湖北省武汉市重点中学4G 联合体2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年度上学期武汉市重点中学联合体期末考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知数列 中的首项 ，且满足 ，则此数列的第三项是（ ） A．1 B． C． D． 2．已知三棱锥O-ABC 中，点M，N 分别为AB，OC 的中点，且 ﹐ ﹐ ，则 （ ）． A． B． C． D． 3．已知 ， 是椭圆C： 的两个焦点，P 为椭圆上一点，满足 ，若 的面积为9，则 （ ） A．1 B．2 C． D．3 4．意大利数学家斐波那契在1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列 ，此数列满足： ，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即 ，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A．672 B．674 C．1348 D．2022 5．已知空间直角坐标系中的点 ， ， ，则点P 到直线AB 的距离为（ ） A． B． C． D． 6．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹 计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成）以不同的排 列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小 于9 的概率为（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 7．在等差数列 中， 是 的前n 项和，满足 ， ，则有限项数列 ， ，…， ， 中，最大项和最小项分别为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 8．已知双曲线 的右焦点为F，关于原点对称的两点A，B 分别在双曲线的左、右两 支上， ， ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚正面朝上”，事件 “第二枚正面朝上”，下列结 论中正确的是（ ） A．该试验样本空间共有4 个样本点 B． C．A 与B 为互斥事件 D．A 与B 为相互独立事件 10．等差数列 ， 的前n 项和分别为 ， ， ， ，则下列说法正确的 有（ ） A．数列 是递增数列 B． C． D． 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B 的距离之比为定值 的点的轨迹是 （北京）股份有限公司 圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知 ， ，点P 满足 ， 设点P （北京）股份有限公司 的轨迹为圆C（圆心为C），则下列说法正确的是（ ） A．圆C 的方程是 B．以AB 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线方程为 C．过点A 作直线l，若圆C 上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为 D．过直线 上的一点M 向圆引切线ME、MF，则四边形MECF 的面积的最小值为 12．抛物线的光学性质为：从焦点F 发出的光线经过抛物线上的点P 反射后，反射光线平行抛物线的对称轴， 且法线垂直于抛物线在点P 处的切线．已知抛物线 上任意一点 处的切线为 ，直线l 交抛物线于 ， ，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点Q．下 列说法正确的是（ ） A．直线l 方程为 B．设弦AB 的中点为M，则QM 平行于x 轴或与x 轴重合 C．切线QA 与y 轴的交点恰在以FQ 为直径的圆上 D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．若双曲线 于的一个焦点为 ，两条渐近线互相垂直，则 ________． 14．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4 局结束比赛的概率为________． 15．在直三棱柱 中， ， ， ，M 是 ，的中点，以C 为坐标 原点建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，若 ，则异面直线CM 与 夹角的余弦值为________． （北京）股份有限公司 16．已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点为 ，点M 在圆 上，且M （北京）股份有限公司 在第一象限，过M 作圆 的切线交椭圆于P，Q 两点．若 ；的周长为4，则椭圆C 的方程 为________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分）已知公差大于零的等差数列 的前n 项和为 ，且满足 ， ． （1）求 和 ； （2）若数列 是等差数列，且 ，求非零常数c． 18．（本小题满分12 分）已知两直线 ： ， ： ． （1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）若直线 ： 与 ， 不能构成三角形，求实数a 的值． 19．（本小题满分12 分）如图，点 ， ， 在抛物线上 ，且抛物线的焦点 F 是 的重心，M 为BC 的中点． （1）求抛物线的方程和点F 的坐标； （2）求点M 的坐标及BC 所在的直线方程． 