津四” 的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的( )倍.( 当| | x 较小时， 2 10 1 2.3 2.7 ) x x x   A. 1.27 B. 1.26 C. 1.23 D. 1.22 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选 对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 下列不等式中正确的是( ) A. 0.3 0.3 1.2 1.3  B. 0.3 0.2 0.2 0.2  C. 0.3 0.3 log 1.2 log 1.3  D. 1.2 0.2 log 0.3 log 0.3  10. 已知 0 a  ， 0 b  ， 1 a b  ，则( ) A. 的最大值为 2 B. a b  的最大值为2 C. 的最小值为0 D. 2 2 1 2 a ab  的最小值为 3 1  11.已知函数 ( ) | cos | cos| 2 | f x x x   ，下列说法正确的是( ) A. 若 [ , ] x   ，则 ( ) f x 有2 个零点 B. ( ) f x 的最小值为 2 2  C. ( ) f x 在区间(0, ) 4  上单调递减 D. 是 ( ) f x 的一个周期 12．定义： { ( ) ( )} N f x g x  表示 ( ) ( ) f x g x  的解集中整数的个数.若 2 ( ) | log | f x x  ， 2 ( ) ( 1) 2 g x a x    ，则下列 说法正确的是（ ） A．当 0 a  时， { ( ) ( )} N f x g x  =0 B．当 0 a  时，不等式 ( ) ( ) f x g x  的解集是1 ( ,4) 4 C．当 0 a  时， { ( ) ( )} N f x g x  =3 D．当 0 a  时，若 { ( ) ( )} 1 N f x g x   ，则实数a 的取值范围是( , 1]  三 、 填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 2 0 3 1 lg16 ( 1) 27 lg50 4      ___________. 14.已知函数 ( ) log ( 2) 1( 0, 1) a f x x a a      的图象恒过点P，若点P 在角的终边上，则sin 2_________． 15.已知f(x)＝ |x＋1|，x≤0， |log2x|，x>0， 若方程f(x)＝a 有四个不同的解x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＋1 x3 ＋1 x4 的取值范围 是 16．定义在R 上函数 ( ) f x 满足    1 1 2 f x f x   ，且当   0,1 x 时，  1 2 1 f x x   .若当x∈  , m 时，  1 16 f x  ，则m 的最小值等于________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合   |1 2 1 5 A x x    ，集合      | 1 2 1 0 B x x a x a       ，其中实数 1 a ． (1)当 3 a  时，求   R A C B  ； (2)若“ x A  ”是“ x B  ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（1）已知方程sin( 3 ) 2cos( 4 )        ， sin( ) 5cos(2 ) 3 2sin sin( ) 2                    的值． （2）已知 1 tan , tan   是关于x 的方程 2 2 3 0 x kx k     的两个实根，且 7 3 2      ，求cos sin    的值． 19．已知函数 ( ) 3 cos 2 2sin cos 3 f x x x x           . (1)求 ( ) f x 的最小正周期以及对称轴方程； (2)设函数 5 ( ) 12 12 g x f x f x                  ，求( ) g x 在0, 2        上的值域. 20．已知正实数a ，定义域为R 的函数 3 ( ) 1 3 x x a f x a   是偶函数. (1)求正实数a 的值并判断并证明函数  f x 在  0,   上的单调性； (2)对任意的t R ，不等式     2 1 2 f t f t m    恒成立，求实数m 的取值范围. 21. 科技创新在经济发展中的作用日益凸显，某科技公司为实现9000 万元的投资收益目标，准备制定一个激励 研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000 万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金( y 单位：万元) 随投 资收益( x 单位：万元) 的增加而增加，奖金总数不低于100 万元，且奖金总数不超过投资收益的20%. (1)现有三个奖励函数模型：① ，② ，③ ， 试分析这三个函数模型是否符合公司要求？ (2)根据(1)中符合公司要求的函数模型， 要使奖金额达到350 万元， 公司的投资收益至少要达到多少万元？ 22．已知奇函数  f x 和偶函数 g x 满足   3sin e e x x g x x f x      ． (1)求  f x 和 g x 的解析式； (2)存在   1 2 , 0, x x  ，使得      2 2 1 1 e x f x a x g     成立，求实数a 的取值范围．