豫东名校2022--2023学年上期高二12月质量检测数学（理）试题

豫东名校2022--2023 学年上期高二12 月质量检测数学（理）试题 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. “ ”是“直线 与直线 ”平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则直线 AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 3. 已知 ， ， ，若 不能构成空间的一个基 底，则实数 的值为( ) A.0 B. C.9 D. 4. 如图，在正四棱柱 中， ， ，动点P，Q 分别在 线段 ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为a 的正方体 中，P 为 的中点，Q 为 上任意 一点，E，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离( ) A.等于 B.和EF 的长度有关 C.等于 D.和点Q 的位置有关 6. 已知点 ， 若点C 是圆 上的动点，则 面积的最 小值为( ) A.3 B.2 C. D. 7. 点M ，N 是圆 上的不同两点，且点M ，N 关于直线 对称，则该圆的半径等于( ) A. B. C.3 D.9 8. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数k 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 已知椭圆 的左焦点为F，过F 作倾斜角为 的直线与椭圆C 交于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，若 (O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心 率是( ) A. B. C. D. 10. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线C 的一条渐近线方程为( ) A. B. C. D. 11. 已知 ，点A，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，O 为坐标原点，若 ， 则 面积的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 12. 设 是椭圆 的左，右焦点，过 的直线 交椭圆于 两点，则 的最大值为（ ） A.14 B.13 C.12 D.10 二､填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13. 在四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD 是边长为1 的正方形， ，则AB 与PC 的夹角的余弦值为______. 14. 已知椭圆 的右焦点为F，y 轴上的点M 在椭圆外，且线段 MF 与椭圆E 交于点N，若 ，则椭圆E 的离心率为________. 15. 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则此双曲线的 渐近线方程是________. 16. 已知F 是抛物线 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则 ___________. 三､解答题（本题共6 小题，共70 分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）如图，正方体 的棱长为a. （1）求 和 的夹角； （2）求证： . 18.（12 分）已知 的三个顶点 、 、 . （1）求 边所在直线的方程； （2） 边上中线 的方程为 ，且 ，求点 的坐标. 19.（12 分）如图，圆 内有一点 为过点 且倾斜角为 的弦. （1）当 时，求AB 的长； （2）是否存在弦AB 被点 平分？若存在,写出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 20.（12 分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水下降1 m 后，水面宽多少？(精确到0.1 m) 21.（12 分）设椭圆 的焦点为 ,且该椭圆过点 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若椭圆 上的点 满足 ,求 的值. 22.（12 分）已知点 在双曲线 上，直线l 交C 于P，Q 两点， 直线AP，AQ 的斜率之和为0. （1）求l 的斜率； （2）若 ，求 的面积. 参考答案 1、答案：A 解析：当 时， ，即 ，解得 或4. 当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，此时 ； 当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，此时 . 因为 ，因此，“ ” 是“ 直线 与直线 平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2、答案：B 解析：因为 ， ， ， ，所以 ， ，可得 ，所以 ，即直线 与 的位置关系是平行， 故选B. 3、答案：D 解析： 不能构成空间的一个基底， ， ， 共面，则 ，其中 ， 则 ， 解得 故选：D. 4、答案：C 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，设点P 的坐标为 ， ，点Q 的坐标为 ， ， ，当且仅当 ， 时，线段PQ 的长度取得最小 值 . 