江西省九校2021-2022学年高二上学期期中联考数学（理）试题

江西省九校2021-2022 学年高二上学期期中联考 数学学科试卷（理科） 第I 卷（选择题） 一、单选题(本大题共12 个小题，每题5 分，共60 分) 1．在空间直角坐标系 中，点 关于原点O 的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．某企业有职工150 人，中高级职称15 人，中级职称45 人，一般职员90 人，现抽取30 人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ） A．5，10，15 B．5，9，16 C．3，10，17 D．3，9，18 3．在正方体 中，下列直线与 成60°角的是（ ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（ ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体 叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 5．如图，在正方体 中，E 是棱 的中点，则过三点A、D1、E 的截面过 （ ） A．AB 中点 B．BC 中点 C．CD 中点 D．BB1中点 年份 6．山竹，原产地在印度尼西亚东北部岛屿的一组群岛马鲁古，具有清热泻火､生津止渴的 功效，被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现统计出某水果经销商近年的 山竹销售情况，如下表所示. 根据表中的数据用最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ，若 年的年 份代码为，则可以预测 年该经销商的山竹销量大约为（ ） A． 万斤 B． 万斤 C． 万斤 D． 万斤 7．已知空间向量 ， ，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 与 夹角的余弦值为 8．已知圆台的上下底面的半径分别为3，4，母线长为 ，若该圆台的上下底面圆周均 在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A．50π B．100π C．150π D．200π 9．已知 为三条不同的直线， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 且 ，则 C． ， ，则 D．若 且 ，则 10．已知一个几何体的三视图如图所示，若正（主）视图（等腰三角形）与俯视图（半圆 加等腰三角形）的面积分别为 ， ，则该几何体的体积为（ ） 年份代码 年销量 /万斤 第10 题 第11 题 A． B． C． D． 11．运行下图所示的算法框图，若输出结果为 ，则判断框中应该填的条件是（ ） A．k>1009 B．k>1010 C．k>1011 D．k>1012 12．已知球O 的半径为2，三棱锥P－ABC 四个顶点都在球O 上，球心O 在平面ABC 内， △ABC 是正三角形，则三棱锥P－ABC 的最大体积为（ ） A．3 B．2 C． D．3 第II 卷（非选择题） 二、填空题(本大题4 个小题，每题5 分，共20 分) 13．已知 平均数为a，标准差是b，则 的平均 数是________，标准差是________． 14．已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，若点 到平面 的距离 为 ，则 ________. 15．已知正三棱锥 的底面是边长为 的等边三角形，若一个半径 为 的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为___________. 16．在棱长为1 的正方体 中，点 是对角线 上的动点（点 与 不重合），则下列结论正确的是____. ①存在点 ，使得平面 平面 ； ②存在点 ，使得 平面 ； ③ 的面积不可能等于 ； ④若 分别是 在平面 与平面 的正投影的面积，则存在点 ， 使得 . 三、解答题(本大题共6 个小题，共70 分) 17．(本题10 分)如图所示，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 分别在 ， 上，且 ．求证：（1） 、 、 、 四点共 面； （2） 与 的交点在直线 上． 18．在四棱锥P ABCD ﹣ 中，∠ABC= ACD=90° ∠ ， ∠BAC= CAD=60° ∠ ，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点，PA=2AB=2．求： （1）求四棱锥P ABCD ﹣ 的体积V； （2）若F 为PC 的中点，求证PC⊥平面AEF． 19．(本题12 分)抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1 的比例 随机抽取200 人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直 方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3 倍． （1）若次数在 以上含 次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优 秀学生的人数约为多少？ （2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图； （3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？ 20．(本题12 分)如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是菱形，平面 平面 . （1）证明： ； （2）若 ，且平面 平面BEDF，求平面ADE 与平面CDF 所成的二面角的 正弦值. 21．(本题12 分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下： 表1 年份 201 1 201 2 201 3 201 4 201 5 201 6 201 7 201 8 201 9 202 0 年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 营业收入y（亿 元） 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 120 7 168 2 213 5 由表1，得到下面的散点图： 根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型 （b 和a 是待定参数）来拟合y 和x 的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令 ，得 ，由表1 可得变换后 的数据见表2. 