2021年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（空白卷）

1/7 绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 注意事项: 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷 上无效． 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入 调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 的 1/7 2/7 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5 万元 农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间 3. 已知 ，则 （ ） A B. C. D. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足 ．已知某同学视力的五分记录 法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 5. 已知 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且 ，则C 的离心率为 （ ） A. B. C. D. 6. 在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G．该正 方体截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. 的 . 2/7 D. 3/7 7. 等比数列 的公比为q，前n 项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量 法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C 三点，且A，B，C 在 同一水平面上的投影 满足 ， ．由C 点测得B 点的仰角为 ， 与 的差为100；由B 点测得A 点的仰角为 ，则A，C 两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 9. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 10. 将4 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为（ ） 3/7 A. B. C. D. 11. 已如A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的体积为（ ） 4/7 A. B. C. D. 12. 设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 曲线 在点 处的切线方程为__________． 14. 已知向量 ．若 ，则 ________． 15. 已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________． 16. 已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x 为________． 4/7 三、解答题：共70 分．解答应写出交字说明、证明 过程或演算步骤，第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题， 考生根据要求作答． （一）必考题：共60 分． 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分 别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 5/7 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.01 0 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明 另外一个成立． ①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F 分别为 和 中点，D 为棱 上的点． 的 6/7 （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? 20. 抛物线C 的顶点为坐标原点O．焦点在x 轴上，直线l： 交C 于P，Q 两点，且 ．已知 点 ，且 与l 相切． （1）求C， 的方程； （2）设 是C 上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系， 并说明理由． 21. 已知 且 ，函数 ．（1）当 时，求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a 的取值范围． （二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ． 6/7 （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A 直角坐标为 ，M 为C 上的动点，点P 满足 ，写出Р 的轨迹 的参数方 程，并判断C 与 是否有公共点． [选修4-5：不等式选讲]（10 分） 23. 已知函数 ． 的 7/7 （1）画出 和 的图像； （2）若 ，求a 的取值范围．