黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(1)

（北京）股份有限公司 2022 级高一学年下学期3 月月考试题 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题（本题共8 个小题，每小题5 分，共40 分，每题只有一个正确的答 案） 1．已知x∈（－ π 2 ，0），cos x = 4 5 ，则tan 2x 等于（ ） A. 7 24 B.－ 7 24 C. −3 2 1−9 16 D.－ 24 7 2. 复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i＝0，则实数m＝( ) A．2 B．3 C．2 或3 D．0 或2 或3 3. 已知向量a，b 满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 4. 若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,-4)，且a∥c，则a 在b 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5. 在边长为1 的等边△ABC 中,设⃗ BC=a,⃗ CA=b,⃗ AB=c,则a·b+b·c+c·a=( ) A.-3 2 B.0 C.3 2 D.3 6. 已知复数z 满足 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 7. 在△ABC 中,AB=2,BC=3❑ √3,∠ABC=30°,AD 为BC 边上的高,若⃗ AD=λ⃗ AB +μ⃗ AC, 则 λ μ =( ) A.2 B.1 2 C.2 3 D.2❑ √3 8. 在△ABC 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，点 满足 ， ， 则△ABC 的面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，每题全选对得5 分，部分 选对得2 分，有选错的得0 分） 9. 花戏楼位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺 治十三年(公元1656 年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称 花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000 斤，旗杆高16 米多，直插碧空 白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB 的高度，选取 与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C 与D(B，C，D 不在同一直线上)，如 图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB， （北京）股份有限公司 ∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB 的高度的是（ ） A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD C．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC 10. 已知向量 ，若 为锐角，则实数 可能的取值是（ ） A． B． C． D． 11. 在△ABC 中，若 ，则△ABC 的形状可能为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在 12. 在 中， 分别是边 中点，下列说法正确的是（ ） A． B． C．若 ，则 是 在 的投影向量 D．若点 是线段 上的动点（不与 重合），且 ，则 的最大 值为 三、填空题（本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分） 13. 已知复数zi＝3＋i(i 为虚数单位)，则|z|＝ 14. 已知△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 ．若 ，则△ABC 的外接圆半径为____________． 15. 已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量⃗ AB方向相同的单位向量为 16．已知函数 对任意 都有 ，若 在 上的取值范围是 ，则实数 的取值范围 是__________． 