20．（本小题满分12 分）如图，在四棱椎 中，底面ABCD 为平行四边形， 平面ABCD，点 M，N 分别BC 为，PA 的中点． （1）取PB 的中点H，连接AH，若平面 平面PAB，求证： ； （2）已知 ， ﹐若直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为 ，求平面PBC 与平面 ABCD 的夹角的余弦值． （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 21．（本小题满分12 分）已知点 ， ，圆C： ，直线l 过点N． （1）若直线l 与圆C 相切，求l 的方程： （2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A，B，设直线A，B 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值． 22．（本小题满分12 分）已知点O 为坐标原点， 的两个顶点分别为 ， ，M 为边AB 上一点，满足CM 平分 且 ． （1）求顶点C 的轨迹E 的方程； （2）设直线CM 与曲线E 的一个交点为D（异于点C），求 面积的最大值． 2022-2023 学年度第一学期重点中学联合体期末考试 高二数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C D A C B ABD AB AD BCD 二、填空题： 13． 14． 15． 16． 三、解答题： 17．（10 分）（1）因为数列 为等差数列，所以 ，又 ， 所以 ， 是方程 的两实根， 又公差 ，所以 ，所以， ， ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ， ． （2）由（1）知 ，所以 ， 所以 ， ， ， 因为数列 是等差数列，所以 ，即 ， （北京）股份有限公司 所以 ，解得 或 （舍），所以 ． 经检验，当 时， 是等差数列．所以 ． （北京）股份有限公司 18．（12 分）（1）联立直线方程 解得 ，交点坐标 ， 当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程 ， 当直线不过原点时，设其方程为 ，过 得 ， ， 所以直线方程 综上：满足题意的直线方程为 ，或 （2）直线 ： 与 ， 不能构成三角形 当 与 平行时： ， ，当 与 平行时： ， 当三条直线交于一点，即 过点 ，则 ， 综上所述， ，或 ，或 19．（12 分）（1）由点 在抛物线 上，有 ，解得 ． 所以抛物线方程为 ，焦点F 的坐标为 ． （2）由于F 是 的重心，M 是线段BC 的中点， 所以 ，设点M 的坐标为 ， 则 ， ， ∴ ，解得 ， ，所以点M 的坐标为 ， 由 得 ， 因为 为BC 的中点，故 ，所以 ﹐ 因此BC 所在直线的方程为 ，即 ． （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 20．（12 分）（1）平面 平面PAB，且交线为AH， 过B 点作AH 的垂线，垂足记为K， 由于 平面PAB，所以 平面HAC， 由于 平面HAC，所以 ， 又 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ， 由于BK，PA 是平面PAB 内的相交直线，所以 平面PAB， 由于 平面PAB，所以 ，即 （2）由于 ， ，所以 ， 所以 ，由于 平面ABCD，AB， 平面ABCD， 所以 ， ，即AB，AC，AP 两两垂直． 以A 为原点，AB，AC，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴﹐建立如图所示的空间直角坐标系． 设 ，则 ， ， ，故 ， ， 设平面PBC 的一个法向量为 ，则 ， 即 ，今 ，则 ， ，故 ， 易得平面ABCD 的一个法向量为 ，又 ， 设直线AC 与平面PBC 所成角为 ， 则 ，解得 ， 设平面PBC 与平面ABCD 的夹角为β． （北京）股份有限公司 则 ， 所以平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为 ． （北京）股份有限公司 21．（12 分）（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为 ， 此时直线l 与圆C 相切，故 符合条件． 若直线l 的斜率存在，设斜率为k，其方程为 ，即 ． 由直线l 与圆C 相切，圆心 到l 的距离为1，即 ，解得 ． 所以直线l 的方程为 ，即 ， 综上，直线l 的方程为 ，或 ． （2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为 ， 联立 ，消去y 可得 ， 则 ．解得 ． 设 ， ，则 ， ，（*） 所以 ，将（*）代入上式整理得 ， 故 为定值 ． 22．（12 分）（1）解：因为CM 平分 ，所以由角平分线定理得 ， 又 ，所以 ，于是 ， （北京）股份有限公司 所以顶点C 的轨迹E 是以A，B 为焦点，4 为长轴长的椭圆，且点C 不在y 轴上， 故顶点C 的轨迹E 的方程为 ． （北京）股份有限公司 （2）解：设 ， ，直线CD： ，则 ， 点 在椭圆上，则 ， 所以 因为 ， ，所以 ，故 ． 又 ，所以 ，可得 ，故 ； 则 ，整理可得： ， 所以 ， 于是 ， 所以 又 ，当且仅当 时等号成立． 设 ， ，又 ， 当且仅当 时等号成立，故 ． 故当 时， 的面积最大，且最大值为 ． （北京）股份有限公司