2022年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（空白卷）

1/5 绝密★启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题 卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好 条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本 试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让他 们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率 如下图： 1/5 则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于 讲座前正确率的极差 2/5 3. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 函数 在区间 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ） 2/5 A. B. C. D. 17. 在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（ ） A. B. AB 与平面 所成的角为 3/5 C. D. 与平面 所成的角为 8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 上， ．“会圆术”给出 的弧 长的近似值s 的计算公式： ．当 时， （ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两个圆锥的 母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 10. 椭圆 的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 3/5 11. 设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 4/5 13. 设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________． 14. 若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _________． 15. 从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为________． 16. 已知 中，点D 在 边BC 上， ．当 取得最小值时， ________． 三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60 分． 17. 记 为数列 的前n 项和．已知 ． （1）证明： 是等差数列； （2）若 成等比数列，求 的最小值． 18. 在四棱锥 中， 底面 ． （1）证明： ； （2）求PD 与平面 所成的角的正弦值． 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局． 4/5 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4， 0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望． 20. 设抛物线 的 焦点为F，点 ，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时， ． 5/5 （1）求C 的方程； （2）设直线 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程． 21. 已知函数 ． （1）若 ，求a 的取值范围； （2）证明：若 有两个零点 ，则 ． （二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数），曲线 的参数方程为 （s 为参数）． （1）写出 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， 求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知a，b，c 均为正数，且 ，证明： 5/5 （1） ；（2）若 ，则 ．