江西省抚州市临川第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

临川一中2021—2022 学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷（理科） 卷面满分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：杨志红 万志强 审题人：邓全齐 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，作答时请将答案填写在答题卡 上，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲所得分数的极差为22 B. 乙所得分数的中位数为18 C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 4. 用数学归纳法证明不等式 时，以下说法正确的是（ ） A. 第一步应该验证当 时不等式成立 B. 从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 C. 从“ 到 ”左边需要增加 项 D. 从“ 到 ”左边需要增加的代数式是 5. 已知函数 的导函数 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间 上，函数 是增函数 B. 在区间 上，函数 是减函数 C. 2 为函数 的极大值点 D. -2 为函数 的极小值点 6. “ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 阅读如图的程序语句，输出的结果为（ ） A. 17 B. 10 C. 9 D. 5 8. 观察一组数据 ， ， ， ，…则 从左到右第一个数是 （ ） A. 383 B. 381 C. 379 D. 377 9. 如图，在以点 为圆心，线段 长为半径的半圆弧上任取一点 ，其中 ，则 的面积大 于 的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正四棱柱是由四个棱长为1 的小正方体组成的， 是它的一条侧棱， ， ， 是它的上底面 上其余的八个点，则集合 的元素个数（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 11. 已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， ， 为双曲线一条渐近线上的 两点， 为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数， ，当 时， ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 由变量 与 相对应的一组成对样本数据 、 、 、 、 得到的线性回归 方程为 ，则 的平均数 __________. 14. 函数 的图像在 处的切线方程为__________. 15. 某一次学生考试结束后，老师随机询问甲、乙、丙3 位同学的考试情况，甲说：“我的成绩比乙好”；乙 说：“丙的成绩比我和甲的都好”；丙说“我的成绩比乙好”，若甲、乙、丙三人中只有一个人说了真话， 请问：甲、乙、丙3 位同学成绩最好的是同学__________. 16. 已知抛物线 ： ，其焦点为 ，准线为，过焦点 的直线交抛物线 于点 、 （其中 在 轴上方）， ， 两点在抛物线的准线上的投影分别为 ， ，若 ， ， 则 __________. 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分）已知数列 的前 项和 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.（本小题满分12 分）为纪念建党100 周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200 名 同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1 组 ，第2 组 ，第3 组 ，第4 组 ，第5 组 ，第6 组 .得到如图所示的频率分布直方图. （1）求 的值，并估计这200 名学生成绩的中位数； （2）若先用分层抽样的方法从得分在 和 的学生中抽取5 人，然后再从抽出的5 人中任意选 取2 人，求此2 人得分恰在同一组的概率. 19.（本小题满分12 分）已知 ， ，且 . （1）求 在区间 上的值域； （2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，求 的面积. 20.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是梯形， ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角为 ，点 在线段 上，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 21.（本小题满分12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为上顶点， ，原点 到直线 的距离为 . （1）求椭圆的方程； （2）设斜率不为0 的直线过点 ，与椭圆交于 ， 两点，若椭圆上一点 满足 ，求 直线的方程. 22.（本小题满分12 分）已知 . （1）讨论 的单调性； （2）若 ，且 ，证明： .（ 为自然对数的底数） 临川一中2021-2022 学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1-5：CBDDC 6-10：ACBCA 11-12：DD 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 63 14. 15. 甲 16. 3 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分） 解：（1）当 时， . 当 时， ；又 时也满足 ∴ . （2）∵ ，∴ ， ∴ . 18.（本小题满分12 分） 解：（1）由频率分布直方图可得： ，即 ； 设中位数为 ，则 ，则 . ∴这200 名学生成绩中位数的估计值为76； （2）由频率分布直方图可知：得分在 和 内的频率分别为0.04 和0.06， ∴采用分层抽样知，抽取的5 人中，在 内的2 人，设为 ， ，在 内的3 人，设为 ， ， ，则在这5 人中抽取2 人的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有10 种情况，其中分数在同一组的2 人有 ， ， ， ，有4 种情况，∴概率为 . 19.（本小题满分12 分） 解：（1）∵ ， ，且 ， ∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ . 即 在区间 上的值域为 . （2）由（1）可知 ， ，∴ . 又∵ ，∴ 为锐角，∴ ， 由正弦定理， ，∴ ，即 . ∴ ，则 . 20.（本小题满分12 分） （1）证明：取 中点 ，连接 .∵ ，且 ，∴四边形 为平行四边形. 则 ，于是 .又∵ ， ，∴ 平面 . 又∵ 平面 ，∴ .又∵平面 平面 且交线为 ，∴ 平面 . （2）解：∵ 平面 .∴ 即为直线 与平面 所成的角，∴ . 又∵ ，∴ ， . 以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， . ， ， . ∵ ，∴ . 设平面 的法向量 ， 由 ，得 ，取 . 由（1）可知， 平面 ，所以平面 的法向量 ， ∴ . ∴平面 与平面 夹角的余弦值为 . 21.（本小题满分12 分） 解：（1）由题意得 ， ，因为 ，所以 ， 由原点 到直线 ： 的距离为 ，可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为 . （2）因为直线的斜率不为0，且过点 ，所以设直线的方程为 ，设点 ， ，联立方程 ，得 ，则 ， ， 因为 ，所以 ， 将点 的坐标代入椭圆方程得 ， 而 ， ，整理得到 ， 即 ， 解得 ，所以直线的方程为 或 . 22.（本小题满分12 分） 解：（1） 的定义域为 .∵ ， ∴ 在 上单调递增. （2）由题可得 ，若 ，则必有 ， 则 ；若 ，则必有 ，则 ， ∴若 ，则 .要证 ，只需证 ， 即证 .又 ，故只需证 . 令 ， 则 . ∵ ，∴ ，∴ ， 且 ， ∴ ，故 在 上单调递增. ∵ ，∴ ，即 ，即 ，故 .