四川省成都市第七中学2022-2023学年高一上学期期末测试数学试题

试卷第1页，共4页 2025届高一上期末测试卷（数学） 试卷分数：150 分 考试时间：9：00—11：00 一、单选题 1．命题“ ”的否定为( ) A. B. C. D. 2．已知 0 a b   ，则下列不等式成立的是（ ） A． 2 2 a b  B． 2 a ab  C．1 1 a b  D． 1 b a  3． 30  是 1 sin 2  的什么条件（ ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．函数 2 ( ) x x f x x x   - 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知 3 sin 37 5  ，则cos 593（ ） A．3 5 B． 3 5 - C．4 5 D． 4 5  6．已知 2 x  ，则函数 4 2 y x x    的最小值是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 试卷第3页，共4页 16．已知函数    2 2 log 1 f x x x   , 若任意的正数 , a b 均满足  f a    3 1 0 f b   , 则3 1 a b  的最小值为 . 四、解答题 17．已知函数 ( ) f x 是二次函数， ( 1) 0 f   ， ( 3) (1) 4 f f    ． (1)求 ( ) f x 的解析式； (2)解不等式 ( 1) 4 f x   ． 18．已知 cos(2 )sin( ) tan( )cos( ) ( ) sin cos 2 2 f                                ． （1）化简 ( ) f ； （2）若为第四象限角，且 2 cos 3  ，求 ( ) f 的值． 19．设集合     2 2 0, 4 , 2( 1) 1 0, R A B x x a x a x         . (1)若 1 2 a  ，求A B  ； (2)若A B B   ，求实数a 的取值范围. 20．某医疗器械工厂计划在2023 年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此 款电子仪器全年需投入固定成本200 万元，每生产x （千部）电子仪器，需另投入成本  R x 万元，且 2 10 100 ,0 25 ( ) 9000 510 4250, 25 x x x R x x x x            ，由市场调研知，每1 千部电子仪器售 价500 万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完． (1)求出2023 年的利润  W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式； （利润＝销 售额－成本） (2)2023 年产量x 为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少? 试卷第4页，共4页 21．已知 2 2 1 g x x ax   在区间  13 ，上的值域为  0,4 。 (1)求实数a 的值； (2)若不等式  2 4 0 x x g k    当   x 1,  上恒成立，求实数k 的取值范围。 22.设m 为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数 0 x ，使得     0 0 ( ) f x m f x f m    成立，则称函数f（x）为“G（m）函数”． （1）若函数 ( ) 2x f x  为“G（2）函数”，求实数 0 x 的值； （2） 已知 ( ) ( ) f x x b b R    为“G （0） 函数”， 设( ) | 4| g x x x   ． 若对任意的 1 x ，2 [0, ] x t  ， 当 1 2 x x  时，都有         1 2 1 2 2 g x g x f x f x    成立，求实数t 的最大值． 试卷第1页，共12页 2025届高一上期末测试卷（数学答案） 试卷分数：150 分 考试时间：9：00—11：00 一、单选题 1．命题“ ”的否定为( ) A. B. C. D. .【答案】 解：全称量词命题的否定是存在量词命题， 则原命题的否定是： ， ， 故选A． 2.已知 0 a b   ，则下列不等式成立的是（ ） A． 2 2 a b  B． 2 a ab  C．1 1 a b  D． 1 b a  【答案】D 【详解】解：对于A 选项，取特殊值 5, 1 a b   ，满足 0 a b   ，但 2 2 a b  不满足， 故错误； 对于B 选项，因为 0 a b   ，所以 0 a b   ，所以   2 0 a ab a a b    ，故错误； 对于C 选项，因为 0 a b   ，所以 0, 0 b a ab    ，所以1 1 0 b a a b ab     ，即1 1 a b  ，故 错误； 对于D 选项，因为 0 a b   ，所以 0 b a   ，所以 1 0 b b a a a    ，即 1 b a ，故正确. 故选：D. 3． 30  是 1 sin 2  的什么条件（ ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】当 30  时， 1 sin 2  ；当 1 sin 2  时，可能 5 6   . 所以 30  是 1 sin 2  的充分不必要条件. 