5、答案：A 解析：取 的中点G，连接PG，CG，DP，则 ，所以点Q 到平面PEF 的距离 即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错.又 平面PGCD，所以点 到 平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位 置无关，D 错. 如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， 设 是平面PGCD 的法向量，则由 得 令 ，则 ， ，所以 是平面PGCD 的一个法向量. 设点Q 到平面PEF 的距离为d，则 ，A 对，C 错. 故选：A. 6、答案：D 解析：点 ， ， 圆 化为 ， 圆心 ，半径是 . 直线AB 的方程为 ， 圆心到直线AB 的距离为 . 直线AB 和圆相离，点C 到直线AB 距离的最小值是 . 面积的最小值为 . 故选：D. 7、答案：C 解析： 的圆心坐标 ， 因为点M，N 在圆 上，且点M，N 关于直线 对称， 所以直线 经过圆心，所以 ，解得 ， 所以圆的方程为： ， 即 ， 所以圆的半径为3. 故选C. 8、答案：A 解析：直线 恒过定点 ，曲线 表示以点 为圆心，半径为1，且位于直线 右侧的半圆(包括点 ， ).如图，作出 半圆C， 当直线l 经过点 时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时 ，直线记为 ； 当l 与半圆相切时，由 ，得 ，切线记为 . 由图形可知当 时，l 与曲线C 有两个不同的交点， 故选：A. 9、答案：B 解析：设 ， ， ，由题意得 ， ， 两式相减，得 因为M 为线段AB 的中点，且直线AB 的倾斜角为 ，所以 . 设 ，则 ，过M 作 轴，垂足为 ， 则 ， ， 由题易知M 位于第二象限，所以 ，M 的坐标代入AB 的方程可得： ，得 ，所以 ， 所以 . 故选：B. 10、答案：B 解析：双曲线 的一个焦点为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为： .故选：B. 11、答案：B 解析：设直线AB 的方程为 ，点 ， ，直线AB 与x 轴的交点为 ，将 代入 ，可得 ， 根据根与系数的关系得 ， . ， ，又 ， ，令 ，则 ，解得 或 ， 点A ，B 位于x 轴的两侧， ，故 . 故直线AB 所过的定点坐标是 ， 故 的面积 ， 当 时，直线AB 垂直于x 轴， 的面积取得最小值，为8，故选B. 12、答案：A 解析：由椭圆的定义，知 ， ， 所以 的周长为 ， 所以当 最小时， 最大. 又当 时， 最小，此时 ， 所以 的最大值为 . 故选：A. 13、答案： 解析： ，又 ， ， . 故答案为： 14、答案： 解析：过N 作x 轴的垂线，记垂足为P，由已知 ，可知P 为OF 中点，因为 轴所以N 为MF 中点，不妨设 ，则 ， ，易得 ， 为正三角形，记椭圆的左焦点为 ，则 ，所以可知 ，故 ，所以 ，由椭圆的定义 ，所以离心率 ，故 . 15、答案： 解析： 抛物线 的焦点是 ， ， ， ， .所以双曲线的渐近线方程为 . 故答案为： . 16、答案：6 解析：如图，过M、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 、 ，设抛物线的准线 与x 轴的交点为 ，则 ， .因为M 为FN 的中点，所以 ，由抛物线的定义知 ，从而 . 17、 （1）答案：60° 解析：设 ， ， . 由于正方体 的棱长为a， ，且 ， ， . ， ， . 又 ， ， . 又 ， ， 与 的夹角为60°. （2）答案：见解析 解析：证明：由(1)知 ， ， ， ， . 18、答案：（1） ； （2）点A 坐标为 或 . 解析：（1）由 、 得BC 边所在直线方程为 ，即 . （2） ，A 到BC 边所在直线 的距离为 ， 由于A 在直线 上， 故 ，即 ， 解得 或 . 19、 （1）答案： 解析：当 时，直线AB 的斜率 . 直线AB 的方程为 ， 即 .① 把①代入 ，得 ，即 ， 解此方程得 . 所以 . （2）答案：见解析 解析：存在弦AB 被点 平分. 当弦AB 被点 平分时， . 直线 的斜率为 ，所以直线AB 的斜率为 . 所以直线AB 的方程为 ， 即 . 20、答案：4.9 m 解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立 平面直角坐标系，如答图所示. 设该拋物线的方程为 . 拱顶离水面2 m，水面宽4 m， 点 在拋物线上， ，解得 ， 拋物线的方程为 . 当水面下降1 m 时， ，代入 ，得 ， 即 .故这时水面宽为4.9 m. 21、答案：答案：(1) (2) 解析：(1)由题意得, ,且 , 解得 ,所以椭圆 的标准方程为 . (2)因为点 满足 ,所以 , 即 ,① 又点 在椭圆 上,所以 ,② 联立①②,得 ,所以 . 22、答案：（1）-1 （2） 解析：解：（1）将点A 的坐标代入双曲线方程得 ， 化简得 ，得 ， 故双曲线C 的方程为 . 由题易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ， ， ， 联立直线l 与双曲线C 的方程并整理得 ， 故 ， . ， 化简得 ， 故 ， 整理得 ， 又直线l 不过点A，即 ，故 . （2）不妨设直线PA 的倾斜角为 ，由题意知 ， 所以 ， 解得 或 （舍去）， 由 ，得 ， 所以 ， 同理得 ，所以 . 因为 ，所以 ， 故 .