北京市首都师范大学附属密云中学2022-2023学年高一上学期10月阶段性练习数学试题

首师附密云中学2022-2023 第一学期阶段练习·高一数学 2022.10.8 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本题共30 小题，每小题3 分，共90 分） 1. 下列命题正确的是 A. 很小的实数可以构成集合 B. 集合 与集合 是同一个集合 C. 自然数集N 中最小的数是1 D. 空集是任何集合的子集 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A 元素不确定 B．第一个集合是数集，第二个集合是点集，对象不统一 C 最小的数是0 考点：本题考查集合的概念 点评：解决本题的关键是理解集合的概念 2. 若集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义得： . 故选：C. 3. 已知集合 ， ， ，则 是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件求出 ，然后再根据并集的定义求出 即可. 【详解】解：因为 ， ，所以 ，则 . 故选:A. 【点睛】本题考查集合补集以及并集的运算，属于基础题. 4. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. 不存在 ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定直接判断. 【详解】根据特称命题的否定，可得命题“ ， ”的 否定是“ ， ”. 故选：D 5. 已知合集 ， ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先化简集合 ，然后利用交集的定义求解 . 【详解】化简集合 ，所以可得 . 故选：A. 6. 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于集合 分别表示抛物线、直线的点集，联立两方程，求出交点个数，即可得出结论. 【详解】联立 ，解得 或 ， 所以 . 故选：B. 7. 设 ，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对于A，C，D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可 【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以A 成立； 对于B，若 ， ，则 ， ，此时 ，所以B 不成立； 对于C，因为 ，所以 ，所以C 成立； 对于D，因为 ，所以 ，则 ，所以D 成立， 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题. 8. 下列四个关系式：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、空集的知识确定正确选项. 【详解】 是实数，所以 正确， 是有理数，所以 错误， 是集合，所以 错误， 空集没有元素，所以 错误. 所以正确的个数为个. 故选：A 9. 若a R，则a=2 是（a-1）（a-2）=0 的 A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 B. 充要条件 C. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由a=2 可得（a-1）（a-2）=0 成立，反之不一定成立，故选A. 10. 已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像判断出阴影部分表示 ，由此求得正确选项. 【详解】根据图像可知，阴影部分表示 ， ，所以 . 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题. 11. 设集合 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个集合中的不等式，结合选项分析即可. 【详解】由题意， ， ，于是 . 故选：C 12. 若 为实数，则下列命题错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ， ，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的 性质、函数单调性和作差法依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A，若 ，则 ， ，A 正确； 对于B， 在 上单调递减， 当 时， ，B 错误； 对于C， 在 上单调递减， 当 时， ，C 正确； 对于D，当 ， 时， ， ， ， ， ， ，即 ，D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系的辨析问题，关键是熟练掌握不等式的性质、函数单调性以及作差法等判断不 等关系的方法，属于基础题. 13. 设集合 ， ，且 ，则实数 的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合 ，进一步得出答案. 【 详解】由题得 ， 因为 ，且 ， 所以实数 的取值集合为 . 故选：A. 14. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合 ，从而求得 ，进而求得结果. 【详解】因为 或 ， 则 ， 所以 . 故选：B. 15. 若函数 满足 ，且 ， ，那么 等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可得 ，进而即得. 【详解】因为函数 满足 ，且 ， ， 所以 ， . 故选：B. 16. 若实数x，y 满足 ，则 的最大值为 A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 ，即可求出最大值． 【详解】解： 实数x，y 满足 ， ， ， 当 ， 时取等号， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题． 17. