江苏省徐州市2021-2022学年高一上学期期末数学答案

2021～2022 学年度第一学期期末抽测 高一年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集补集定义即可求出答案. 【详解】因为 ， 所以 或 ，所以 . 故选：D. 2. 若幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设 ，利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可； 【详解】解：设 ，因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ； 故选：C 3. 命题“ ”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“若 ，则 ”的否定为“ 且 ” 【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“ ” 故选：C 4. 已知函数 则 的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得； 【 详 解 】 解 ： 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 故选：D 5. 已知函数 （ ，且 ）的图象恒过点 ，若角 的终边经过点 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令指数函数的指数为零即可求出指数型函数过定点 的坐标，再根据三角函数的定义计算可得； 【详解】解：因为函数 （ ，且 ），令 ，即 时 ，所以 函数恒过定点 ，又角 的终边经过点 ，所以 ， 故选：A 6. 设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将 拼凑为 ，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ，当且仅当 ，且 时，即 ， 时等号成立. 故选： . 7. 设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数以及三角函数的单调性分别判断 的范围，即可比较大小. 【详解】因为 ，即 ； ，即可 ； ，即 ，故 . 故选：D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒 影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为 （其中记 为不超过 的最大整数），且过点 ，若葫芦 曲线上一点 到 轴的距离为 ，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点 在曲线上求出 ，然后根据 即可求得 的值 【详解】点 在曲线上，可得： 化简可得： 可得： （ ） 解得： （ ） 若葫芦曲线上一点 到 轴的距离为 ，则等价于 则有： 可得： 故选：C 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 使 成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解. 【详解】 或 ， 故使 成立的一个充分条件的x 的范围应该是 的子集. 故选：AB. 10. 关于函数 ，下列说法中正确的是（ ） A. 其最小正周期为 B. 其图象由 向右平移 个单位而得到 C. 其表达式可以写成 D. 其图象关于点 对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A；由 可判断B；利 用诱导公式 可判断C；令 ，求出对称中 心可判断D 【详解】选项A， ，故函数 的最小正周期为 ，选项A 正确； 选项B，函数 ，其图象由 向右平移 个单位而得到， 选项B 错误； 选项C，函数 ，故选项C 正确； 选项D，令 ，解得 ，故函数图像的对称中心为 ， 令 ，为 ，故图象关于点 对称，选项D 正确 故选：ACD 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若 是第二象限角，则点 在第三象限 B. 圆心角为 ，半径为2 的扇形面积为2 C. 利用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是 D. 若 ，且 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及 之间的关系， 对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若 是第二象限角，则 ， 故点 在第三象限，则 正确； 对 ：根据题意，扇形面积 ，故 正确； 对 ：对 ，当 时， ，当 时， ， 故可以取的一个区间是 ，则 正确； 对D： ，且 ，则 ，解得 ， 则 ，故D 错误； 故选：ABC. 12. 规定 ，若函数 ，则（ ） A. 是以 为最小正周期的周期函数 B. 的值域是 C. 当且仅当 时， D. 当且仅当 时，函数 单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对选项A，直接求出该分段函数就可判断；对选项B，求出该函数的最小值为 ；对 选项C，根据正弦函数和余弦函数性质即可；对选项D，求出函数的单调区间即可； 【详解】根据题意，当 （ ）时， ； 当 （ ）时， ； 对选项A， 的周期为 ，故正确； 对选项B，根据正弦函数和余弦函数的性质，可知 的最小值在 （ ）处取得，即 有 ，因此值域不可能为 ，故错误； 对选项C， 函数的特点知，当且仅当 在第三象限时，函数值的为负，故正确； 对选项D，当 时，函数 也单调递增，因此选项遗漏了该区间，故错误； 故选：AC 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可. 【详解】 . 故答案为： . 14. 函数 的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得根式和对数式有意义，列出不等关系求解即可 【详解】由题意，要使得根式和对数式有意义，则 解得： 故函数 的定义域为 故答案为： 15. 若函数 在 单调递增，则实数 的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0. 【详解】令 ，则 ，因为 为减函数，所以 在 上单调递增等价于 在 上单调递减，且 ，即 ，解得 . 