湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

（北京）股份有限公司 武汉市部分重点中学2022—2023 学年度上学期期中联考 高二数学试卷 命题学校：省实验中学 命题教师：蒋天祥 审题教师：黄清燕 考试时间：2022 年11 月9 日下午15:00—17:00 试卷满分：150 分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对 与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内，答在 试题卷上或答题卷指定区域外无效． 4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．直线 在x 轴上的截距是（ ） A．1 B． C． D．2 2．双曲线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． （北京）股份有限公司 3．已知 ， ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．若曲线 与曲线 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 5．对于直线m，n 和平面 ， ， 的一个充分条件是（ ） （北京）股份有限公司 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C 的两条渐近线分 别交于A，B 两点，若A 为线段BF 的中点，且 ，则C 的离心率为（ ） A． B．2 C． D．3 7．已知点P 在直线 上运动，点E 是圆 上的动点，点F 是圆 上的 动点，则 的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．在正四面体 中，点E 在棱AB 上，满足 ，点F 为线段AC 上的动点，则（ ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得直线DE 与平面DBF 所成角的正弦值为 D．存在某个位置，使得平面DEF 与平面DAC 夹角的余弦值为 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．方程 表示圆，则实数a 的可能取值为（ ） A．4 B．2 C．0 D． 10．若直线m 被两平行直线 与 所截得的线段长为 ，则直线m 的倾斜角可以是（ ） A． B． C． D． （北京）股份有限公司 11．已知椭圆 ， ， 分别为它的左、右焦点，A，B 分别为它的左、右顶点，点P 是椭圆上的 一个动点，下面结论中正确的有（ ） A． 的最小值为8 B． 的最小值为 C．若 ，则 的面积为 D．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值 （北京）股份有限公司 12．如图，已知正方体 的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在侧面 及其边界 上运动，则下列选项中正确的是（ ） A．存在点P 满足 B．存在点P 满足 C．满足 的点P 的轨迹长度为 D．满足 的点P 的轨迹长度为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．若方程 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 14．过点 做圆 的两条切线，切点分别为M，N，则 ________． 15．两条异面直线a，b 所成角为 ，在直线a，b 上分别取点 ，E 和点A，F，使 ，且 ． 已知 ， ， ，则线段 的长为________． 16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯 的方式行进．在平面直角坐标系中，定义 ， 之间的“ 出租车距离” 为 ．已知 ，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程 为________，到A，B，C 三点“距离”相等的点的坐标为________． 三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） （北京）股份有限公司 已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 ． （1）求C 的标准方程； （2）若直线 与双曲线C 交于A，B 两点，求 ． 18．（12 分） 已知 的顶点 ，重心 ． （北京）股份有限公司 （1）求线段BC 的中点坐标； （2）记 的垂心为H，若B、H 都在直线 上，求H 的坐标． 19．（12 分） 如图，四棱锥 中，底面ABCD 是直角梯形， ， ， ， ． （1）求证： 平面ABCD； （2）求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值． 20．（12 分） 如图，已知圆 ，点P 为直线 上一动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为 M，N，且两条切线PM，PN 与x 轴分别交于A，B 两点． （1）当P 在直线 上时，求 的值； （2）当P 运动时，直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 21．（12 分） 已知正四棱柱 中， ， ，E 点为棱AB 中点． （北京）股份有限公司 （1）求二面角 的余弦值； （2）连接EC，若P 点为直线EC 上一动点，求当P 点到直线 距离最短时，线段EP 的长度． 22．（12 分） 已知椭圆 过点 ，过其右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A，B 两 点，且 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由． 武汉市部分重点中学2022—2023 学年度上学期期中联考 高二数学试卷参考答案及评分标准 一、二选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B D B D C AD BD ABC ABD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 14. 15. 或 16. （2 分） ； （3 分） （北京）股份有限公司 四、解答题：共70 分.解答题： 17.（10 分）解： （1）因为焦点在 轴上，设双曲线 的标准方程为 ， 由题意得 ， （北京）股份有限公司 又双曲线 的一条渐近线为 ， 联立上述式子解得 ， ，故所求方程为 ； ···········4 分 （2）设 ， ， 联立 ，整理得 ，由 ， 所以 ， ， 即 . ···········10 分 18.（12 分）解： （1）设 ，且 ， 由重心定义得 ，解得 ， 记线段 的中点为 ，则 ，即 ； ···········4 分 （2）设 ，由（1）得 ， ， ， 解得 ，即 ， ， , ， ，即 . ···········12 分 19.（12 分）解： （北京）股份有限公司 （1）由于 ， ，所以 ， （北京）股份有限公司 由于 ， ， ，所以 ， 所以 ，由 ，得 . 取 的中点为 ，连接 ，因为底面 是直角梯形， ， 且 ， 所以四边形 为正方形，所以 ， ， 在 中， ，故 ， 所以在 中， ，即 ， 由于 ， ，所以 ；· ·······4 分 （2）由（1）可知 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，令 ，可得 ， 设直线 与平面 的夹角为 ， ， （北京）股份有限公司 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ···········12 分 20.（12 分）解： （北京）股份有限公司 （1）联立两条直线方程，解得 ， 设切线方程为 ，则圆心到切线的距离 解得 ，所以 ， 令 ，解得 ， 则 ； ···········4 分 （2）分析知 在以 为圆心， 为半径的圆上，设 ， ， ， ， 即在圆 上， 联立 ，得 ， 所以 过定点 . ···········12 分 21.（12 分）解： （1）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，得 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，得 ， 设二面角 的平面角为 ，则 . ···········5 分 （2）设 ，则 ， ，令 ， 设点 到直线 的距离为 ，则 ， 整理得 ， . ···········12 分 22.（12 分）解： （1）由题意：椭圆过点 ，又过点 ， （北京）股份有限公司 有 ，变形 ，得 代入 ， 得 ，即 ， ，解得 ，则 ， 所以椭圆方程 ； ···········4 分 （北京）股份有限公司 （2）①当MN 的斜率为0 或不存在时， 此时 ， ②当MN 的斜率存在且不为0 时，设直线MN： ， 联立 消去y 得 ， ，化简得 ， 所以两平行线MN 和PQ 的距离 ， 以 代替k，两平行线MQ 和NP 的距离 ， 所以矩形MNPQ 的对角线 ， 根据基本不等式 ， 所以当 ，即 ，矩形MNPQ 面积的最大值为 . ···········12 分