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据 是否为0 分类讨论． 【详解】 时， ，满足题意； 时， ， ，此时 ，满足题意． 所以 或 ． 故选：C 18. 设集合 ， ，则（ ） A. B. ⫋ C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合 中表达式化为 ，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可得 出结果. 【详解】对于集合 ，对于集合 ， 是奇数， 是整数，所以 ⫋ . 故选：B. 19. 下列四组中， 与 表示同一函数的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】A 项对应关系不同；B 项定义域不同；C 项定义域不同，初步判定选D 【详解】对A， ，与 对应关系不同，故A 错 对B， 中，定义域 ，与 定义域不同，故B 错 对C， 中，定义域 ，与 定义域不同，故C 错 对D， ，当 时， ，当 时， ，故 ，D 正确 故选D 【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表 达式一样） 20. 下列函数中，值域为 的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出每一个选项的函数的值域即得解. 【详解】对于选项A,函数 的值域为 ，所以该选项不符； 对于选项B,函数 的值域为R，所以该选项不符； 对于选项C,函数 的值域为 ，所以该选项不符； 对于选项D, 函数 的值域为[0,1],所以该选项符合. 故选D 【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21. 已知函数 ，则 A. B. 4 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算最内层函数 =2，然后判断2<3,根据题意代入2 所对应范围的函数解析式，计算即 可求得结果. 【详解】解：因为5>3,所以 ， 则 . 故选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，根据分段函数的表达式分别求解是解决本题的关键，属于基础题. 22. 已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象为如图所示的曲线 ，其中 ， ， ，则 （ ）． 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定图象求出 的值，再根据给定数表即可得解. 【详解】观察函数 的图象得： ，由表格知： ， 所以 . 故选：B 23. 给出以下命题： （1） ， ；（2） ， ；（3）有些自然数是偶数； （4） ， ；（5） 是 的充分不必要条件； （6）符合条件 集合 有4 个； 其中真命题的个数为（ ） A. 1 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 6 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的含义结合条件可判断（1）（3）（4），根据全称量词命题的含义及条件可 判断（2），根据充分条件及必要条件的概念可判断（5），根据集合的关系可判断（6）. 【详解】当 时， ，故 ， ，故（1）正确； 当 时， 不大于0，故（2）错误； 2,4 是偶数，所以有些自然数是偶数，故（3）正确； 因为 ，故（4）错误； 由 可推出 ，由 推不出 ， 所以 是 的充分不必要条件，故（5）正确； 符合条件 的集合 与集合 的子集数相同为4 个，故（6）正确. 真命题的个数为4. 故选：C. 24. 若一元二次不等式 的解集为 ，则 （ ） A. 5 B. 6 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到方程 有两个根为 ，根据韦达定理可得到 ，进而得 到答案. 【详解】一元二次不等式 的解集为 即方程 有两个根为 由韦达定理得到 解得 故得到 . 故选：A. 25. 若关于x 的不等式 的解集为R，则实数k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可知满足 或 即可. 【详解】由题 的解集为R， 当 时， 恒成立，满足题意； 当 时，则 ，解得 ， 综上， . 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题. 26. 对任意的正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据不等式 恒成立等价于 ，再根据基本不等式求出 ，即 可求解. 【详解】解： ， 即 ， 即 又 当且仅当“ ”，即“ ”时等号成立， 即 ， 故 . 故选：C. 27. 某产品的 总成本y 万元与产量x（台）之间的关系是 ， ，若每台产品的售价 为9 万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ） A. 3 台 B. 5 台 C. 6 台 D. 10 台 【答案】A 【解析】 【分析】依题意利用 解出x 的值，再结合x 的取值范围，即得结果． 【详解】解：依题意， ，即 ， 解得 或 （舍去），∵ ，∴ . ∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）． 故选：A． 28. 在 上的定义运算 ，则满足 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据运算的定义可得关于 的不等式，从而可求不等式的解集. 【详解】 即为 ，整理得到 ， 故 ， 故选：B． 29. 已知非空集合A，B 满足以下两个条件 2，3，4，5， ， ； 若 ，则 ． 则有序集合对 的个数为 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】对集合A 的元素个数分类讨论，利用条件即可得出． 