广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

（北京）股份有限公司 桂林市2022~2023 学年度上学期期末质量检测 高二年级 数学 （考试用时120 分钟，满分150 分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）. 第Ⅰ卷选择题 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.抛物线 的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2.空间直角坐标系中 两点坐标分别为 ，则 两点间距离为（ ） A.2 B. C. D.6 3.已知直线的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4.对于空间向量 .若 ，则实数 （ ） A. B. C.1 D.2 5.两圆 和 的位置关系是（ ） A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 6.一批产品共100 件，其中有3 件不合格品，从中任取5 件，则恰有1 件不合格品的概率是（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7.如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 为 中点，则 （ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 8.我们把离心率等于黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”.设 为优美椭圆， 分 别为它的左焦点和右顶点， 是短轴的一个端点，则 等于（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.已知 分别是双曲线 的左､右焦点，则下列正确的有（ ） A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程为 C. 的坐标为 D.直线 与双曲线有两个公共点 10.在 的展开式中，下列说法错误的是（ ） A.常数项是20 B.第4 项的二项式系数最大 （北京）股份有限公司 C.第3 项是 D.所有项的系数的和为0 11.“50 米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项.已知某地区高中女生的“50 米跑”测试数据 （单位：秒）服从正态分布 ，且 .现从该地区高中女生中随机抽取5 人，并记这5 人“50 米跑”的测试数据 落在 内的人数为 ，则下列正确的有（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 12.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系： .某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为 和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为 ；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐 厅的概率为 ，则王同学（ ） A.第二天去甲餐厅的概率为 B.第二天去乙餐厅的概率为 C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 第Ⅱ卷非选择题 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.计算： __________. 14.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率 ，用随机变量 表示他一次射门的命中次 数，则 __________. 15.已知抛物线 的焦点为 ，直线与抛物线 交于 两点，若 的中点的纵坐标为5，则 __________. 16.我国南北朝时期的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是 几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的 （北京）股份有限公司 体积相等.已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过点 ，若直线 与 在第一象 限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕 轴旋转一周所得几何体的体积为____ ______. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤. （北京）股份有限公司 17.（10 分） 已知直线 与 的交点为 . （1）求交点 的坐标； （2）求过点 且平行于直线 的直线方程. 18.（12 分） 从6 名运动员中选4 人参加 米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程， 并用数字作答） （1）甲､乙两人必须跑中间两棒； （2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒. 19.（12 分） 已知圆 ，点 （1）已知直线 与圆 相交于 两点，求 的长； （2）判断点 与圆 的位置关系，并求过点 且与圆 相切的直线方程. 20.（12 分） 2022 年11 月30 日7 时33 分，翘盼已久的神舟十四航天员乘组顺利打开“家门”热烈欢迎神舟十五的亲人入 驻“天宫”.太空奇迹，源于一代代航天人的筚路蓝缕､薪火相传.为激发同学们对航天科学的兴趣，某校举办 航天知识竞答，每班各选派两名同学代表班级回答4 道题，每道题随机分配给其中一个同学回答.小明､小红 两位同学代表高二1 班答题，假设每道题小明答对的概率为 ，小红答对的概率为 ，且每道题 是否答对相互独立.记高二1 班答对题目的数量为随机变量 . （1）若 ，求 的分布列和数学期望； （2）若高二1 班至少答对一道题的概率不小于 ，求 的最小值. 21.（12 分） 如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为线段 上一 点. （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （1）求证： ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离. 22.（12 分） 已知椭圆 ，以抛物线 的焦点为椭圆 的一个顶点，且离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 相交于 两点，与直线 相交于 点， 是椭圆 上一 点，且满足 （其中 为坐标原点），试问在 轴上是否存在一点 ，使得 为定值？ 若存在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由. 桂林市20222023 学年度上学期期末质量检测 高二数学参考答案及评分标准 1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难 度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. （北京）股份有限公司 3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数，填空题不给中间分. 一､单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D B A B A 二､多项选择题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） （北京）股份有限公司 题号 9 10 11 12 答案 ABD AC BC AC 三､填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.6 14. 15. 16. 四､解答题（本题共6 小题，共70 分.解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤） 17.（本小题满分10 分） 解：（1）由 ， 解得 所以点 的坐标是 （2）因为所求直线与 平行，所以设所求直线的方程为 把点 的坐标代入得 得 . 故所求直线的方程为 18.（本小题满分12 分） 解：（1）甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有 种，剩余两棒从余下的4 个人中选两人的排列有 种，故有 种. （2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有 种，其余4 人选两人和甲乙组合 成三个元素的排列有 种，故有 种. 19.（本小题满分12 分） 解：（1）由已知可知圆心 到直线 的距离 圆的半径长为2，得 （2）点 在圆 外； （北京）股份有限公司 当直线的斜率不存在时，直线的方程为： ，此时直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线： ，即 圆心 到直线的距离为 ，解得 （北京）股份有限公司 此时直线方程为： 综上可知切线的方程为 或 . 20.解：（1） 的可能取值为 高二1 班答对某道题的概率 则 . 则 得分布列为 0 1 2 3 4 则 （2）高二1 班答对某道题的概率为 ， 答错某道题的概率为 . 则 ，解得 ， （北京）股份有限公司 所以 的最小值为 . 21.（1）证明：因为 平面 平面 ， 所以 ，而 ， 因此建立如图所示的空间直角坐标系： （北京）股份有限公司 ， ， ， 因为 ， 所以 ，即 ， （2）设平面 的法向量为 ， ， 所以有 ， 因为直线 与平面 所成角为 ， 所以 ， 解得 ， 即 ，因为 ， 所以点 到平面 的距离为 （北京）股份有限公司 . （北京）股份有限公司 22.解：（1）抛物线 的焦点 即为椭圆 的一个顶点 即 ， 离心率为 ， 椭圆 的方程为 （2）设 ，则直线方程代入椭圆方程，可得 可得 ， 因为 ，代入椭圆方程可得 （北京）股份有限公司 假设存在这样的 点满足条件，设 ， （北京）股份有限公司 ， 要使 为定值，只需 在 轴上存在一点 ，使得