北斗联盟 2022 学年第一学期期中联考 高二年级数学试题

绝密★考试结束前 北斗联盟2022 学年第一学期期中联考 高二年级数学学科试题 命题：塘栖中学 於潜中学 考生须知： 1.本卷共6 页满分150 分，考试时间120 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.在空间直角坐标系 中，点 关于 轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2.已知复数 满足 （为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 3.函数 的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 4.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5.设数据 是郑州市普通职工 个人的年收入，若这 个数据的中位数为 ，平均数 为 ，方差为 ，如果再加上世界首富的年收入 ，则这 个数据中，下列说法正确的是（ ） A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 6.设 是空间中的一个平面，l，m，n 是三条不同的直线，则（ ） A.若 ， ， ， ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ， ，则 7.在如图所示的平行六面体 中，已知 ， ， ，N 为 上一点，且 ，若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 8.如图，在平行四边形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切 的圆上，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合 题目要求的.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.正方体 中， 是正方形 的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面 的成角大于 C.平面 平面 D.三棱锥 的体积是正方体体积的 10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子， 表示事件“两次掷出的点数之和是4”， 表示事件“第二次掷出的 点数是偶数”， 表示事件“两次掷出的点数相同”， 表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与 互斥 B. C. 与 对立 D. 与 相互独立 11.下面四个结论正确的是（ ） A.已知向量 ，若 ，则 B.若空间四个点 ， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线 C.已知向量 ， ，若 为钝角，则 且 D 已知 ， ， 为非零向量，满足 ，则向量 ， 共线 12.下列说法正确的是（ ） A.函数 的最小值为2 B.若正实数a，b 满足 ，则 的最小值为 C.关于x 的不等式 的解集是 ，则 D.函数 （ 且 ）的定义域为R，则实数m 的取值范围是 非选择题部分 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式.其中包括他 最得意的发现—“圆柱容球”.设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线） 为底，以球的直径为高.则球的体积与圆柱的体积之比为___________. 14.若 ，则 ___________. 15.在扇形 中，半径为1，圆心角为 ，若要在扇形上截取一个矩形 ，且一条边在扇形的一条半 径上，如图所示，则矩形 面积的最大值为___________. 16､在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 ，并要求同学们将该 四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点 作一个平面分别交 ， ， 于点 ， ， ，得到四棱锥 ；第二步，将剩下的几何体沿平面 切开，得到另外两个小 四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形 ，若 ， ， 则 的值为________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.在 中，角A，B，C 的对边分别为 ，且 . （1）求 的大小； （2）若 ， ，求 的面积. 18.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点，求： （1）点 到平面 的距离； （2）平面 与平面 夹角的余弦值. 19.哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的 效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500 人，现从中抽取了100 人的数学成绩，绘制成频率 分布直方图（如下图所示）.已知这100 人中 分数段的人数比 分数段的人数多6 人. （1）根据频率分布直方图，求a，b 的值，并估计抽取的100 名同学数学成绩的中位数；（结果用分数表 示）； （2）现用分层抽样的方法从分数在 ， 的两组同学中随机抽取6 名同学，从这6 名同学中再任选2 名同学作为“网络课堂学习优秀代表” 发言，求这2 名同学的分数不在同一组内的概率. 20.某工厂有甲，乙，丙三条生产线各自独立地生产同一种汽车配件，已知甲生产线生产的汽车配件是合格品 且乙生产线生产的汽车配件是合格品的概率为 ，乙生产线生产的汽车配件是非合格品且丙生产线生产的汽 车配件是合格品的概率为 ，甲生产线生产的汽车配件是合格品且丙生产线生产的汽车配件是合格品的概率 为 ，记事件 分别表示甲，乙，丙三条生产线各自生产的汽车配件是合格品. （1）分别求事件 的概率； （2）随机从甲，乙，丙三条生产线上各取个汽车配件进行检验，求恰有 个合格品的概率. 