山东省济南市历城二中2022-2023学年度58级高二上学期数学期中考试数学试题

1 历城二中58 级高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知双曲线 2 2 2 : 1 y C x b − = 的一个焦点为( 2,0) − ，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ） A． 3 1 0 x y + −= B．3 1 0 x y + −= C． 3 0 x y + = D．3 0 x y + = 2．如果方程 2 2 2 1 6 x y a a + = + 表示焦点在𝑦轴上的椭圆,则实数𝑎的取值范围是（ ） A．(3, ) + B．( , 2) −− C．( , 2) (3, ) −− + D．( 2,0) (0,3) − 3．已知圆C ： 2 2 2 x y + = ，点 ( , 3) A m m − ，则点A 到圆C 上点的最小距离为（ ） A．1 B．2 C． 2 2 D．3 2 2 4．已知矩形ABCD，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD，M，N 分别为PC，PD 上的点，且 2 PM MC = ，PN ND = ，NM xAB yAD zAP = + + ，则x y z + + =（ ） A．2 3 B． 2 3 − C．1 D．5 6 5． 已知直线1 l ： 2 2 0 x y t + + = 和直线2 l ：2 4 2 3 0 x y t + + − = ， 则当1 l 与2 l 间的距离最短时，t 的值为 （ ） A．1 B．1 2 C．1 3 D．2 6．已知大小为60的二面角 l   −− 棱上有两点A、B，AC   ，AC l ⊥， BD   ，BD l ⊥，若 3 AC = ， 3 BD = ， 7 CD = ，则AB 的长为（ ） A．22 B．40 C．2 10 D． 22 7．第24 届冬季奥林匹克运动会，又称2022 年北京冬季奥运会，将于2022 年2 月在北京和张家口举 行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国 际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的 造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛 场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员 应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图） ：若圆半 径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1， O2，O3，O4，O5，若双曲线C 以O1，O3为焦点､以直线O2O4为一条渐近线，则C 的离心率为（ ） A． 290 13 B． 290 11 C．13 11 D．2 8. 已知点( 4 0) ( 10) ( 4 3) A B C − − − ，， ，， ，，动点P Q ， 满足 2 PA QA PB QB = = ，则CP CQ + 的取值范围 是（ ） A. [1 ] 16 ， B. [614] ， C. [416] ， D. [ 13 3 5] ， 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．已知空间中三点( ) 0,1,0 A ，( ) 1, 2, 1 B − − ，( ) 1,3,1 C − ，O 是坐标原点，下列说法正确的是（ ） A．点C 关于平面Oxy 对称的点为( ) 1, 3,1 − B． 6 OB = C．AC OB ∥ D．OA OB ⊥ 10．如图，在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，下列结论正确的是（ ） A．异面直线BD与 1 AD 所成的角为45° B．异面直线BD与 1 AD 所成的角为60° C．二面角 1 1 A BC C − − 的正弦值为 6 4 D．二面角 1 1 A BC C − − 的正弦值为 6 3 2 11．以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线( 3) 4 3 3 0( ) m x y m m R + + −+ =  恒过点( 3, 3) − − B. 圆 2 2 4 x y + = 上有且仅有3 个点到直线: 2 0 l x y − + = 的距离都等于1 C. 圆𝐶1:𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥= 0与圆𝐶2: 𝑥2 + 𝑦2 −4𝑥−8𝑦+ 𝑚= 0恰有三条公切线，则 4 m = D. 已知圆 2 2 : 4 C x y + = ，过点 (3,4) P 向圆C 引两条切线PA PB 、 ，A B ， 为切点，则直线AB 的方 程为3 4 4 0 x y + − = 12．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设 计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面直角坐标 系xOy 中，把到定点 1( ,0) F a − ， 2( ,0) F a 距离之积等于 2( 0) a a  的点的轨迹称为“曲线”C.已知点 0 0 ( , ) P x y 是“曲线”C 上一点，下列说法中正确的有（ ） A．“曲线”C 关于原点O 中心对称； B． 0 2 2 a a y −   C．“曲线”C 上满足 1 2 PF PF = 的点P 有两个； D．PO 的最大值为 2a 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 从 ( ) 0, 1 M − 点发出的光线经过直线 1 y x = + 反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在 直线的方程为_________. 