四、解答题：（本题有6 个小题，共70 分） 17.(本小题满分10 分) 如图,在△OBC 中,点A 是BC 的中点,点D 在线段OB 上,且OD=2DB,设⃗ OA=a, ⃗ OB=b. (1)若|a|=2,|b|=3,且a 与b 的夹角为π 6 ,求(2a+b)·(a- b); (2)若向量⃗ OC与⃗ OA+k⃗ DC共线,求实数k 的值. （北京）股份有限公司 18.本小题满分12 分) 已知函数f(x)=4tanxsin( π 2 - x) cos(x - π 3)−❑ √3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间[- π 4 , π 4] 上的单调性. 19. (本小题满分12 分) 在△ABC 中，c＝2bcos B，∠C＝. (1)求∠B； (2)再从条件①:c＝b ； 条件②：△ABC 的周长为4＋2❑ √3； 条件③：△ABC 的面 积为3 ❑ √3 4 ，这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求BC 边 上中线的长．(注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 分；如果选择多个 符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．) 20. (本小题满分12 分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2). (1)若四边形ABCD 为平行四边形,求⃗ AC 与⃗ DB夹角的余弦值; (2)若M,N 分别是线段AC,BC 的中点,点P 在线段MN 上运动,求⃗ PA ·⃗ PB的最大值. 21. (本小题满分12 分) 如图所示，在梯形 中， ， ， ， . （1）求 的值； （2）若 ，求 的长. 22. (本小题满分12 分) 已知 ⃗ a=(2sin x 2 ,√3+1) ⃗ b=(cos x 2−√3sin x 2 ,1) f ( x)=⃗ a⋅⃗ b+m （1）当x ∈[0, π 2]时，f ( x)的最小值为2，求f ( x)≥2成立的x 的取值集合。 （2）若存在实数a,b,C ，使得a [f ( x)−m]+b [f ( x−C )−m]=1，对任意x∈R恒成立， 求 b a cosC 的值。 答案 一、选择题：1-8 DBCAABAD 二、9.ACD 10.BD 11.ABC 12.BD 三、填空题：13： 14： 15：(−3 5 , 4 5) 16： 四、解答题： 17.（10 分） (1)因为|a|=2,|b|=3,a 与b 的夹角为π 6 ,所以a·b=|a|·|b|cosπ 6 =3❑ √3, -------2 分 所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=-1-3❑ √3. -------5 分 （北京）股份有限公司 (2) 由题图得,⃗ OC=⃗ OB+⃗ BC=⃗ OB+2⃗ BA=2⃗ OA-⃗ OB,⃗ DC=⃗ DO+⃗ OC=-2 3⃗ OB+2⃗ OA-⃗ OB=2 ⃗ OA-5 3⃗ OB, 因为⃗ OA=a,⃗ OB=b,所以⃗ OC=2a-b,⃗ DC=2a-5 3 b, 所以⃗ OA+k⃗ DC=a+k(2a- 5 3 b)=(2k+1)a-5 3kb. -------7 分 若⃗ OC与⃗ OA+k⃗ DC共线,则存在实数λ,使得⃗ OC=λ(⃗ OA+k⃗ DC), 即2a-b=λ[\(2k+1)a- 5 3 k b] ,所以(2-2λk-λ)a=(1−5 3 kλ) b,因为a 与b 不共线, 所以{ 2−2 λk - λ=0, 1−5 3 λk=0, 解得{ λ= 4 5 , k= 3 4 . 所以实数k 的值为3 4 . -------10 分 18. (12 分) (1)f(x)的定义域为{x|x≠π 2 +k π ,k ∈Z} . f(x)=4tan xcos xcos(x - π 3)−❑ √3=4sin xcos(x - π 3)−❑ √3 =4sin x( 1 2 cos x+ ❑ √3 2 sin x)−❑ √3=2sin xcos x+2❑ √3sin2x-❑ √3 =sin 2x+❑ √3(1-cos 2x)-❑ √3=sin 2x-❑ √3cos 2x=2sin(2 x - π 3). -------4 分 所以f(x)的最小正周期T=2π 2 =π. -------6 分 (2)令z=2x-π 3 .由-π 2 +2kπ≤2x-π 3 ≤π 2 +2kπ,k∈Z,得- π 12+kπ≤x≤5 π 12 +kπ,k∈Z. 