【详解】解：由题意分类讨论可得：若 ，则 3，4，5， ；若 ，则 3，4， 5， ；若 ，则 2，4，5， ；若 ，则 2，3，5， ；若 ，则 3，4，1， ； 若 ，则 4，5， ；若 ，则 3，5， ；若 ，则 3， 4， ； 若 ，则 3，5， ；若 ，则 3，4， ； 若 ，则 2，4， ； 若 3， ，则 4， ． 综上可得：有序集合对 的个数为12． 故选A． 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题． 30. 用 表示集合A 中的元素个数，若集合 ， ，且 .设实数 的所有可能取值构成集合M，则 =（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件，可判断出d（A）的值为1 或3，然后研究 的根的情况， 分类讨论出a 可能的取值． 【详解】由题意， ， ，可得的 值为1 或3， 若 ，则 仅有一根，必为0，此时a=0，则 无根，符合题意 若 ，若 仅有一根，必为0，此时a=0，则 无根，不合题意，故 有二根，一根是0，另一根是a，所以 必仅有一根，所以 ，解得 ，此时 的根为1 或 ，符合题意， 综上，实数a 的所有可能取值构成集合 ，故 ． 故选：A． 【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一 元二次方程根的个数的研究方法，难度中等． 二、填空题（本题共7 小题，每小题4 分，共28 分） 31. 函数 的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干条件列关系式 ，解方程即可得到答案. 【详解】解：由题意可知： ，解得： 且 ，所以 的定义域为 . 故答案为 . 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，同时考查了不等式组的解法，属于基础题. 32. 若 ，则 ______ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据集合的互异性推出 ，由 得 或 ，解方程即可. 【详解】由集合的互异性知 ， 若 ，则 或 ，解得 ，所以 . 故答案为：-1 【点睛】本题考查元素的互异性，根据元素与集合的关系求参数，属于基础题. 33. 设函数 ，若 ，则 _________. 【答案】 或 【解析】 【分析】分 和 两种情况解方程 ，可得出实数 的值. 【详解】∵ ， ∴当 时， ，解得 或 ； 当 时， ，解得 (舍去)； 综上所述， 或 . 故答案为： 或. 34. 已知 ，则 的最小值为_____ ，当 取得最小值时 的值为______ . 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 利用基本不等式求出最小值以及 取得最小值时 的值． 【详解】 ， 当且仅当 时取等号 故答案为： 35. 在 上定义运算 ，若 成立，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，转化 ，解一元二次不等式即可 【详解】由题意， 解得： 故 的取值范围是： 故答案为： 36. 集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合 ，根据 即可求出实数 的取值范围. 【详解】因为 或 ， ， 又 ， 所以 ，即 . 故答案为： . 37. 已知集合 ，函数 的定义域、值域都是 ，且对于任意 ， ，则满足条 件的函数 有_____个. 【答案】9 【解析】 【分析】直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数. 【详解】 当 （1） 时，若 （2） ，则 （3） ， （4） ； 若 （2） ，则 （4） ， （3） ， 若 （2） ，则 （3） ， （4） ，共3 种； 同理可得：当 （1） ， （1） 时，都有3 种． 综上所述：满足条件的函数 共有9 种． 故答案为9． 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念，属基础题． 三、解答题（共3 小题，共32 分） 38. 已知全集 ，集合 ， ， . （1）求 ； （2）求 ； （3）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 ； （2）利用补集和并集的定义可求得集合 ； （3）根据 可求得实数 的取值范围. 【详解】（1） ， ， 因此， ； （2） ， ，因此， ； （3） ， 且 ， . 39. 已知函数 ， . （1）若函数 的图象经过点 ，求实数 的值； （2）在（1）条件下，求不等式 的解集； （3）当 时，函数 的最小值为1，求当 时，函数 的最大值. 【答案】（1） ； （2） ； （3）当 时，的 最大值为13，当 时， 最大值为 ． 【解析】 【分析】（1）由题可得 ，进而即得； （2）利用二次不等式的解法即得； （3）对 的对称轴与区间 的关系进行分情况讨论，判断 的单调性，利用单调性解出 ，再 求出最大值． 【小问1 详解】 由题可得 ， ∴ ； 【小问2 详解】 由 ， 解得 ， 所以不等式 的解集为 ； 【小问3 详解】 因为 是开口向上，对称轴为 的二次函数， ①若 ，则 在 上是增函数， ∴ ， 解得 ， ∴ ； ②若 ，则 在 上是减函数， ∴ ，解得 （舍）； ③若 ，则 在 上是减函数，在 上是增函数； ∴ ，解得 或 （舍）． ∴ ； 综上，当 时， 的最大值为13，当 时， 最大值为 ． 40. 已知集合A，B 为非空数集，定义A-B={x∈A 且x∉B}. （1）已知集合A=(-1，1)，B=(0，2)，求A-B，B-A；(直接写出结果即可) （2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}，Q=[1，2]，若Q-P= ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据定义可直接求出； （2）由 可得 ，讨论 的正负即可求出 的范围. 【详解】（1） ， 由定义可得 ， ； （2） ， ， 当 时， ，满足 ； 当 时， 或 ， ，解得 ； 当 时， 或 ， ，解得 ， 综上， . 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查包含关系的判断及根据包含关系求参数范围，属于基础题.