江西省九校2021-2022学年高二上学期期中联考数学（文）试题

江西省九校2021-2022 学年高二上学期期中联考 文科数学学科试卷 总分：150 分 考试时间：120 分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求的。 1．已知袋中有大小、形状完全相同的5 张红色、2 张蓝色卡片，从中任取3 张 卡片，则下列判断不正确的是（ ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1 张红色卡片和2 张蓝色卡片”是随机事件 2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到 二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）=0.7 ，P(B)=0.15，， P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ） A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.3 3．已知两条不同的直线a，b 和两个不重合的平面 ，下列条件中能推出结 论 的是（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 4．有20 名学生参加数学夏令营活动，分A， B 两组进行，每 组10 人夏令营结束时对两组学生进行了一次考核，考核成绩 的茎叶图如图所示.则下列说法错误的是（ ） A．A 组学生考核成绩的众数是78 B．A，B 两个组学生平均成绩一样 C．B 组考核成绩的中位数是79 D．A 组学生成绩更稳定 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ） A．消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5km B．甲车以 km/h 的速度行驶1h 消耗8L 汽油 C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 D．若机动车最高限速 km/h，在相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比 较． 6．从3 名男老师和4 名女老师中任选3 名老师，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一名男老师与都是男老师 B．至少有一名男老师与都是女老师 C．恰有一名男老师与恰有两名男老师 D．至少有一名男老师与 至少有一名女老师 7．同时抛掷两枚硬币，则至少出现一枚正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． π B． C． D． 9．按如图所示的算法框图运算，若输入x=3，则输出k 的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．总体由编号01，02，…，29，30 的30 个个体组成．利用下面的随机数 表选取5 个个体，选取方法是从如下随机数表的第1 行的第6 列和第7 列数字开 始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 个个体的编号为（ ） 第1 行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2 行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A．27 B．26 C．25 D．19 11．在平行四边形ABCD 中， ， ， 且 平面ABCD， ，则 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．矩形 中， ， ，沿 将 矩形折起，使面 面 ，则四面体 的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 第II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知有从小到大排列的五个 数 ，这五个数的中位 数为4，平均数为5，则 ________． 14．已知与 之间的一组数据： 则 与的线性回归方程 必过点___________. 15．一个不透明的口袋中装有个小球，其中有个红球，个白球，个黑球， 这些小球除颜色外其他完全相同，从中随机取出个球，则他们的颜色不同的 概率___________. 16．在三棱锥 中， ， ， ，侧面 是以 为直角 顶点的直角三角形，若平面 平面 ，则该三棱锥体积的最大值为_____ ___． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。17．从甲､乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平 进行测试，两人在相同条件下各射靶10 次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7， 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7， （1）求 ， ， ， （2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？ 18．如图，在直三棱柱 中， ， E、F 分别是 、 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ． 19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60 名， 将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如 下：观察图形，回答下列问题： （1）[79.5，89.5)这一组的频数、频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛的众数、中位数、平均数是多少？ 20．如图，四棱锥 中，侧面 是边长为4 的正三角形， 且与底面垂直，底面 是菱形，且 ， 为 的中 点． （1）求证： ； （2）求点 到平面 的距离． 21．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面 . （1）在线段 上是否存在一点 使得 平面 ？若存在，求出 的位置；若不存在，请说明理由； （2）求四棱锥 的体积. 22．某品牌餐饮公司准备在10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地 区加盟店的个数，先在其中5 个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1， 2，3，4，5 时，单店日平均营业额 （万元）的数据如下： 加盟店个数 （个） 1 2 3 4 5 单店日平均营业额 （万 元） 10.9 10.2 9 7.8 7.1 （参考数据及公式： ， ，线性回归方程 ，其中 ， .） （1）求单店日平均营业额 （万元）与所在地区加盟店个数 （个）的线性 回归方程； （2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5 个地区，该公司要求同 一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35 万元，求一个地区开设 加盟店个数 的所有可能取值； （3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从 其他五个地区（加盟店都不少于2 个）中随机选一个地区加入，求他们选取的 地区相同的概率 参考答案 1~5．CDCCB 6~10．CDDBD 11~12．BA 13．14 14． 15． 16． 17．（1）由数据得： ；........................................................2 分 ；........................................................4 分 .. 6 分 ........................................................8 分 （2）由（1）可知，甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差， 说明乙的成绩更稳定；应该选乙参加比赛.........................................................10 分 18．证明：（1）连接 ，交 于点M，连接ME，则M 为 中点． 因为E、F 分别是 与 的中点，所以 ，......................2 分 则 ，从而 为平行四边形， 则 ．................................................................4 分 又因为 平面 平面 ，所以 平面 ．..............5 分 （2）由 平面 ，..............7 分 因为 平面 ，所以 ．.....................8 分 而 ，M 为 的中点，所以 ．..............................................10 分 因为 ，所以 平面 ， 由（1）有 ，故 平面 ．...............................................12 分 19．（1）频率＝(89.5－79.5)×0.025＝0.25；频数＝60×0.25＝15..................4 分 （2）[69.5，79.5)一组的频率最大，人数最多，则众数为 74.5，...6 分 左边三个矩形的面积和为0.4，左边四个矩形的面积和为0.7，所以中位数在第4 个矩形中，设中位数为 ,所以中位数为 72.8................9 分 平均分为44.5×0.1＋54.5×0.15＋64.5×0.15＋74.5×0.3＋84.5×0.25＋94.5×0.05＝ 70.5 .......................................................................12 分 20．(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ． 依题意可知， ， 均为正三角形， ∴ ， ．................................................1 分 又∵ ，∴ 平面 ． 又 平面 ，∴ ．...........................................3 分 (2)由(1)可知 ，∵平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，即 为三棱锥 的高．..........................................5 分 由题意得 ，∵ 为 的中点，∴ ． 在 中， ，∴ ， ，.................................6 分 ∴在 中， 边上的高 ，......................................7 分 ∴ 的面积 ． 的面积 ．.......................................9 分 点 到平面 的距离即点 到平面 的距离． 设点 到平面 的距离为， 由 ，得 ，................................................10 分 即 ，解得 ， 即点 到平面 的距离为 ．..............................................................12 分 21．（1）线段 上存在点 使得 平面 ， 为 的中点.............2 分 证明如下：如图取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 且 ..................................................4 分 因为 且 ， 所以 ， 且 ，...........................................5 分 所以四边形 为平行四边形，可得 ， 因为 面 ， 面 ，所以 平面 ；...............................6 分 （2）过点 作 于点 ， 因为 平面 ， 面 ，所以平面 面 ，...................7 分 因为 ， 面 ，平面 面 ， 所以 面 ，.............................................................................................8 分 因为 ， ， 所以 ， ，........................................................9 分 所以 ，即 ，.......................10 分 所以 ，即为四棱锥 的高， 所以 ..................................12 分 22．（1）由题可得， ， ，设所求线性回归方程为 ， 则 ，................................................................3 分 将 ， 代入 ，得 ， 故所求线性回归方程为 ..................................................................5 分 （2）根据题意， ，解得： ， 又 ，所以 的所有可能取值为5，6，7.......................................8 分 （3）设其他5 个地区分别为 ，他们选择结果共有25 种，具体如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，.........................................................................10 分 其中他们在同一个地区的有5 种， 所以他们选取的地区相同的概率 .................................................12 分