湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷

湖南师大附中2022—2023 学年度高二第二学期期中考 试 数学 时量：120 分钟 满分：150 分 得分：___________ 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1．设集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数 的值域为 ，则函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 黄金，售货员 先将 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝 码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金 交给顾客．你认为顾客购得的黄金 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 ，其中 分别为左右盘中物体质 量， 分别为左右横梁臂长．（ ） A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定 5．天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，一个望远镜能看到的最暗的天体 星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等M 与其口径D （即物镜的直径，单位： ）近似满足关系式 ，例如： 口径的 望远镜的极限星等约为10.3．则 口径的望远镜的极限星等约为（ ） A．12.8 B．13.3 C．13.8 D．14.3 6．2023 年3 月，某校A，B，C，D，E，F 六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛， 均在比赛中取得优异成绩，现这6 名同学和他们的主教练共7 人站成一排合影留念，则主 教练和A 站在两端，B、C 相邻，B、D 不相邻的排法种数为（ ） A．36 B．48 C．56 D．72 7．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 8．记 设函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数m 的取值范围的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 9．若 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个n 位二进制数 ，其中 ，若在A 的各数位上出现0 和1 的概率均为 且相互独立，记 ，则当程序运行一次时（ ） A． B． C．X 的数学期望 D．X 的方差 11．红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜 色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的 黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从 余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲调配出红色”；B 表示 事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ） A．事件A 与事件C 是独立事件 B．事件A 与事件B 是互斥事件 C． D． 12 ．对于定义在区间D 上的函数 ，若满足： 且 ，都有 ，则称函数 为区间D 上的“非减函数”．若 为区间 上的 “非减函数”，且 ， ，又当 时， 恒成立，下列命题中正确的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 13．已知 ，则 的最小值为_____________． 14．已知函数 的值域为 ，则k 的取值范围是____________． 15．已知 ，则 ___________．（用数字作答） 16．若对于任意实数x 及 ，均有 ，则实数a 的取值 范围是_____________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤．） 17．（本小题满分10 分） 已知关于x 的函数 ，其中 ． （1）当 时，求 的值域； （2）若当 时，函数 的图象总在直线 的上方， 为整数，求 的 值． 18．（本小题满分12 分） 已知函数 ． （1）若不等式 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若 ，解关于x 的不等式 ． 19．（本小题满分12 分） 如图，在直三棱柱 中，E，F 分别是棱 的中点， ． （1）证明： ； （2）若 ，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12 分） 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息 通信研究院发布的《云计算白皮书（2022 年）》可知，我国2017 年至2021 年云计算市场 规模数据统计表如下： 年份 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/亿元 692 962 1334 2091 3229 经计算得： ． （1）根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程 （e 为自然对数的底数）； （2）云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算 前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 ，其中m 为单件产品的成本（单位： 元），且 ；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 ，若保持单件产品的成本不变，则 将会变成多少？