故选：B 试卷第3页，共12页 【详解】∵ 2 x  ，∴   4 4 4 2+2 2 2 +2 4+2 6 2 2 2 y x x x x x x              ， 当且仅当 4 2 2 x x    ，即 4 x  时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B． 7.已知函数 ( ) 2 3 f x x x    ，则函数 ( ) f x 有（ ） A．最小值1，无最大值 B．最大值3 2 ，无最小值 C．最小值3 2 ，无最大值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【详解】因为  2 3 f x x x    ，令   2 3 0, x t   ，所以 2 3 2 t x   ， 所以         2 2 3 1 1 1 0, 2 2 t f x g t t t t         ，因为 g t 的对称轴为 1 t ， 所以 g t 在  0,上递增，所以  min 3 0 2 g t g   ，无最大值，所以  f x 的最 小值为3 2 ，无最大值， 8．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【详解】由题意可知a 、b 、   0,1 c ，   2 2 2 5 2 8 log 3 lg3 lg8 1 lg3 lg8 lg3 lg8 lg24 1 log 5 lg5 lg5 2 2lg5 lg25 lg5 a b                             ， a b  ； 由 8 log 5 b  ，得8 5 b  ，由 5 4 5 8  ，得 5 4 8 8 b  ， 5 4 b   ，可得 4 5 b  ； 由 13 log 8 c  ，得13 8 c  ，由 4 5 13 8  ，得 4 5 13 13 c  ， 5 4 c   ，可得 4 5 c  . 综上所述，a b c   . 故选：A. 二、多选题 9．以下说法中正确的有（ ） 试卷第4页，共12页 A．幂函数 1 2 y x   在区间  0  ， 上单调递减； B．如果幂函数为奇函数，则图象一定经过  1 ，1   ； C．若定义在R 上的函数 ( ) f x 满足 ( 2) (2) f f   ，则函数 ( ) f x 是偶函数； D．若定义在R 上的函数 ( ) f x 满足 (2) (1) f f  ，则函数 ( ) f x 在R 上不是减函数； 【答案】ABD 【详解】对于A，由幂函数的性质可知，因为 1 0 2   ，所以函数 1 2 y x   在区间  0  ， 上单调递减，故A 正确； 对于B，由幂函数的性质知，幂函数的图象一定经过  11 ，，因为幂函数为奇函数，由奇 函数的性质知，奇函数的图象关于原点对称，所以图象一定经过  1 ，1   ；故B 正确； 对于C，函数为偶函数条件有2 个，①定义域关于原点对称，②对 R x  ,都有 ( ) ( ) f x f x   ，仅凭 ( 2) (2) f f   ，无法得出，故C 错误； 对于D，若函数 ( ) f x 是R 上是减函数，则 (2) (1) f f  ，与条件“ (2) (1) f f  ”矛盾，故函 数 ( ) f x 在R 上不是减函数，故D 正确. 故选：ABD. 10．若4 4 5 5 x y x y      ，则下列关系正确的是（ ） A．x y  B． 3 3 y x    C．3 3 x y  D．1 3 3 y x        【答案】ACD 【详解】由4x −4y <5 −x −5 −y得4x −5 −x <4 y −5 −y ，令 f (x = )4x −5−x ，则 f (x < )f (y )，因 为y =4x , y − =5 −x 在 R 上都是增函数，所以 f (x )在 R 上是增，所以x <y ，故 A 正确； 当x − =2, y − =1时， y−3 <x−3 ，故 B 错误； 由x <y 知 C 正确； 因为 1 3 x y       在R 上递减，且 x y ，所以1 1 3 3 y x             ，即1 3 3 y x        ，故正确； 故选：ACD 试卷第5页，共12页 11.已知函数  2 2 f x x x a    有两个零点 1 2 , x x , 则以下结论中正确的是( ) A. 1 a  B. 若 1 2 0 x x  , 则 1 2 1 1 2 x x a   C.    1 3 f f   D. 函数   y f x  有四个零点 【答案】ABC 【解析】  f x 对应的二次方程根的判别式Δ  2 ( 2) 4 4 4 0, 1 a a a       ,故A 正 确; 由韦达定理知 1 2 1 2 2, x x x x a    ,则 1 2 1 1 x x   1 2 1 2 2 x x x x a   ,故B 正确; 因为  f x 图象的对称轴为直线 1 x  ,所以点        1, 1 , 3, 3 f f   关于对称轴对称, 故C 正确; 当 0 a  时,  y f x  只有两个零点,故D 不正确. 故选ABC. 12．已知函数( ) x x x x e e f x e e - - + = - ，则下列结论中正确的是（ ） A．  f x 的定义域为R B．  f x 是奇函数 C．  f x 在定义域上是减函数 D．  