2022年高考数学试卷（文）（全国甲卷）（空白卷）

1/6 绝密★启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条 形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本 试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的 垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让他 们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率 如下图： 1/6 则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的 标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 2/6 3. 若 ．则 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C 关于y 轴对称， 则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 从分别写有1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数 在区间 的 图象大致为（ ）A. 3/6 B. C. D. 8. 当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 9. 在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的 角均为 ，则（ ） A. B. AB 与平面 所成的角为 C. D. 与平面 所成的角为 10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点． 3/6 若 ，则C 的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 4/6 分，共20 分. 13. 已知向量 ．若 ，则 ______________． 14. 设点M 在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为______________． 15. 记双曲线 的 离心率为e，写出满足条件“直线 与C 无公共点”的e 的一 个值______________． 16. 已知 中，点D 在边BC 上， ．当 取得最小值时， ________． 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60 分. 17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机 调查了甲、乙两城之间的500 个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （2）能否有90% 的 把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附： ， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 4/6 18. 记 为数列 的前n 项和．已知 ． （1）证明： 是等差数列； （2）若 成等比数列，求 的最小值．19. 5/6 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直． （1）证明： 平面 ； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 20. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切 线． （1）若 ，求a； （2）求a 的取值范围． 21. 设抛物线 的焦点为F，点 ，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时， ． （1）求C 的方程； （2）设直线 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程． （二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 5/6 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数），曲线 的参数方程为 （s 为参数）． （1）写出 的普通方程； 6/6 （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， 求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知a，b，c 均为正数，且 ，证明： （1） ； （2）若 ，则 ．