黑龙江省实验中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

黑龙江省实验中学2021-2022 学年度高二学年上学期期中考 试 数学学科试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 第I 卷（选择题 共60 分） 一、单项选择题（每题5 分） 1．抛物线 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 2．袋中有2 个黑球，3 个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次， 观察球的颜色.用计算机产生0 到9 的数字进行模拟试验，用0，1，2，3 代表黑球，4， 5，6，7，8，9 代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为（ ） 160 288 905 467 589 239 079 146 351 A．3 B．4 C．5 D．6 3. 若实数k 满足0＜k＜9，则曲线－＝1 与曲线－＝1 的( ) A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 4．新高考选课“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门科目为必考，物理、历史两 门科目必选一门，化学、生物、政治、地理四门科目选择两门.已知甲同学选择物理的概 率为 ，乙同学选择历史的概率为 ，二人的选择相互之间没有影响，那么甲、乙两名 同学至少有1 人选择物理的概率为（ ） A． B． C． D． 5．设F1、F2分别是双曲线C：x 2 4 −y 2 5 =1的左右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且 ⃑ PF1⋅⃑ PF2=0，则|⃑ PF1+⃑ PF2|=（ ） A． 4 B． 6 C． 2❑ √14 D． 4 ❑ √7 6．已知直线x−y+m=0与圆O: x 2+ y 2=1相交于A ,B两点，且ΔOAB为正三角形，则实 数m的值为（ ） A． ❑ √3 2 B． ❑ √6 2 C． ❑ √3 2 或−❑ √3 2 D． ❑ √6 2 或−❑ √6 2 7．如图，过抛物线y 2=2 px ( p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C， 若点F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为（ ） A． 5 B． 6 C． 16 3 D． 20 3 8．已知椭圆 上关于原点对称的两点为A，B，点M 为椭圆C 上 异于A，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为 ，则椭圆C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题5 分，选错得0 分，漏选得2 分） 9．过点 且 的双曲线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 10．已知椭圆 的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ） A． B．椭圆 的长轴长为 C．椭圆 的短轴长为1 D．椭圆 的离心率为 11．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一点，则（ ） A． 时，满足 的点 有2 个 B． 时，满足 的点 有4 个 C． 的周长等于 D． 的最大值为a2 12．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x2=2y 的焦点的直线l 与抛物线的两个交点A(x1， y1)，B(x2，y2)，则( ) A．y1y2= B．以AB 为直径的圆与直线 相切 C．OA+OB 的最小值 D．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上 第Ⅱ卷（题非选择题 共90 分） 三、填空题（每题5 分） 13．直线x+ y−1=0 的倾斜角为α ，则cos α= . 14. 已知椭圆 的左、右两焦点F1,F2，A 为椭圆上一点， ， ，则|⃗ OB|+|⃗ OC|= . 15. 已知抛物线y 2=4 x和A (0,1)，点P为抛物线上的动点，P到该抛物线准线的距离为d， 则|PA|+d的最小值为 . 16. 已知双曲线两渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的标准 方程 . 四、解答题（共70 分） 17．（本小题满分10 分）已知圆 ，圆C上存在关于x－ y+1=0 对称的两点. （1）求圆 的标准方程； （2）过点 的直线被圆 截得的弦长为8，求直线的方程. 18．(本小题满分12 分)教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指 出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的，要 逐步退出.