山东省烟台市2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题

第1 页/共7 页 （北京）股份有限公司 2022～2023 学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求. 1. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 、 的夹角为 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 故宫是世界上规模最大，保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前 后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上，惊艳绝伦．已知北 京地区夏至前后正午太阳高度角为73°，冬至前后正午太阳高度角为 ，如图，测得 ，则房檐A 点距地面的高度为（ ） A. B. 第2 页/共7 页 （北京）股份有限公司 C. D. 5. 在 中，点D 为 BC 中点，E 为AD 中点，记 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数 ， ，若存在 ，使得 ，则实数m 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ．若 ，则 的取值范围 为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求. 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知复数 ，则（ ） A. z 的 虚部为 B. 在复平面内对应的点在第四象限 C. D. z 是关于x 的方程 的一个根 第3 页/共7 页 （北京）股份有限公司 10. 已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 与 夹角的余弦值为 B. 若 ，则 C. 若 ，则 与 的夹角为锐角 D. 向量 在 上的投影向量是 11. 函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数 在 区间 上单调递增 B. 是函数 的一个对称中心 C. 函数 在区间 上的最大值2 D. 若 ，则 12. 在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，O 为 外接圆圆 心，则下列结论正确的有（ ） A. B. 外接圆面积为 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 第4 页/共7 页 （北京）股份有限公司 13. 已知 ， ，则 的值为______． 14. 写出一个同时满足以下三个性质的函数： ______．（写出一个符合条件的即可）①对于任意 ，都有 ；② 的图象关于直线 对称；③ 的值域为 ． 15. 在 中， ， ，D 是边AB 上一点，且满足 ，则 的值为______． 16. 赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222 年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个 全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD 的边长为 ，正方 形EFGH 边长为1，则 的值为______； ______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知复数 是纯虚数，求 的值； （2）已知 ， ， ，求 与 夹角的大小． 18. 已知向量 ，向量 与 的夹角为 ，且 ． （1）求向量 的坐标； 第5 页/共7 页 （北京）股份有限公司 （2）设向量 ， ，向量 ，若 ，求 的最大值并求出此 时x 的取值集合． 19. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求角C 的大小； （2）若 ， ，求 的周长． 20. 观察以下各式： ； ； ． 分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式． 21. 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业蓬勃发展．某 景区有一直角三角形区域，如图， ， ， ，现准备在中间区域打造儿童 乐园 ，M，N 都在边AC（不含A，C）上且 ，设 ． （1）若 ，求 的值； （2）求 面积的最小值和此时角 值． 22. 设函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后 第6 页/共7 页 （北京）股份有限公司 图象关于原点对称． （1）求函数 的单调递增区间； （2）在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 ， ①若 ，求 的 值； ②若 ， ，求c 的取值范围． 第7 页/共7 页 （北京）股份有限公司