f x 无最小值，无最大值 【答案】BD 【详解】选项A， 0 x x e e   ，解得 0 x  ，故  f x 的定义域为{ | 0} x x  ，选项A 错误； 选项B，函数定义域关于原点对称，且   ( ) x x x x e e f x f x e e       ，故  f x 是奇函数，选 项B 正确； 选项C，  1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0, (1) 0 1 1 e e e e e e f f e e e e e e                    ， 故 ( 1) (1) f f   ， 即  f x 在 定义域上不是减函数，选项C 不正确； 选项D，  2 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x e e e f x e e e e          ，令 2 0 x t e   ， 2 1 1 y t ，由于 2x t e  在 试卷第6页，共12页 R 上单调递增， 2 1 1 y t 在(0,1),(1, ) 分别单调递减， 故函数  f x 在( ,0),(0, )  分 别单调递减， 且x 时， ( ) 1 f x ， 0 x   时，( ) f x ， 0 x   时，( ) f x ， x 时， ( ) 1 f x ，故函数  f x 的值域为( , 1) (1,   ） ，无最小值，无最大值， 选项D 正确 故选：BD 三、填空题 13．已知一元二次方程 2 2 0 x x a     有一个根比1 大，另一个根比1 小，则实数a 的 取值范围是______. 【答案】  ,0   【详解】令函数 2 2 y x x a     ，则其图象开口向上，顶点坐标为 1 9 , 2 4 a         ，对称 轴是 1 2 x  ，若二次函数 2 2 y x x a     有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于 1， 要使另一个零点比1 大，则需满足1 1 2 0 a    ，解得a<0 ，即a<0 时，二次方程 2 2 0 x x a     有一个根比1 大，另一个根比1 小.所以满足题意的实数a 的取值范围 是  ,0   . 故答案为：  ,0   ．另解：令函数 2 ( ) 2 f x x x a     ,f(1)<0 即可 14．已知 60 sin cos 169   且4 2      ，则sin的值为_____________. 【答案】12 13 【详解】由已知条件得 120 2sin cos 169   ，① 又∵ 2 2 sin cos 1    ，② ∴①②得，  2 289 sin cos 169     ， ②①得，  2 49 sin cos 169     ， 又∵4 2      ， ∴sin cos 0     ，即sin cos 0     ，sin cos 0     ， 因此， 17 sin cos 13     ，③ 试卷第7页，共12页 7 sin cos 13     ，④ 由③+④得： 3 in 1 s 12  . 故答案为：12 13 . 15．若函数 log 2 ) a y ax   （ 在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是________． 【答案】(1，2) 【详解】令 log , 2 a y t t ax    ，当0 1 a  时， loga y t  为减函数， 2 t ax   为减函数， 不合题意； 当 1 a 时， loga y t  为增函数， 2 t ax   为减函数，符合题意，需要2 0 ax   在[0，1] 上恒 成立， 当 0 x  时， 2 0  成立， 当0 1 x  时， 2 a x  恒成立， 即 min 2 2 a x         ， 综上1 2 a   . 故答案为：(1，2). 16．已知函数    2 2 log 1 f x x x   , 若任意的正数 , a b 均满足  f a    3 1 0 f b   , 则3 1 a b  的最小值为 . 【答案】12 【解析】因为 2 1 0 x x   恒成立,所以函数  f x 的定义域为R . 因为  2 2 1 log 1 f x x x   ,     2 2 log 1 f x x x    , 所以     , f x f x f x   为奇函数. 又    2 2 log 1 f x x x   在  ,0   上单调递减, 所以  f x 在  0,   上单调递减, 又  f x 在 0 x  处连续, 所以  f x 在R 上单调递减. 由    3 1 0 f a f b    得    1 3 f a f b   , 故 1 3 a b  ,即 3 1 a b   , 试卷第8页，共12页 所以   3 1 3 1 9 3 6 b a a b a b a b a b              9 2 6 6 6 12 b a a b      , 当且仅当9b a a b  ,即 1 1 , 2 6 a b   时等号成立, 所以3 1 a b  的最小值为12. 故答案为12. 四、解答题 17．已知函数 ( ) f x 是二次函数， ( 1) 0 f   ， ( 3) (1) 4 f f    ． (1)求 ( ) f x 的解析式； (2)解不等式 ( 1) 4 f x   ． 【答案】(1) 2 ( ) ( 1) f x x   (2) ( , 2] [2, )    【详解】 （1）由 ( 3) (1) f f   ，知此二次函数图象的对称轴为= 1 x ， 又因为 ( 1) 0 f   ，所以  1,0  是  f x 的顶点， 所以设 2 ( ) ( 1) f x a x   因为 (1) 4 f  ，即 2 (1 1) 4 a   所以得 1 a  所以 2 (