为了了解学生对校内开设小卖部的意见，某校对65 名住校生30 天内在小卖部消 费过的天数进行了统计，情况如下： 天数 人数 4 7 18 9 27 （1）用分层抽样的方法在消费天数不低于15 天的住校生中选择6 人进行意见调查，分别 求其中消费天数在区间 ， ， 内的人数； （2）从（1）中选择的6 人中任意抽取2 人对取消校内小卖部给出具体意见，求这2 人消 费天数均在 内的概率. 19. (本小题满分12 分)已知抛物线C： ，直线l 过抛物线焦点F，l 与C 有两个交点 A，B，线段AB 的中点M 的纵坐标为1. （1）求直线l 的方程； （2）求 （O 为坐标原点）的面积 . 20. (本小题满分12 分) 已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也 是抛物线C2：y2＝4x 的焦点，M 是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝. （1）求椭圆C1的方程； （2）点P 是椭圆上一点，且∠F1 PF2=300 , 求ΔF1PF2的面积. 21．(本小题满分12 分)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为 ❑ √2 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）设过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，若△OMN（O为坐标原点）的面积为2 3， 求直线l的方程. 22．（本题满分12 分）已知点A(−1,0)，F(1,0)，动点P满足⃑ AP⋅⃑ AF=2|⃑ FP|． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点 ，且斜率为的直线被曲线 截得的弦为 ，若点 在以 为直径的 圆上，求 的值． 高二学年上学期期中考试数学答案 一、单项选择题 1——8 CBAC BDCC 二、多项选择题 9——12 AC AB ABD BD 三、填空题 13. 14.4 15. 16. x2−y2 4 =1or y2 16 −x2 4 =1 四、解答题 17.（1）由题意，圆 的圆心 ，半径为 ， 圆 ：( x−1)2+( y−2)2=25 （2）设点 到直线距离为 ，圆的弦长公式，得 ，解得 ， ①当斜率不存在时，直线方程为 ，满足题意 ②当斜率存在时，设直线方程为 ，则 ，解得 ， 所以直线的方程为 ，综上，直线方程为 或 18.解（1）2 人，1 人，3 人；（2） . （1）消费天数不低于15 天的住校生共有： 人， 所以抽样比为 ， 消费天数在区间 内的人数为： 人， 消费天数在区间 内的人数为： 人， 消费天数在区间 内的人数为： 人. （2）分别记6 名消费天数在区间 ， ， 内的住校生为 ， ， ， ， ， ，从中任取2 人有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15 种情况， 其中这2 人消费天数均在 内的有 ， ， 共3 种情况， 故这2 人消费天数均在 内的概率为 . 19.解：（1）点差法求得2x-y-2=0 （2）面积分割解得 20.(1)设M(x1，y1)，∵F2(1,0)，|MF2|＝. 由抛物线定义，x1＋1＝，∴x1＝， ∵y＝4x1，∴y1＝. ∴M(，) ∵M 在C1上，∴＋＝1， 又b2＝a2－1，∴9a4－37a2＋4＝0， ∴a2＝4 或a2＝<c2舍去． ∴a2＝4，b2＝3.∴椭圆C1的方程为＋＝1 (2)由余弦定理，|PF1||PF2|=12(2−√3 ) 由正弦定理，面积为3（2−√3 ） 21.(1) x 2 2 + y 2=1.(2) x+ y−1=0或x−y−1=0. （1）由题意可知c=1， 离心率c a= ❑ √2 2 ，所以a=❑ √2 所以b 2=a 2−c 2=1所以椭圆C的方程为x 2 2 + y 2=1， （2）由题意可以设直线l的方程为x=my+1， 由¿得(m 2+2) y 2+2my−1=0， Δ=4 m 2+4 (m 2+2)=8 (m 2+1)>0 设M (x1, y1)，N (x2, y2)。所以，y1+ y2=−2m m 2+2，y1 y2= −1 m 2+2 . 所以ΔOMN的面积 S=1 2|OF ‖ y2−y1|=1 2 ❑ √( y2+ y1) 2−4 y2 y1=1 2 ❑ √( −2m m 2+2) 2 + 4 m 2+2 = ❑ √2 ❑ √m 2+1 m 2+2 因为ΔOMN的面积为2 3，所以 ❑ √m 2+1 m 2+2 = ❑ √2 3 .解得m=±1. 所以直线l的方程为x+ y−1=0或x−y−1=0. 22. 解(1) 设P( x , y)，则⃑ AP=( x+1, y)，⃑ FP=( x−1, y)，⃑ AF=(2,0)，由 ⃑ AP⋅⃑ AF=2|⃑ FP|，得2( x+1)=2 ❑ √( x−1) 2+ y 2，化简得y 2=4 x，故动点P的轨迹C的方 程为y 2=4 x. （2）设 ，过点 ，且斜率为的直线方程为 ， 联立 ,消去 得： ， 易知抛物线 的 ，点 在以 为直径的圆内等价于 ， 解得 ，符合 综上： .