湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

第1 页/共20 页 （北京）股份有限公司 湖南师大附中2022-2023 学年度高二第一学期期中考试 数学 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．） 1. 当 m＜1 时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 曲线 与曲线 （ 且 ）的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 3. 数列 的通项 若 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线 与平面 所成角 的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者 平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率 决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设 某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7 天（初始感染者传染 个人为第一轮传染，经过一 第2 页/共20 页 （北京）股份有限公司 个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1 个初始感染者增加到1000 人 大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ） A. 35 B. 42 C. 49 D. 56 6. 半径为 的圆 内有一点 ，已知 ，过点 的 条弦的长度构成一个递增的等差数列 ， 则 的公差的取值范围为（ ） 第2 页/共20 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7. 已知 ，函数 在 上存在最值，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，则存在 ，对任意的 有（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 9. 已知圆 ，则下列说法正确的是（ ） A. 直线 与圆A 相切 B. 圆A 截y 轴所得的 弦长为4 C. 点 在圆A 外 D. 圆A 上的点到直线 的最小距离为3 10. 已知 是 的前n 项和，下列结论正确的是（ ） A. 若 为等差数列，则 （p 为常数）仍然是等差数列 B. 若 为等差数列，则 第3 页/共20 页 （北京）股份有限公司 C. 若 为等比数列，公比为q，则 D. 若 为等比数列，则“ ”是“ ”的充要条件 11. 点 是正方体 中侧面正方形 内的 一个动点，正方体棱长为，则下面结论 正确的是（ ） A. 满足 的点 的轨迹长度为 B. 点 存在无数个位置满足直线 平面 第3 页/共20 页 （北京）股份有限公司 C. 在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是 D. 若 是棱的 中点，平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 12. 已知双曲线 的左、右两个顶点分别是 ，左、右两个焦点分别是 ，P 是双曲线上异于 的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 存在点P，使得直线 的斜率的绝对值之和 C. 使得 为等腰三角形的点P 有且仅有四个 D. 若 ，则 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 13. 从长度为1，3，5，7，9 的5 条线段中任取3 条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________ _． 14. 已知直三棱柱 的所有顶点都在球O 的球面上， ， 则球的表面积为___________． 15. 已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分 别交于A，B 两点．若 ， ，则C 的离心率为____________． 16. 已知数列 满足 ． （1）若 ，则 ___________； （2）若对任意正实数t，总存在 和相邻两项 ，使得 成立，则实数 第4 页/共20 页 （北京）股份有限公司 的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤．） 17. 在平面直角坐标系中，三个点 到直线l 的距离均为d，且 ． （1）求直线l 的方程； （2）若圆C 过点 ，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为 ，求圆C 的标准方 程． 第4 页/共20 页 （北京）股份有限公司 18. 如图，四棱锥 中，底面为矩形， 平面 ， 为 中点，F 为 中点， ． （1）证明： ∥平面 ； （2）求点 到面 的距离． 19. 7 月份，有一新款服装投入某市场.7 月1 日该款服装仅售出3 件，以后每天售出的该款服装都比前一天 多3 件，当日销售量达到最大（只有1 天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2 件，且7 月31 日当天 刚好售出3 件． （1）求7 月几日该款服装销售最多，最多售出几件． （2）按规律，当该市场销售此服装达到200 件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20 件 时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天． 20. 已知抛物线 ，其中 ，过B 的直线l 交抛物线C 于M，N 两点． （1）当直线l 垂直于x 轴，且 为直角三角形，求实数m 的值； （2）若四边形 是平行四边形，当点P 在直线l 上时，求实数m，使得 ． 第5 页/共20 页 （北京）股份有限公司 21. 已知数列 的首项 ，且满足 ． （1）求证：数列 为等比数列； 第5 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （2）设数列 满足 求最小的实数m，使得 对一 切正整数k 均成立． 22. 设椭圆 的左焦点为 ．过 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 两点，且 ． （1）求证： ，并求椭圆C 的方程； （2）设 是椭圆C 上顺时针依次排列的四个点，求四边形 面积的最大值并计算此时的 的值． 第6 页/共20 页 （北京）股份有限公司 湖南师大附中2022-2023 学年度高二第一学期期中考试 数学 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．） 【1 题答案】 【答案】D 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】A 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】B 【6 题答案】 【答案】A 【7 题答案】 【答案】D 【8 题答案】 【答案】C 二、选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．） 【9 题答案】 【答案】BC 【10 题答案】 【答案】AC 第7 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【11 题答案】 【答案】ABD 【12 题答案】 【答案】AD 第7 页/共20 页 （北京）股份有限公司 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．） 【13 题答案】 【答案】 ##0.3 【14 题答案】 【答案】 【15 题答案】 【答案】2. 【16 题答案】 【答案】 ①. . ② 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤．） 【17 题答案】 【答案】（1） （2） 【18 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19 题答案】 【答案】（1） 7 月13 日该款服装销售最多，最多售出39 件；（2） 11 天． 【20 题答案】 【答案】（1） （2） 第8 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【21 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【22 题答案】 【答案】（1）证明见解析； 第8 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （2）四边形 面积的最大值为 ，此时