表2 t 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 y 0.52 9.36 33.6 132 352 571 912 1207 1682 2135 （1）根据表中数据，建立y 关于t 的回归方程（系数精确到个位数）； （2）根据（1）中得到的回归方程估计2021 年的营业收入，以及营业收入首次超过4000 亿元的年份. 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二 乘估计分别为 ， . 参考数据： . 22．(本题12 分)如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）点M 在线段 上，且 ，试问在线段 上是否存在一点N，满足 平面 ，若存在求 的值，若不存在，请说明理由？ 数学（理科）答案 1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．B 9．D 10．A 11．B 12．B 13． 14．-1 或-11 15． 16．①②④ ①如图 当 是 中点时，可知 也是 中点且 ， ， ，所 以 平面 ，所以 ，同理可知 ，且 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故正确； ②如图 取 靠近 的一个三等分点记为 ，记 ， ，因为 ， 所以 ，所以 为 靠近 的一个三等分点，则 为 中点，又 为 中点，所以 ，且 ， ， ，所以平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，故正确； ③如图 作 ，在 中根据等面积得： ，根据对称性可知： ，又 ，所以 是等腰三角形，则 ，故错误； ④如图 设 ， 在平面 内的正投影为 ， 在平面 内的正投影为 ，所以 ， ，当 时，解得： ，故正确. 故填：①②④. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 证明（1）∵ ，∴ ． --------1 分 ∵ ， 分别为 ， 的中点， --------3 分 ∴ ，∴ ，∴ ， ， ， 四点共面． --------5 分 （2）∵ ， 不是 ， 的中点， ∴ ，且 ，故 为梯形． ∴ 与 必相交，设交点为 ， -------6 分 ∴ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，且 平面 ， -------8 分 ∴ ，即 与 的交点在直线 上． -------10 分 18．(1) (2)见解析. 试题解析： （1）在 中， . 在 中 , ---------2 分 --------4 分 . 则 . ---------6 分 （2） ， 为 的中点， . 平面 . ---------8 分 平面 . 为 中点， 为 为中点， ，则 . --------10 分 平面 . --------12 分 考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明. 19．（1）8640；（2）第一组频率为 ，第二组频率为 ．频率分布直方图见解析； （3）中位数为 ，均值为121.9 （1）由频率分布直方图，分数在120 分以上的频率为 ， 因此优秀学生有 （人）； -------4 分 （2）设第一组频率为 ，则第二组频率为 ， 所以 ， ， 第一组频率为 ，第二组频率为 ． -------6 分 频率分布直方图如下： -------8 分 （3）前3 组数据的频率和为 ，中位数在第四组， 设中位数为 ，则 ， ． ------10 分 均值为 ．------12 分 20．（1）证明见解析；（2） . （1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ． 四边形 为正方形， ，且 为 的中点． 又 四边形 为菱形， ． -------2 分 平面 平面 -------4 分 又 平面OAE ． --------6 分 （2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设 ， 则 ， ， 则 ． 由（1）得 又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面ABCD，故 ，同理 ， ． ------8 分 设 为平面 的法向量， 为平面 的法向量， 则 故可取 ， 同理 故可取 ， -------10 分 所以 ． 设平面 与平面 所成的二面角为 ，则 ， 所以平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 ． -------12 分 21．（1） ；（2）估计2021 年的营业收入约为2518 亿元，估计营业收入首次 超过4000 亿元的年份为2024 年. （1） ， --------3 分 ， --------5 分 故回归方程为 . --------6 分 （2）2021 年对应的t 的值为121，营业收入 ， 所以估计2021 年的营业收入约为2518 亿元. -------8 分 依题意有 ，解得 ，故 . 因为 ， -------10 分 所以估计营业收入首次超过4000 亿元的年份序号为14，即2024 年.--------12 分 22．（1）证明见解析；（2）存在， 的值为 . （1）在三棱柱 中， 平面ABC， ， . ∴ ， ， ， ∵ ， ------2 分 ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ， -------4 分 ∵ ， ∴ 平面 . -------5 分 （2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴，建立空间直角坐标系，如图， ， ， ， ， 所以 ， ， --------7 分 设平面 的法向量 ，则 ， 取 ，得 ， --------8 分 点M 在线段 上，且 ，点N 在线段 上，设 ， ， 设 ，则 ， ， ， 即 ， 解得 ， ， ， -------10 分 ∵ ， ∴ ，解得 .∴ 的值为 . --------12 分