陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题

西安市铁一中学2022-2023 学年上学期期末 高二数学 注意事项： 1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位 置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、 胶带纸、修正带。 4.考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：（本题共8 小题，每题5 分，共40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．与直线 平行，且与直线 交于 轴上的同一点的直线方程是 （ ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱柱 中，点 是底面 的重心，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ） A．-4 B．-2 C．-6 D．-8 5．若椭圆经过点 ，且焦点为 ， ，则这个椭圆的离心率等于 A． B． C． D． 6．已知数列 是等差数列，若 ， ，则 公差 （ ） A．1 B． C． D． 7．已知三棱台 的六个顶点都在球O 的球面上， ， 和 分别是边长为 和 的正三角形，则球O 的体积为（ ）． A． B． C． D． 8．下列方程关于 对称的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：（本题共4 小题，每题5 分，共20 分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分 选对的得2 分）． 9．在平面直角坐标系中，已知圆 ，其中 ，则（ ） A．圆 过定点 B．圆 的圆心在定直线上 C．圆 与定直线相切 D．圆 与定圆相切 10．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为 当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6 种不同 的脐橙进行选品，其方法为首先对这6 种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为 1~6，然后将其放人一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一 次取出的脐橙的标号为 ，第二次为 ，设 ，其中[x]表示不超过x 的最大整 数，则（ ） A． B．事件 与 互斥 C． D．事件 与 对立 11．裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子 而引入，故又称为“兔子数列”．裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示 裴波那契数列的第 项，则数列 满足： ， ，记 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 12．棱长为1 的正方体 中， 为底面 的中心， 是棱 上 一点，且 ， ， 为线段 的中点，下列命题中正确的是（ ） A．三棱锥 的体积与 的取值无关 B．当 时，点Q 到直线AC 的距离是 C．当 时， D．当 时，过 三点的平面截正方体所得截面的周长为 三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．若向量 ， ，且 ，则 ______． 14．双曲线 的右焦点到直线 的距离为________． 15．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则实数 的值为_____ _. 16．已知正项数列 的前n 项和为 ，且对于任意 ，有 ，若 a2=4，则 _____， _____． 四、解答题：（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17．设直线的方程为 . （1）求证：不论 为何值，直线必过一定点 ； （2）若直线分别与 轴正半轴， 轴正半轴交于点 ， ，当 面 积最小时，求 的周长及此时的直线方程； （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线的方程. 18．2020 年5 月28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法 典》， 此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律 体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校 有800 名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了100 名学生进行测试，并按 学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图. （1）求 的值； （2）若成绩在80 分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度 优秀的人数； （3）如果抽查的测试平均分超过75 分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通 过测试. 19．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 底面 . （1）当 为何值时， 平面 ？证明你的结论； （2）若在 边上至少存在一点 ，使 ，求 的取值范围. 20．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ， ， 成等比数列，求正整数 的值. 21．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，短轴端点到焦点的距离 为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设A， 为椭圆 上任意两点， 为坐标原点，且 .