若保持产品 质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？ 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 ． 若 ， 则 ． 21．（本小题满分12 分） 2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会 和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地 很多中小学开展了模拟冬奥会 赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况， 在该地随机选取了10 所学校进行研究，得到如图数据： （1）“自由式滑雪”参与人数超过40 人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10 所学 校中随机选出3 所，记X 为可作为“基地学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望； （2）在这10 所学校中随机选取3 所来调查研究，求在抽到学校中恰有一所参与“自由式 滑雪”超过40 人的条件下，抽到学校中恰有一所学校“单板滑雪”超过30 人的概率； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3 个动作技巧进行集训， 且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3 个动作中至少有2 个动作达到 “优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3 个动作中每个动作达到 “优秀”的概率均为 ，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测 试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3 次，那么理论上至 少要进行多少轮测试？ 22．（本小题满分12 分） 已 知 函 数 ， 函 数 ． 函 数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若存在 ，使得 成立，求实数a 的取值范围； （3）定义在I 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称函数 是I 上的有界函数，其中M 称为函数 在I 的 上界．讨论函数 在 上是否存在上界？若存在，求出M 的取值范围；若不存 在，请说明理由． 湖南师大附中2022—2023 学年度高二第二学期期中考 试 数学参考答案 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C B D A B 1．C 解析：由 得： ，而 ， 所以 ． 故选：C． 2．B 解析：由 可得 ，即 ，可等价变形为： ，即 或 ，显然“ 或 ”是“ ”的必要不充分 条件． 故选：B． 3．A 解析：∵ ，且 的值域为 ，∴ ， 当 时， 在 上是增函数． 又函数 的图象关于y 轴对称， 所以 的大致图象应为选项A． 故选：A． 4．C 解析：设天平左臂长 ，右臂长 ，且 ， 设天平右盘有 克黄金，天平左盘有 克黄金， 所以 所以 ． 故选：C． 5．B 解析：由题意 ，∴ ，∴ ． ∴ ． 故选：B． 6．D 解析：分2 步进行分析： ①主教练和A 站在两端，有 种情况； ②中间5 人分2 种情况讨论： 若B、C 相邻且与D 相邻，有 种安排方法； 若B、C 相邻且不与D 相邻，有 种安排方法， 则中间5 人有 种安排方法，则共有 种不同的安排方法．故选： D． 7．A 解析： ； 设 ， 因 为 函 数 在 上 递 增 ， ， ，即 ， 由零点存在定理可知 ； 设函数 ，易知 在 上递减， ， 即 ，由零点存在定理可知 ．即 ．故选：A． 8．B 解析：设 ， 则函数 在 上递增，且 ，且函数 至多有两个零点， 当 时， ， 若函数 在 上有零点，则 在 上有零点，不妨设零，点为 ，则 ， 此时 ，则 ，与题意矛盾， 故函数 在 上无零点． 二次函数 图象对称销为直线 ，函数 在 上有两个零点，所以 解得 故选：B． 二、选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 题号 9 10 11 12 答案 AC ABC BD ACD 9．AC 解析：由 ，可知 ． A 中，因为 ．所以 ．则 ，故A 正确； B 中，因为 ，所以 ．故 ，即 ，故B 错误； C 中，因为 ，又 ，则 ，所以 ，故C 正确； D 中，因为 ，根据 在 上单调递减，可得 ，而 在定义域 上单调递增，所以 ，故D 错误．故选：AC． 10．ABC 解析：由题意可得，每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1 是独立 的， 因此 ，故A 正确； 由于 ，故B 正确； ∵ ，∴ ，故C 正确，D 错误． 故选：ABC． 11．BD 解析：根据题意，A 事件两瓶均为红色颜料，C 事件为一瓶红色一瓶蓝色颜料，则 事件A 发生事件C 必定不发生， ∴ ，故A，C 不是独立事件，是互斥事件，故 ， 故A，C 错误； 若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1 瓶黄色和1 瓶蓝色，此时调出 红色和调出绿色不同时发生，故A，B 为互斥事件，故B 正确； 若B 事件发生， ， 若C 事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色，甲取1 瓶黄色和1 瓶红色或蓝色， 甲取1 瓶红色1 瓶蓝色， 则 ，故D 正确． 故选：BD． 12．ACD 解析：A．