湖北省荆州市八县市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题

高二数学试题（共4 页）第1 页 2021～2022 学年度上学期期末质量检测 高二数学试题 本试卷共4 页，22 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考试科目、准考证号填写在答题卡和试题卷规 定的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中只有一个 选项是符合题目要求的。 ） 1. 直线 2 1,l l 的斜率是方程 0 2 2   x x 9 7 5 3    a a a 的两根，则1 l 与2 l 的位置关系是 A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直 2. 抛物线 y x 4 2  的焦点坐标为 A. ) 0 , 1 ( B. ) 0 , 1 ( C. ) 1 , 0 ( D. ) 1 , 0 (  3. 等差数列 } { n a 中，已知，则  9 S A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 4. 以下四个命题中，正确的是 A. 若 OB OA OP 3 1 2 1   ，则P, A, B 三点共线 B.   | | | | | | c b a c b a     C. ABC  为直角三角形的充要条件是 0  AC AB D.若  c b a , , 为空间的一个基底，则  a c c b b a    , , 构成空间的另一个基底 5. 已知平面内有一点 ) 2 , 1 , 2 (  A ， 平面的一个法向量为 ) 2 , 1 , 3 (  n ， 则下列四个点中在平面 内的是 A. ) 4 , 1 , 0 ( 1 P B. ) 1 , 3 , 1 ( 2 P C. ) 5 , 3 , 1 ( 3  P D. ) 5 , 3 , 1 ( 4   P 6. 已知点 ) 3 , 2 ( A ， ) 1 , 2 (   B ，若直线: l 2 ) 1 (    x k y 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范 围是 A.       5 , 3 1 B.          3 1 , C. ) , 5 (  D. ) , 5 ( 3 1 ,            7. 已知数列 } { n a 满足 1 1  a ， 1 4 1    n n n a a a ，则满足 29 1  n a 的n 的最大取值为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 高二数学试题（共4 页）第2 页 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲 线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定 点距离的比为常数 0 (  k k 且 ) 1  k 的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭 圆T : 1 2 2 2 2   b y a x ) 0 (  b a ，A，B 为椭圆T 长轴的端点，C，D 为椭圆T 短轴的端点，E， F 分别为椭圆T 的左右焦点， 动点M 满足 2 | | | |  MF ME ，MAB  面积的最大值为 6 4 ，MCD  面积的最小值为 2 ，则椭圆T 的离心率为 A. 3 6 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 二、择选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分。 ） 9. 已知事件A，B，且 3 . 0 ) (  A P ， 4 . 0 ) (  B P ，则下列结论正确的是 A. 如果A 与B 互斥，那么 7 . 0 ) (  B A P ， 0 ) (  AB P B. 如果A 与B 相互独立，那么  42 . 0  B A P ，  18 . 0  B A P C. 如果A⊆B，那么 3 . 0 ) (  B A P ， 4 . 0 ) (  AB P D. 如果A 与B 相互独立，那么 7 . 0 ) (  B A P ， 0 ) (  AB P 10. 以下四个命题表述正确的是 A. 直线 0 2 ) 1 ( ) 3 1 (      y m x m ) ( R m 恒过定点 ) 3 , 1 ( B. 圆 4 2 2  y x 上有4 个点到直线: l 0 2   y x 的距离都等于1 C. 圆 : 1 C 0 2 2 2    x y x 与圆 : 2 C 0 8 4 2 2      m y x y x 恰有一条公切线，则 4  m D. 已知圆 : C 1 2 2  y x ，点P 为直线 0 2   y x 上一动点，过点P 向圆C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线AB 经过定点       2 1 , 2 1 11. 一个弹性小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的4 3 再落下. 设它第n 次着地时，经过的总路程记为 n S ，则当 3  n 时，下面说法正确的是 A. 700  n S B. 700  n S C. n S 的最小值为2 725 D. n S 的最小值为250 12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 : C y x y x | | 1 2 2    就是其中之一(如图). 给出下列四个结论，其中正确结论是 A. 图形关于y 轴对称 B. 曲线C 恰好经过4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C. 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 D. 曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3 高二数学试题（共4 页）第3 页 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 如图：二面角    l 等于135°，A、B 是棱l 上两点，AC、BD 分别 在半平面、内， l AC ， l BD ， 1  AC AB ， 2  BD ，则 CD 的长等于______． 14. 已知定点 ) 2 , 4 ( A ，动点M、N 分别在直线 x y  和 0  y 上运动，则AMN  的周长取最小值 时点N 的坐标为 ． 15. 已知 2 1,F F 是椭圆 1 3 6 2 2  y x 的两个焦点，A，B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则 2 1 PF PF  的最小值为 ． 16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所 排列的形状把数分成许多类，下图中第一行的1，3，6，10 称为三角形数，第二行的1， 5，12，22 称为五边形数，则三角形数的第10 项为 ，五边形数的第n 项 为 ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ） 17. （本小题满分10 分） 某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规 定时间内送达、 延迟5 分钟内送达、 延迟5 至10 分钟送达、 其他延迟情况， 分别评定为A， B， C，D 四个等级，各等级依次奖励3 元、奖励0 元、罚款3 元、罚款6 元.假定评定为等级A， B，C 的概率分别是4 3 , 8 1 , 32 3 ． （1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率; （2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3 元 的概率． 高二数学试题（共4 页）第4 页 18. （本小题满分12 分） 在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点A(0,2)和C(4,6)，AB 所在直线的方程为 0 2 3   y x ． （1）求对角线BD 所在直线的一般方程； （2）求AD 所在直线的一般方程． 19. （本小题满分12 分） 如图，在四棱锥 ABCD P  中，底面ABCD 为正方形， 2  AB ， 3  AP ，直线PA 垂直于 平面ABCD，E，F 分别为PA，AB 的中点，直线AC 与DF 相交于O 点． （1）证明：OE 与CD 不垂直； （2）求二面角 D PC B   的余弦值． 20. （本小题满分12 分） 已知直线: l 0 10 3   y x ，半径为10 的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右 上方． （1）求圆C 的方程； （2）过点 ) 0 , 2 ( M 的直线与圆C 交于A，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存 在定点N，使得x 轴平分 ANB  ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理 由． 21. （本小题满分12 分） 已知数列 } { n a 满足 n n a n a a n      2 2 2 2 1 2  ． （1）求数列 } { n a 的通项公式； （2）设 n n a b 2  ，数列 } { n b 的前n 项和为 n S ，证明：当 2  n 时, 2 4   n Sn ． 22. （本小题满分12 分） 已知曲线C 上任意一点 ) , ( y x P 满足方程 2 2 ) 3 ( y x   2 2 ) 3 ( y x    2  ， （1）求曲线C 的方程; （2）若直线l 与曲线C 在y 轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且 0  OQ OP ， 求 2 2 | | | | OQ OP  的最小值．