故答案为： 16. 已知函数 集合 ，若集合 中有3 个 元素，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】令 ，记 的两根为 ，由题知 的图象与直线 共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解. 【详解】令 ，记 的零点为 ， 因为集合 中有3 个元素，所以的 图象与直线 共有三个交点， 则， 或 或 当 时，得 ， ，满足题意； 当 时，得 ， ，满足题意； 当 时， ，解得 . 综上，t 的取值范围为 或 . 故答案为： 或 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在① ；②“ ”是“ ”的充分条件：③“ ”是“ ”的必要条件，在这三个 条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合 ， ． （1）当 时，求 ； （2）若________，求实数 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式得到集合 ，再求出集合 ，最后根据交集的定义计算可得； （2）根据所选条件均可得到 ，即可得到不等式，解得即可； 【小问1 详解】 解：由 ，解得 ，所以 ，当 时， ，所以 【小问2 详解】 解：若选① ，则 ，所以 ，解得 ，即 ； 若选②“ ”是“ ”的充分条件，所以 ，所以 ，解得 ，即 ； 若选③“ ”是“ ”的必要条件，所以 ，所以 ，解得 ，即 ； 18. 已知 ， ． （1）求 ， 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用诱导公式得到 ，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可； 【小问1 详解】 解：因为 ， ，所以 ，又 解得 或 ，因为 ，所以 【小问2 详解】 解： 19. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征． 如图是一个半径为 的水车，当水车上水斗A 从水中浮现时开始计算时间，点A 沿圆周按逆时针方向匀 速旋转，且旋转一周用时60 秒，经过秒后，水斗旋转到点 ，已知 ，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足 ． （1）求函数 的解析式； （2）当水车转动一圈时，求点 到水面的距离不低于 的持续时间． 【答案】（1） ； （2）20 秒. 【解析】 【分析】(1)根据OA 求出R，根据周期T＝60 求出ω，根据f(0)＝－2 求出φ； (2)问题等价于求 时t 的间隔. 【小问1 详解】 由图可知： ， 周期 ， ∵t＝0 时，在 ，∴ ， ∴ 或 ， ， ，且 ，则 . ∴ . 【小问2 详解】 点 到水面的距离等于 时，y＝2， 故 或 ，即 ， ， ∴当水车转动一圈时，求点 到水面的距离不低于 的持续时间20 秒. 20. 已知函数 ， ． （1）求证： 为奇函数； （2）若 恒成立，求实数 的取值范围； （3）解关于 的不等式 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得 的定义域，计算 ，与 比较可得； （2）原不等式等价为 对 恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围； （3）原不等式等价为 ，设 ，判断其单调性可得 的不等式，即可求出. 【小问1 详解】 函数 ， 由 解得 或 ，可得定义域 ，关于原点对称， 因为 ， 所以 是奇函数； 【小问2 详解】 由 或 ，解得 ， 所以 恒成立，即 ， 则 ，即 对 恒成立， 因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ，即的 取值范围为 ； 【小问3 详解】 不等式 即为 ， 设 ，即 ，可得 在 上递减， 所以 ，则 ，解得 ， 所以不等式的解集为 . 21. 已知函数 的部分图象如图所示． （1）求函数 的解析式： （2）将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来 的2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象． ①当 时，求函数 的值域； ②若方程 在 上有三个不相等的实数根 ，求 的值． 【答案】（1） ； （2）① ；② . 【解析】 【分析】（1）由图象得A、B、 ，再代入点 ，求解可得函数的解析式； （2）①由已知得 ，由 求得 ，继而求得函数 的值域； ②令 ， ，做出函数的 图象，设 有三个不同的实数 根 ，有 ， ，继而得 ，由此可得答案. 【小问1 详解】 解：由图示得： ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ， 又因为 过点 ，所以 ，即 ， 所以 ，解得 ，又 ，所以 ， 所以 ； 【小问2 详解】 解①：由已知得 ，当 时， ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以函数 的值域为 ； ②当 时， ，令 ，则 ， 令 ，则函数 的图象如下图所示，且 ， ， ， 由图象得 有三个不同的实数根 ，则 ， ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 ， 故 . 22. 对于函数 ，若在其定义域内存在实数 ，，使得 成立，则称 是“ 跃点”函数，并称 是函数 的1 个“ 跃点”． （1）求证：函数 在 上是“1 跃点”函数； （2）若函数 在 上存在2 个“1 跃点”，求实数 的取值范围； （3）是否同时存在实数 和正整数 使得函数 在 上有2022 个“ 跃点”？若存 在，请求出 和 满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在， 或 或 【解析】 【分析】（1）将要证明问题转化为方程 在 上有解，构造函数转化为函数零 点问题，结合零点存在性定理可证； （2）原问题等价于方程 在 由两个根，然后构造二次函数，转化为零点分 布问题可解； （3）将问题转化为方程 在 上有2022 个实数根，再转化为两个函数交点 个数问题，然后可解. 【小问1 详解】 因为 整理得 ，令 ， 因为 ，所以 在区间 有零点，即存在 ，使得 ， 即存在 ，使得 ， 所以，函数 在 上是“1 跃点”函数 【小问2 详解】 函数 在 上存在2 个“1 跃点” 方程