因为 ，所以令 得 ，所以 ，A 符合题意； B．由当 恒成立，令 ，则 ，由 为区间 上的“ 非减函数” ，则 ，所以 ，则 ，B 不符合题意； C ． ， 而 ， 所 以 ， 由 ， 又 ， 则 ， 则 ，C 符合题意； 当 时， ， 令 ，则 ， 则 ，即 ，D 符合题意． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 13．6 解析：由已知得 ，当且仅当 ， 即 时取等号． 即 ， 令 ，则 且 ， 得 ，即 的最小值为6． 14． 解析：因为函数 的值域为 ， 所以 ， 解不等式得 或 ． 15．34 解析：令 ，得 ； 令 ，得 ； 二项式 的通项公式为 ， 则 ， 所以 ． 16 ． 解 析 ： 由 本 不 等 式 ， ，故只需要 即可， 即对于任意的 恒成立， 等价于对任意的 ，或 ． 当 时，由于 ，原式可变形为 ，记 ， 求导可知函数 在 上递减，在 上递增． 于是 在 上递增，此时 ； 当 时，由于 ，原式可变形为 ，记 ， 根据对勾函数性质 在 上递减，在 上递增， 于是 在 上递减在 上递增， 当 ， ，注意到 ，故当 时， ， 故 ． 综上， ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤．） 17．解析：（1）当 时， ， 令 ，则 在 上单调觉增， 所以 的值域为 ． （2）由题可知， 在 上恒成立． ， 又 在 上单调递增． 所以 ，因此 ， 解得 ， 又 为整数，所以 或1． 18．解析：（1） 恒成立等价于 ， 当 时， ，对一切实数x 不恒成立，则 ，当 时， 开口向下， 对 不恒成立． 所以此时必有 解得 ， 所以实数a 的取值范围是 ． （ 2 ） 依 题 意 ， 因 为 ， 则 ， 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 或 ； 当 时， ，解得 或 ， 所以，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ． 19．解析：（1）取 的中点D，连接 ， 因为D，E 分别为 的中点，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为D，F 分别为 的中点，所以 ， 又因为 为直三棱柱，所以 ， 所以 ， 因为 平面 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ． （2）设 ，以C 为原点， 分别为x，y，z 轴建立如图空间直角 坐标系， 因为 ，则 ， ， 设平面 的一个法向量 ， 则 即 取 ， 为平面 的一个法向量，平面 与平面 所成锐二面角的余弦 值为 ， 所以 ，解得 ， 由 （ 1 ） 知 即 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ， ， ，所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 ． 20．解析：（1）由 ，得 ，令 ，即 ， 最小三东法公式得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则 ， 故y 关于x 的回归方程为 ． （2）∵ ，所以 ， ∴ ，解得 ， 引入云计算后， ，所以 ， 若保持单件产品的成本不变，则 ， ∴ ， 若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变）， 则 ，∴ ，即单件产品降价 元． 21．解析：（1）“自由式滑雪”参与人数超过40 人的学校有4 所，则X 的可能取值为0， 1，2，3． 所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以 ． （2）由题可知， 参与“自由式滑雪”的人数超过40 人的学校，且参加“单板滑雪”的人数不超过30 人的 学校为C、G， 参与“自由式滑雪”的人数超过40 人，且参加“单板滑雪”的人数超过30 人的学校为 D、I， 参与“自由式滑雪”的人数不超过40 人，且参加“单板滑雪”的人数超过30 人的学校为 A、B、E、H， 参与“自由式滑雪”的人数不超过40 人，且参加“单板滑雪”的人数不超过30 人的学校 为F、J， 设事件A 为“从这10 所学校中抽3 所学校恰有一个参与‘自由式滑雪？的人数超过40 人”． 事件B 为“从这10 所学校中抽3 所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30 人”． 则 ． 若“自由式滑雪”的人数超过40 人和“单板滑雪”人数超过30 人为同一个学校，则有 种情况， 若“自由式滑雪”的人数超过40 人和“单板滑雪”人数超过30 人非同一个学校，则有 种情况， ， 所以 ． （3 ）由题意可得小明同学在一轮测试中为“ 优秀” 的概率为： ． 所以小明在n 轮测试中获得“优秀”的次数Y 满足 ，由 ， 得 ． 所以理论上至少要进行12 轮测试． 22．解析：函数 ，由 ，可得 ， ．即 为奇函数， 且 时 递减，可得 在 递减，且 的值域为 ， 不 等 式 ， 即 为 ， 则 ， 即 ，即为 ，解得 ，则原不等式的解集为 ． （2）函数 ， 若存在 ，使得 成立， 当 的值域为 ， 当 时， 在 递减，可得 的值域为 ， 由题意可得 和 的值域需要存在交集，即有 ，即 ； 若 ，则 在 递增，可得 的值域为 ， 可得 和 的值域不存在交集，故不符合题意． 综上可得a 的范围是 ． （3） ， （ⅰ）当 ， 则 在 上单调递减， ∴ ， ①若 ，即 时，存在上界 ， ②若 ，即 时，存在上界 ； （ⅱ）当 时， ①若 时， 在 上单调递增， ，存在上界 ； ②若 时， 在 上单调递增， ，故不存在上 界； ③若 时， 在 上单调递增，在 上单调递 增， ，故不存在上界； ④若 ，在 上单调递增， ，故不存在上界； ⑤若 在 上单调递增， ，而 ，故存在 上界 ． 综上所述，当 时，存在上界 ， 当 时，不存在上界， 当 时，存在上界 ， 当 时，存在上界 ， 当 时，存在上界 ．