14. 已知 ( 1,0) F − ，B 是圆C：( ) 2 2 1 16 x y − + = 上的任意一点，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P. 则动点P 的轨迹方程为______. 15．抛物线 2 : 4 E x y = 与圆 2 2 : ( 1) 25 M x y + − = 交于A 、B 两点，圆心 (0,1) M ，点P 为劣弧AB 上不同于 A 、B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线于点N ，则PMN  的周长的取值范围是 ___________． 16．已知 1 F ， 2 F 是椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + =   的左､右焦点，P 为曲线上一点， 1 2 60 F PF  = ， 1 2 PF F △ 的外接圆半径是内切圆半径的4 倍.若该双曲线的离心率为e，则 2 e =___________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本小题10 分）已知抛物线 ( ) 2 : 2 0 C y px p =  的焦点为F，点( ) 1,2 P 在抛物线C 上． （1）求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程； （2）过点F 的直线l 交抛物线C 于A、B 两点，且线段AB 的中点为 ( ) 3, 2 M − ，求直线l 的方程及 AB ． 18． （本小题12 分）在平行四边形ABCD中，点( ) 1,1 A ，( ) 4,2 B ，平行四边形ABCD 对角线的交点 为 ( ) 3,4 M ． （1）求点 , C D 的坐标以及直线CD的方程； （2）求线段AM 的中点N 到直线CD的距离． 3 19． （本小题12 分）如图所示，在四棱锥P ABCD − 中，PC ⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形， AB ⊥AD ，AB //CD， 2 2 2 AB AD CD = = = ，E 是PB 的中点. （1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E − − 的余弦值为 6 3 ，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 20. （本小题12 分）如图，圆M ：( ) 2 2 2 1 x y − + = ，点( ) 1, P t − 为直线l ： 1 x = −上一动点，过点 P 引圆M 的两条切线，切点分别为A 、B . （1）若 1 t = ，求切线所在直线方程； （2）求AB 的最小值； （3）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求ST 的最小值. 21． （本小题12 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   经过点(21) A ， ，离心率为 2 2 ，过点 (3 0) B ， 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M，N. （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为 AM k 和 AN k ，求证： AM AN k k + 为定值. 22． （本小题12 分）如图，点E 在 ABC △ 内，DE 是三棱锥D ABC − 的高，且 2 DE = ． ABC △ 是 边长为6 的正三角形， 5 DB DC = = ． （1）求点C 到平面ABD的距离； （2）点G 是棱AC 上的一点（不含端点） ，求平面DEG 与平面BCD夹角余弦值的最大值． 4 数学试题答案 1-8 DDCA BCAB 9．BC 10．BD 11．BCD 12．ABD 13． 2 0 x y + = 14． 2 2 1 4 3 x y + = 15．(10,12) 16．2 3 17．解： （1）将点( ) 1,2 P 代入抛物线C，得 2 2 2p = ，解得 2 p = ，所以 2 : 4 C y x = ， 焦点 ( ) 1,0 F ，准线方程为 1 x = −； （2）设( ) 1 1 , A x y ，( ) 2 2 , B x y ，由 2 1 1 4 y x = ， 2 2 2 4 y x = 得， 1 2 1 2 1 2 4 1 y y x x y y − = = − − + 所以直线l 的斜率为 1 k = −，直线l 的方程： 1 y x = −+ ， 1 2 6 2 8 AB x x p = + + = + = . 18．解： （1）分别设点 ( ) , C a b ， ( ) , D c d ，因为四边形ABCD为平行四边形， 四边形ABCD的对角线互相平分，所以 1 4 3, 2 2 1 2 4, 2 2 a c b d + +  = =   + +  = =   解得 5, 7, 2, 6, a b c d =  =  =   =  ，所以 ( ) 5,7 C ， ( ) 2,6 D ． 所以直线CD的方程为 6 7 6 2 5 2 y x − − = − − ，化简得 3 16 0 x y − + = ． （2）设 ( ) , N x y ，则 1 3 2 2 x + = = ， 1 4 5 2 2 y + = = ，即 5 2, 2 N       ， 所以N 到直线CD的距离 2 2 15 2 16 21 10 2 20 1 3 d − + = = + ． 