甘肃省张掖市2021-2022学年高二上学期期末学业水平质量检测 数学（理）

张掖市2021——2022 学年第一学期高二年级 学业水平质量检测 理科数学试卷 I 卷 A、单选题（本大题共12 小题，共60.0 分） 1. 已知实数，，，若 ，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 2. 在等差数列 中， ， ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是 A. “若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ” B. “ ， ”的否定是“ ， ” C. “ ”是“ ”的必要不充分条件 D. “ 或 ”是“ ”的充要条件 4. 在 中，角，，所对的边分别为，，，若 ，则 的形状为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 5. 不等式 表示的平面区域是一个 A. 三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 梯形 6. “ ， ”是“方程 ”表示椭圆的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 方程 与 的曲线在同一坐标系中的图是 ． A. B. C. D. 8. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做 “等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列 中， ，公和为，则 A. B. C. D. 9. 若 ， 是双曲线 的左、右焦点，是坐标原点过 作的一条 渐近线的垂线，垂足为，若 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 10. 在 中， ， ， ，则此三角形 A. 无解B. 两解C. 一解 D. 解的个数不确定 11. 如图所示，过抛物线 的焦点的直线交抛物线 于点、，交其准线点，若 ，且 ，则 此抛物线的方程为 A. B. C. D. 12. 若正实数，满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围 是 A. ，或 B. ，或 C. D. II 卷 二、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 在不等边 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为，，，只有 ， 则角的大小为 ． 14. 已知为椭圆 上的一点， ，分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为______． 15. 我国古代，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代 皇家建筑中包含许多与相关的设计．例如，北京天坛圆 丘的地面由扇环形的石板铺成如图所示，最高一层是一 块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共有 圈，则前圈的石板总数是______． 16. 已知点为椭圆 上的任意一点，点 分别为该椭圆的左、右焦点，则 的最大值为_____． 三、解答题（本大题共6 小题，共72.0 分） 17. 已知 ， ，若 为真命题，求的取值范围 设 ， ，若 是 的充分不必要条件， 求实数的取值范围． 18. 已知数列 满足 且 ． 证明数列 是等比数列； 设数列 满足 ， ，求数列 的通项公式． 19. 在平面直角坐标系 中，动点到直线 的距离与到点 的距离之差为． 1 求动点的轨迹的方程； 2 过点 的直线与交于、两点，若 的面积为 ，求直线的方程． 20. 在 中，内角，，所对的边长分别为，，，是和 的等差中项． 1 求角； 2 若 的平分线交 于点，且 ， ，求 的面积． 21. 已知公比 的等比数列 和等差数列 满足 ， ，其中 ，且 是 和 的等比中项． 求数列 与 的通项公式； 记数列 的前项和为 ，若当 时，等式 恒成立，求实 数的取值范围． 22.在平面直角坐标系 中，设椭圆 的离心率是，定义直线 为椭圆的“类准线”，已知椭圆的“类准线”方程为 ，长轴长为． 求椭圆的标准方程； 为坐标原点，为椭圆的右顶点，直线交椭圆于，两不同点点，与点 不重合，且满足 ，若点满足 ，求直线 的斜率的取值范围． 张掖市2021——2022 学年第一学期高二年级学业水平质量检 测 理科数学试题答案 一、选择题 1. 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、填空题 13. 【答案】 【解答】 解：由正弦定理 ，得到 ， 代入已知等式得： ， 即 ， 整理得： ，即 ， 此三角形为不等边三角形，舍去或 ， ，则 ． 故答案为： ． 14. 8 解答（略） 15.【答案】 【解析】解：最高一层的中心是一块天心石，围绕它第一圈有块石板， 从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共有圈， 则每圈的石板数构成一个以为首项，以为公差的等差数列， 故 ， 当 时，第圈共有 块石板， 前圈的石板总数 ． 故答案为： ． 根据已知可得每圈的石板数构成一个以为首项，以为公差的等差数列，求出数列的通项 公式，利用等差数列前项和公式能求出结果． 本题考查的知识点是等差数列的通项公式和前项和公式，难度不大，属于基础题． 16. 【答案】 【解答】 解：设 的外接圆半径为，由正弦定理得 故 的最大值为 ． 故答案为 ． 三、解答题 17.【答案】解： ，即 ，即 ．--------3 分 当 为真命题时，有 ，所以的取值范围是 ．-------------5 分 ，即 ，即 ．-----------------------------8 分 因为 是 的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件． 则有 ，所以 或 ，解得 ， 即实数的取值范围是 ---------------------------------------------10 分 18.【答案】 证明：依题意，由 ， 两边同时加上，可得 ， ， 数列 是首项为，公比为的等比数列，--------------------------5 分 由 ，可知 ， ， ，----------------------------------------------6 分 ， --------------------------7 分 则 ， ， ，， ， 各项相加，可得 ，-------------10 分 又当 时， 也满足上式， ．．-----------------------------------------------12 分 19.【答案】解： 设动点 ，则 ， 化简可得： ， 轨迹的方程为 ．---------------------------------------------4 分 当直线斜率不存在时，其方程为 ， 此时，与只有一个交点，不符合题意．---------------------------------5 分 当直线斜率存在时，设其方程为 ， 由 得 ， 令 、 ，则 ， ， ，--------7 分 ， ．-----------------------------------------------------------10 分 由已知，有 ，解之得 或 ， 直线的方程为： 或 ．---------------------------------12 分 20.【答案】解：Ⅰ由已知可得 ， 在 中，由正弦定理可得 ， 化简可得 ，---------------------------------------3 分 因为 ，所以 ，所以 ．-------------------------6 分 Ⅱ由正弦定理可得 ， 又 ，即 ，--------------------------------------------------------------------9 分 由余弦定理可得 ， 所以 ， 所以 ．-----------------------------------------------------------12 分 21. 【答案】解： 设等差数列 的公差为， ， ， ，且 是 和 的等比中项， ， 或 ， ---------------------------------------------------2 分 可得 或， 或，--------------------------------------------------------4 分 ，所以可得 ， ，． ， ； -----------------------------------------5 分 ， ， ------------------------6 分 得， ． ，即 对 恒成立， ． -----------------------------------9 分 当为偶数时， ， ； ---------------------------------10 分 当为奇数时， ， ， 即 ， -------------------------------------------------------11 分 综上可得 ． ------------------------------------12 分 22. 【答案】解： 由题意得： ， ， 又 ， 联立以上可得： ， ， ， 椭圆的方程为 ； ---------------------------4 分 由 得 ， 当直线 轴时，又 ， 联立 得 ， 解得 或 ， 所以 ， 此时 ，直线 的斜率为． -----------------6 分 当直线不垂直于轴时，设 ， ，直线 ， 联立 ，整理得 ， 依题意 ， 即 且 ， ， -------------8 分 ， ， ，即 ， 且满足 ， ， ， 故直线 的斜率 ， --------------10 分 当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号， 此时 ， 综上，直线 的斜率的取值范围为 ------------------------12 分