2024年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（空白卷）

1/5 绝密★启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷理科数学 使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 设 ，则 （ ） A. B. C. 10 D. 2. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 1/5 3. 若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，点 在该双 曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） 2/5 A. 4 B. 3 C. 2 D. 6. 设函数 ，则曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的 三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数 在区间 的大致图像为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 9. 已知向量 ，则（ ） A. “ ”是“ ”的必要条件 B. “ ”是“ ”的必要条件 C. “ ”是“ ”的充分条件 D. “ ”是“ ”的充分条件 10. 设 是 两个平面， 是两条直线，且 .下列四个命题： ①若 ，则 或 ②若 ，则 ③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则 2/5 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 11. 在 中内角 所对边分别为 ，若 ， ，则 （ ） 3/5 A. B. C. D. 12. 已知b 是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 的展开式中，各项系数的最大值是______． 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 和 ，母线长分别为 和 ，则两个圆台 的体积之比 ______． 15. 已知 ， ，则 ______． 16. 有6 个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3 次，每次取1 个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 差的绝对值不超过 的 概率是______． 三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 题~第21 题为必 考题，每个考题考生必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60 分． 17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的 产品中随机抽取150 件进 行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 3/5 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 4/5 甲车间 乙车间 能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产 品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能否认 为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 记 为数列 的前 项和，且 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和为 ． 19. 如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形， ， ， ， 为 的中点． 4/5 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值． 20. 设椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且 轴． 5/5 （1）求 的方程；（2）过点 的直线与 交于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明： 轴． 21. 已知函数 ． （1）当 时，求 的极值； （2）当 时， 恒成立，求 的取值范围． （二）选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂 黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐 标方程为 . （1）写出 的直角坐标方程； （2）设直线l： （为参数），若 与l 相交于 两点，若 ，求 的值. [选修4-5：不等式选讲] 23. 实数 满足 ． （1）证明： ； （2）证明： ．