辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高二上学期10月月考 数学

2021－2022 学年度上学期沈阳市郊联体高二10 月月考 数学 考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分 注意事项： 本试卷由第I 卷和第II 卷两部分组成，第I 卷选择题部分，一律用2B 铅笔按照题号依 次填涂在答题卡上；第II 卷非选择题部分，按照要求答在答题卡相应位置 第I 卷 选择题(共计60 分) 一、单选题(本大题共计8 个小题，每小题5 分，共计40 分，每道题只有一个选项正确) 1.下列说法正确的是 A.若 是 的相反向量，则| |＝| | B.若| |＝| |，则 ， 的长度相等，方向相同 C.若 (λ≠0)，则A，B，C，D 必共线 D.在四边形ABCD 中，一定有 2.若 ＝(2，2，0)， ＝(1，2，z)，< ， >＝ ，则z 等于 A. B.－ C.± D.± 3.已知向量 ＝(－2，－1，3)， ＝(－1，2，1)，若 ⊥( －λ )，则实数λ 的值为 A.－2 B. C. D.2 4.已知正四面体A－BCD 的棱长为1，且 ， ，则 ＝ A. B. C.－ D.－ 5.已知 ＝(2，－1，3)， ＝(－1，4，－2)， ＝(7，5，λ)，若 ， ， 三向量共面， 则实数λ 等于 A. B. C. D. 6.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G 分别是BC，CD 的中点，则 等于 A. B. C. D. 7.已知向量{ ， ， }是空间向量的一组基底，向量{ ＋ ， － ， }是空间向量的 另外一组基底，若一向量 在基底{ ， ， }下的坐标为(1，－2，3)，则向量 在基底{ ＋ ， － ， }下的坐标为 A.(－ ， ，3) B.( ，－ ，3) C.(3，－ ， ) D.( ， ，3) 8.正三棱锥P－ABC 中，PA＝PB＝PC，M 为棱PA 上的动点，令α 为BM 与AC 所成的角， β 为BM 与底面ABC 所成的角，γ 为二面角M－AC－B 所成的角，则 A.2cosα>cosβ B.2cosα<cosβ C.2cosγ>cosβ D.2cosγ<cosβ 二、多选题(本大题共计4 个小题，每小题5 分，共计20 分，每题有多项符合要求，全部选 对的得5 分，部分选对的得2 分，错选或者多选的不得分。) 9.已知 ， 分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)， ， 分别为平面α，β 的法 向量(α，β 不重合)，则下列说法中，正确的是 A. // l1⊥l2 B. ⊥ l1⊥l2 C. // α β ⊥ D. ⊥ α β ⊥ 10.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果 ＝(2，－1，－4)， ＝ (4，2，0)， ＝(－1，2，－1)。对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③ 是平面 ABCD 的法向量；④ // 。其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④ 11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列说法中正确的是 A. B. C.向量 与向量 的夹角是60° D.正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为 12. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所 成的角为60°。其中正确的结论是 A.① B.② C.③ D.④ 第II 卷 主观题(共计90 分) 三、填空题(本大题共计4 个小题，每题5 分，共计20 分) 13.已知 ＝(－2，3，m)， ＝(2，－1，1)，若 ⊥ ，则实数m 的值为 。 14.设动点P 在棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1 的对角线BD1 上，记 ＝λ。当 ∠APC 为锐角时，λ 的取值范围是 。 15.如图在三棱锥S－ABC 中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ ，M、N 分别 是AB 和SC 的中点。则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为 ，直线SM 与面 SAC 所成角大小为 。 16.在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为线段A1B1，AB 的中点，O 为四棱锥E－ C1D1DC 的外接球的球心，点M，N 分别是直线DD1，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所 成的角为θ，则当θ 最小时，tanθ＝ 。 四、解答题(本大题共6 个小题，共计70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 并写在答题卡相应位置上) 17.(本题10 分)已知A(1，2，－1)，B(2，0，2)。 (1)求 ； (2)在x 轴上求一点P，使|PA|＝|PB|。 18.(本题12 分)已知空间三点A(2，0，2)，B(－11，2)，C(－3，0，4)，设 ＝AB， ＝ AC。 (1)求 和 的夹角θ 的余弦值； (2)若向量(k ＋ )⊥(k －2 )互相垂直，求k 的值。 19.(本题12 分)在平面四边形ABCD 中(如图甲)，已知AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BD＝ 2CD，现将平面四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F 分 别为棱AC、AD 的中点。 (1)求证：平面BEF⊥平面ABC； (2)若三棱锥A－BFE 的体积为 ，求CD 的长。 20.(本题12 分)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD⊥ 平面ABCD，且PD＝CD＝4，AD＝2。 (1)求AP 与平面CMB 所成角的正弦； (2)求M 点到面PBC 的距离。 21.(本题12 分)如图，四棱锥S－ABCD 的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a， 点E 是SD 上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)。 (1)求证：对任意的λ∈(0，1]，都有AC⊥BE； (2)若二面角C－BE－A 的大小为120°，求实数λ 的值。 22.(本题12 分)四棱锥S－ABCD，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已 知∠DAB＝135°，BC＝2 ，SB＝SC＝AB＝2，F 为线段SB 的中点。 (1)求证：SD//平面CFA； (2)求面SCD 与面SAB 所成二面角大小。