21.如图1所示，四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 上的一点，且 .过点 作 交 于 .如图2所示，将 沿 折起到 ，使 . （1）求证：直线 平面 ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 所成的角为 ？若存在，确定点 的位置； 若不存在，请说明理由. 22.设函数 的定义域为 ，对于区间 ，若 ， ∈ （ ）满足 ，则称 区间 为函数 的 区间. （1）证明：区间 是函数 的 区间； （2）已知函数 在区间 上的图象连续不断，且在 上仅有 个零点，证 明：区间 不是函数 的 区间. 北斗联盟2022 学年第一学期期中联考 高二年级数学学科参考答案 命题：塘栖中学 刘静 审稿：於潜中学 任忠良 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】D 【解析】 【分析】由对称性的特征，得到点关于坐标轴的对称点 2.【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算，算出结果 【详解】 3.【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在定理解决 【详解】 ，由 ，得到答案 4.【答案】B 【解析】 【分析】考察函数图像及性质 【详解】 ，得到答案 5.【答案】B 【解析】 【分析】考察一组数据平均数､中位数､方差的性质 【详解】极端值可能不改变中位数，平均数和方差对极端值都敏感 6.【答案】C 【解析】 【分析】考察线面的位置关系 【详解】略 7.【答案】B 【解析】 【分析】本题用空间向量基本定理解决 【详解】 ，利用向量数量积的运算法则得 8.【答案】A 【解析】 【分析】对向量基底的考察 【详解】 ，当 反向时取到最小，即 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合 题目要求的.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.【答案】ACD 【解析】 【分析】考察空间中线面关系及成角【详解】略 10.【答案】BD 【解析】 【分析】考察事件的关系问题 【详解】对于 选项，利用独立的定义，满足 ，故正确. 11.【答案】ABC 【解析】 【分析】考察向量的运算､数量积运算 【详解】A 正确，利用向量共线，得B 正确，利用数量积公式C 正确，数量积运算不满足乘法结合律，D 错 12.【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】A 错，当 时，B 正确， .C 正确，分析得到 1，2 是方程 的两个根，代入计算得到 .D 错，由 ，得 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.【答案】 【解析】 【分析】利用轴截面进行计算 【详解】略 14.【答案】 【解析】 【分析】考察诱导公式 【详解】由 ， 得 15.【答案】 【解析】 【分析】连 ，以角 为变量，建立函数关系，求最值，考察三角函数的性质 【详解】设 ，则 ，化简得 ，当 ， 面积取到最大值 16.【答案】 【解析】 【分析】考察共面向量定理 【详解】设 ，因为 ，则 ，由定理得 ，得 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.详解及评分标准： （1）因为 ，由正弦定理可得 ， 又 ，所以 ， 因为 ，则 ，所以 因为 ，所以 （2）因为 ， 由余弦定理可得 ，整理得 ， 又 ，解得 ， 所以 18.详解及评分标准： 如图建系，则 ，设平面 的法向量为 ，则 ， 设所求距离为 （2）设平面ACM 的法向量为 ，同理可得 ， 设所求角为 ，则 19.详解及评分标准： （1）由频率分布直方图的面积和为1，则 ，得 ， 又由100 人中 分数段的人数比 分数段的人数多6 人 则 ，解得 中位数中位数为 （2）设“抽取的2 名同学的分数不在同一组内”为事件 ， 由题意知，在分数为 的同学中抽取4 人，分别用 表示， 在分数为 的同学中抽取2 人，分别用 表示， 从这6 名同学中抽取2 人所有可能出现的结果有： ， ，共15 种 抽取的2 名同学的分数不在同一组内的结果有： ， ，共8 种 所以 抽取的2 名同学的分数不在同一组内的概率为 20.详解及评分标准： （1）因为事件 分别为甲，乙，丙三条生产线各自生产的汽车配件是合格品，则事件 ， 分别 为甲，乙，丙三条生产线各自生产的汽车配件是非合格品，且 相互独立， 也相互独立. 由 得 解得 . （2）由（1）知， 记事件 为抽取的三个汽车配件中合格品为2 个，则 21.详解及评分标准： 解：（1）解法一： ， 由余弦定理得 ，. ， 平面 ， 则 平面 平面 ，又 平面 ，. 又因为直线 在平面 内，且相交于 平面 . 解法二： ， ，且 平面 ， 则 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ， 以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，在平面 内过 作 的垂线， 以垂线所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图 则 ， ， ， ， 是平面 内的相交直线， 平面 （2）由（1）知 平面 平面 ， 平面 平面 . ， ， 平面 平面 的法向量为 . 设 是线段 上一点，则存在 ，使 ， ， ， 如果直线 与平面 所成的角为 ，那么 ， 即 ，解得 ，则此方程在 内无解， 所以在线段 上不存在一点 ，使 与平在 所成的角为 .. 22.详解及评分标准： （1）由 ，得 ，即， ， 可取 ，满足条件，所以 是函数 的 区间. （2）因为 ，所以函数 在 上有两个零点， 在 上无零点，而 ，则 在 上恒成立， 即 ，都有 ，所以区间 不是函数 的 区间.