求证：原点 到直线 的距离为定值，并求出该定值. 22．如图，点 是圆 内的一个定点，点 是圆 上的任意一 点，线段 的垂直平分线和半径 相交于点 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨 迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)点 ， ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求 的值. 参考答案： 1．D 根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案. ∵ ∴x＝1， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴向量 与 的夹角为 故选：D. 2．C 先求出直线 交于 轴交点 ，再设与直线 平行的直线方程 ，代入点的坐标得解. 设直线 交于 轴于 点，令 ，则 ， 所求直线与 平行，设 ，把 代入得 所求直线方程为： 故选：C 本题考查与直线平行的直线方程，属于基础题. 3．A 如图，连接 ，并延长交 于点D，根据重心的定义可得D 为 的中点， ，利用空间向量的线性运算即可求解. 由题意知，如图，连接 ，并延长交 于点D， 则D 为 的中点， ， 有 ， . 故选：A. 4．A 根据递推关系依次求得 和 的值. 依题意，数列 的前 项和为 ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 故选A. 本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题. 5．C 根据焦点坐标求出的值，根据椭圆过的定点 ，结合性质 得到 的值， 再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率. 椭圆焦点为 ， 设椭圆方程为 ， 又 椭圆经过点 ， 解得 或 ， ， ，故选C. 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解 在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出;②构造 的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义 来求解. 6．D 利用等差数列的下标和性质即可求解. ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ， ∴公差 ． 故选：D 7．B 分别求出正三棱台 的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质得： ， ，解出 ，即可求得球O 的体积. 设点 ， 分别是正 ， 的中心，球的半径为 ，且 ， ， 三点共线， 正三棱台 的高为 ，在等边 中，由 ，由正弦定理可得： ，得 ，在等边 中，由 ，由正弦定理可 得： ，得 ，如下图，过点 作 ，则在三角形 中， ，所以 ，所以正三棱台 的高为3，在 中， ，即 ， 在 中， ，即 ， 两式解得： ，所以球O 的体积为： . 故选：B. 8．B 利用 互换位置后方程不变可得答案. 对于A， 互换位置后方程为 与 不一样，故错误； 对于B， 互换位置后方程为 与原方程一样，故正确； 对于C， 互换位置后方程为 与原方程 不一样，故错误； 对于D， 互换位置后方程为 与原方程 不一样，故错误. 故选： B. 9．BC 利用反证法可判断AD 选项；求出圆心所在直线的方程，可判断B 选项；判断圆 与直线 的位置关系，可判断C 选项. 对于A 选项，圆 的方程可化为 ， 若圆 过定点，则 ，可得 ，矛盾，A 错； 对于B 选项，圆 的圆心坐标为 ，则圆心在直线 上，B 对； 对于C 选项，圆心到直线 的距离为 ，故直线 与圆 相切， 同理可知，直线 与圆 也相切，C 对； 对于D 选项，设定圆的圆心为 ，半径为，设 ， 若定圆与圆 外切，则 ， 化简得 ， 由二次函数的性质可知，关于 的二次函数 在 时的值不可能恒为零，舍去； 若定圆与圆 内切，则 ， 化简可得 ， 由二次函数的性质可知，关于 的二次函数 在 时的值不可能恒为零，舍去. 同理可知，当 时，不存在定圆与圆 相切，D 错. 故选：BC. 10．BCD 根据有放回的随机取两次结果36 种逐个分析判断即可解决. 由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为 ）： 共36 种， 若 ，此时取 或 所以 ，故A 错误； 若 ，则 恒成立， 所以与 互斥，故B 正确； ，故C 正确； 因为 恒成立. 所以 为 对立命题， 当 时， 恒成立，故D 正确， 故选：BCD 11．ABD 利用递推公式逐项计算可得 的值，可判断A 选项；推导出 ， ， 两式相加可判断B 选项；推导出 ，利用裂项相消法可判断C 选项；推导出 ，利用裂项相消法可判断D 选项. 对于A 选项， ， ， ， ，A 对； 对于B 选项，当 时， ，① ，可得 ，② ① ②得 ，B 对； 对于C 选项，对任意的 ， ，则 ， 因此， ，C 错； 对于D 选项， ， 因此， ，D 对. 故选：ABD. 12．ABD 根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确 定正确答案. 对选项A：由 ，因为 到平面 的距离为定值 ， 且 的面积为定值 ，所以三棱锥 的体积跟 的取值无关，所以A 正确； 对选项B：当 时， 是 的中点， ， ，所以 为锐角， 所以 , 所以点Q 到直线AC 的距离是 ，所以B 正确. 对选项C：当 时， ，可得 ， ， 取 的中点分别为 ，连接 ，则 ， 在直角三角形 中， ， 则 ，所以 不成立，所以C 不正确． 对选项D：当 时，取 ，连接 ，则 ，又 ， 所以 ，所以 共面，即过 三点的正方体的截面为 ， 由 ，则 是等腰梯形，且 ， 所以平面截正方体所得截面的周长为 ，所以D 正确； 故选：ABD 13．7 根据空间向量的数量积运算，代值计算即可. 依题意可得 ，则 ． 故答案为：. 14． 