设A=[- π 4 , π 4] ,B= x - π 12 +kπ≤x≤5 π 12 +kπ,k∈Z ,易知A∩B=[- π 12 , π 4] . 所以,当x∈[- π 4 , π 4]时,f(x)在区间[- π 12 , π 4]上单调递增, -------10 分 在区间[- π 4 ,- π 12]上单调递减. ------12 分 19. (12 分) (1)由正弦定理＝及c＝2bcos B，得sin C＝2sin Bcos B. 因为∠C＝，所以sin 2B＝.又因为0<∠B<，所以∠B＝.------6 分 (2)选条件②：△ABC 的周长为4＋2 . 由(1)知，∠A＝π－－＝.所以△ABC 是顶角为，底角为的等腰三角形． 所以a＝b，c＝a. 由题设，(2＋)a＝4＋2 ，所以a＝2. -------9 分 设BC 边上中线的长为d.由余弦定理得d2＝＋a2－2××acos C， 所以d2＝1＋4－2×1×2×，故d＝.-------12 分 选条件③：△ABC 的面积为.由(1)知，∠A＝π－－＝， 所以△ABC 是顶角为，底角为的等腰三角形，所以a＝b. 由题设，a2sin＝，所以a＝.-------9 分 设BC 边上中线的长为d.由余弦定理得d2＝＋a2－2××acos C， 所以d2＝＋3－2×××，故d＝.-------12 分 20. (12 分) (1)由题可得⃗ AB=(6,-4),⃗ AC=(0,-3).设D(x,y),则⃗ DC=(1-x,2-y). 因为四边形ABCD 为平行四边形,所以⃗ AB=⃗ DC, （北京）股份有限公司 所以{ 1−x=6, 2−y=−4 , 解得{ x=−5, y=6, 即D(-5,6),所以⃗ DB=(12,-5). -------2 分 设⃗ AC 与⃗ DB的夹角为θ,则cos θ= ⃗ AC ·⃗ DB ¿⃗ AC∨·∨⃗ DB∨¿¿ = 0×12+(−3)×(−5) ❑ √0 2+(−3) 2× ❑ √12 2+(−5) 2= 5 13,所以⃗ AC 与⃗ DB 夹角的余弦值为5 13. ------6 分 (2)因为M,N 分别是线段AC,BC 的中点, 所以M(1, 7 2) ,N(4 , 3 2) ,所以⃗ MN=(3,-2),⃗ MA=(0, 3 2) ,⃗ MB=(6,−5 2) , 因为点P 在线段MN 上运动,所以可设⃗ MP=λ⃗ MN,λ∈[0,1],则⃗ MP=(3λ,-2λ), 所以⃗ PA=⃗ MA −⃗ MP=(−3 λ , 3 2 +2 λ) ,⃗ PB=⃗ MB−⃗ MP=(6−3 λ ,2 λ−5 2) , 所以⃗ PA ·⃗ PB=-3λ(6-3λ)+(2 λ+ 3 2)(2 λ−5 2)=13 λ2−20 λ−15 4 ,0≤λ≤1. 令f(λ)=13λ2-20λ-15 4 ,λ∈[0,1],对称轴方程为λ=10 13∈[0,1], f(0)=-15 4 , f(1)=-43 4 , 所以当λ=0 时, f(λ)取得最大值-15 4 , -------12 分 21. (12 分) （1） .------6 分 （2）由（1）知， ，∵ ， ∴ ， ， ， 由 ------12 分 22.(12 分) f ( x)=⃗ a⋅⃗ b+m=2sin x 2 cos x 2−2√3sin2 x 2 +√3+1+m =sin x−2√3×1−cos x 2 +√3+1+m =sin x+√3cos x+1+m =2sin( x+ π 3 )+1+m ------3 分 （1） x∈[0, π 2], x+ π 3 ∈[ π 3 , 5 π 6 ]------4 分 sin( x+ π 3 )min=1 2 所以f ( x)min=2+m m+2=2 所以 m=0 所以 f ( x)=2sin( x+ π 3 )+1 f ( x)≥2, 2sin( x+ π 3 )+1≥2 sin( x+ π 3 )≥1 2 2kπ+ π 6 ≤x+ π 3 ≤2kπ+ 5 π 6 所以 { x|2kπ−π 6 ≤x≤2kπ+ π 2 ,k ∈Z}------6 分 （2） a [f ( x )−m]+b [f ( x−c )−m]=a[2sin( x+ π 3 )+1]+b[2sin( x+ π 3 −c )+1] （北京）股份有限公司 =2asin( x+ π 3 )+a+2bsin( x+ π 3 )cosc−2bsin ccos( x+ π 3 )+b 任意 x∈R,(2a+2bcosc)sin( x+ π 3 )−2bsin ccos( x+ π 3 )+b+a−1=0 恒成立 有(2a+2bcosc)=0 且2bsin c=0 且b+a−1=0 经讨论只能有 sin c=0,cos c=−1,a=b=1 2 所以 b a cosC=−1------12 分 （北京）股份有限公司