19． （1）证明：过点C 作CF⊥AB，垂足为F，如下图所示 在直角梯形ABCD 中 AB⊥AD，AB//CD，AD⊥CD， 四边形AFCD 为正方形，AF=BF=DC=CF=1，AC=BC= 2 ，  2 2 2 AC BC AB + = ， AC⊥BC， PC⊥底面ABCD，AC平面ABCD，AC⊥PC BC PC=C，AC⊥平面PBC， AC平面EAC， 平面EAC 垂直平面PBC （2）解：以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 ( ) 0,0,0 C ，( ) 1,1,0 A ，( ) 1, 1,0 B − ，设( ) 0,0, P a ， 0 a  则 1 1 , , 2 2 2 a E  −     由（1）知，BC AC ⊥ ，BC PC ⊥ ，且AC PC C = ，所以BC ⊥平面PAC . 则 ( ) 1, 1,0 CB = − 为平面PAC 的一个法向量，又 ( ) 1,1,0 CA = ， 1 1 , , 2 2 2 a CE   = −     设 ( ) , , n x y z = 为平面EAC 的法向量，则 0 0 n CA n CB  =  =  ，即 0 1 1 0 2 2 2 x y a x y z + =    − + =   ，令x a = ，则 ( ) , , 2 n a a = − − 设向量CB 与向量n 的夹角为，由题意知， 2 6 cos 3 2 CB n a CB n a   = = =  + 解得： 2 a = ，所以 ( ) 2, 2,2 n = − ， ( ) 1,1, 2 PA = − 设直线PA 与平面EAC 所成的角为，向量n 与向量PA 所成角为 所以 4 2 sin cos 3 6 2 3 PA n PA n    = = = =   ，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为 2 3 . 20.解：（1）由题意得，切线的斜率存在，设切线 ( ) 1 1 y k x = + + ，即 1 0 kx y k − + + = ， 所以圆心M 到切线的距离 2 3 1 1 1 k d k + = = + ，解得 0 k = 或 3 4 − . 所以切线所在直线方程为 1 y = 或3 4 1 0 x y + −= . （2）连接PM ，AB 交于点N ，设 MPA MAN   =  = ，所以 2 cos 2cos AB AM   =  = . 在Rt MAP △ 中， 1 sin AM PM PM = = .又  ) 3, PM  +，则( )max 1 sin 3  = ， 所以( )min 2 2 cos 3  = ，即 min 4 2 3 AB = . （3）由题知，切线的斜率存在，设切线 ( ) 1 y k x t = + + ，即 0 kx y k t − + + = . 设圆心M 到切线的距离为d ， 5 所以 2 3 1 1 k t d k + = = + ，化简得 2 2 8 6 1 0 k tk t + + −= 则 3 4 PA PB k k t + = − ， 2 1 8 PA PB t k k −  = . 在切线 ( ) 1 y k x t = + + 中，令 0 x = ，解得y k t = + ，所以 ( ) ( ) PA PB PA PB k t k t k ST k = + − + = − ， 即 2 8 4 ST t + = ，所以 min 2 2 ST = ，此时 0 t = . 故ST 的最小值为 2 2 . 21．解： （1）由题意椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   经过点 (21) A ， ，离心率为 2 2 ， 可得 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 a b a b c c a  + =    = +    =   ，解得 6, 3 a b = = ，故椭圆C 的方程为 2 2 1 6 3 x y + = ； （2）由题意可知直线l 斜率一定存在，设直线l 的方程为 ( 3) y k x = − ， 由 2 2 ( 3) 1 6 3 y k x x y = −    + =   ，可得 2 2 2 2 (1 2 ) 12 18 6 0 k x k x k + − + − = ， 由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M，N， 则 4 2 2 2 144 4(1 2 )(18 6) 24(1 ) 0 k k k k = − + − = −  ，解得1 1 k − ， 设 1 1 2 2 ( , ), ( , ) M x y N x y ,则 2 2 1 2 1 2 2 2 12 18 6 , 1 2 1 2 k k x x x x k k − + = = + + ， 1 1 ( 3) y k x = − 2 2 ( 3) y k x = − ， 故 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 ( 3 1)( 2) ( 3 1)( 2) 2 2 ( 2)( 2) AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x − − − − − + − − − + = + = − − − − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (5 1)( ) 12 4 2( ) 4 kx x k x x k x x x x − + + + + = − + + 2 2 2 2 2 2 2 (18 6) (5 1) 12 (12 4)(1 2 ) 18 6 24 4(1 2 ) k k k k k k k k k − − +  + + + = −− + + 2 2 4 4 2 2 2 k k − + = = − − ，即 AM AN k k + 为定值. 22．解： （1）取BC 的中点F ，连接EF ，DF ． 因为DE 是三棱锥D ABC