先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ， 所以右焦点 到直线 的距离为 . 故答案为： 15． 根据 可得 ，再根据平面向量的数量积公式求解即可 由 可得 ，即 ， ，代入可得 ，化简得 故答案为： 平面向量的垂直： 若向量 ，则 16． 2 126 根据已知条件，对p，q 的依次取特值，求出数列的前6 项，即可得到结果． 解：正项数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，有 ， ∵ ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 所以 ； 故答案为：2；126． 本题考查数列的递推关系，数列的求和，属基础题，难度较易. 17．（1）证明见解析；（2）周长为 ；直线方程为 ；（3） . （1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证； （2）先求A,B 坐标且确定 的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本 不等式求最值，确定 的值，最后求周长以及直线方程； （3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定 的值，再求直线方程. 解：(1)由 得 ， 则 ，解得 ， 所以不论 为何值，直线必过一定点 ； (2)由 得， 当 时， ，当 时， ， 又由 ，得 ， ， 当且仅当 ，即 时，取等号. ， ， 的周长为 ； 直线方程为 . (3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数， 即 ， 均为正整数，而a 也为正整数， 所以直线的方程为 . 本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积 的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题. 18．（1） ；（2）320 人；（3）能通过测试. （1）本题可根据频率分布直方图中数据得出结果； （2）本题可根据图中数据得出成绩在80 分及以上的频率为 ，然后与总人数相乘即可得 出结果； （2）本题可设抽查的平均成绩为 ，然后根据图中数据计算出 ，即可得出结果. （1）由频率分布直方图性质可得： ，解得 . （2）由频率分布直方图得，成绩在80 分及以上的频率为 ， 故估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数为： （人）. （3）设抽查的平均成绩为 ， 则 （分）， 因为 ，所以该学校通过了测试. 19．（1） ，证明见详解；（2） （1）要证 平面 ，只需证 垂直于平面 内的两条相交直线，由题意可知 ，则只需证明 ，只有当四边形 为正方形时满足. （2）由题意可知 ，若存在点 ，使 ，则 平面 ，即 ，则 点应是以 为直径的圆和 边的一个公共点，即半径 ，求解 即可. （1）当 时，四边形 为正方形，则 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又 ， 平面 ， 平面 所以 平面 . 故当 时， 平面 . （2）设 是符合条件的 边上的点. 因为 平面 ， 平面 所以 ， 又 ， ， 平面 ， 平面 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 . 因此， 点应是以 为直径的圆和 边的一个公共点. 则半径 ， 即 . 所以 . 本题考查根据线面垂直与线线垂直求参数，属于难题. 20．（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅰ）根据等差数列的通项公式以及求和公式得出数列 的通项公式； （Ⅱ）求出 ，再由等比数列的性质求出 . （Ⅰ） ，解得 （Ⅱ） ， ， ， 成等比数列 ，即 解得 （舍） 21．(1) (2)见解析. （1）根据离心率与短轴端点到焦点的距离联立，可求得 的值，从而可得椭圆的标准 方程； （2）分为直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为 ， 与椭圆方程联立消元，然后再根据 ，利用韦达定理可得 与 的关系，进而可知 原点 到直线 的距离为定值. （1） 由题意知， ， ，又 ， 所以 ， ， 所以椭圆 的方程为 . （2） 当直线 的斜率不存在时，易知直线 的方程为 . 代入 得 ， 所以，原点 到直线 的距离为 . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， . 由 得 则 ， ， 则 ，由 得 ， 即 ，即 ， 所以原点 到直线 的距离为 综上，原点 到直线 的距离为定值 . 22．(1) (2) （1）根据垂直平分线可判断点 轨迹满足椭圆的定义，故根据定义法求解曲线方程.（2） 设出直线 的方程，然后根据根与系数的关系求得点 的坐标.由点 ， ， 共线可得 点 的横坐标 ，可得直线 与 轴的交点纵坐标为 ，由此可得 ， ，计算后可得结果. （1） 由题意得点 在 的垂直平分线上， 所以 ， ∴ . ∴点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4 的椭圆， 设椭圆的方程为 , 则 ， ， ∴ . 所以曲线 的方程为 . （2） 由题设知直线 的斜率存在.设直线 的方程为 ， 由 消去 整理得 ， 设 ， ， 则 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 因为点 ， ， 共线，故 ， 即 ， 所以 ， 又直线 与 轴的交点纵坐标为 ， 所以 ， ， 所以 . （1）定义法求轨迹方程的步骤： ①分析题意，判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义； ②设出曲线的标准方程，并根据题意求出方程中的参数； ③求出轨迹方程，并判断是否有特殊点需要去掉（或补上）． （2）由于解析几何中涉及到较多的运算，因此在解题时要注意运算的准确性和运算的技巧， 学会运用“设而不求”、“整体代换”等方法.