广东省四校2021-2022高一下学期（5月）联考数学试题含答案

试卷第1页，共4页 惠州一中、珠海一中、中山纪念中学2021-2022 学年 高一下第二次段考试题 数 学 命题人：管培祥 审题人：许坤尧 校对人：许坤尧 一、单选题(本大题共8 小题，共40 分) 1．在复平面内，复数z 满足iz=3-2i，则z 对应的点位于（ ） A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限 2 已知集合     9 , 5 , 1 , 0 , , 1 2 2      a a B a a A ，若满足  9  B A ,则a 的值为： A ±3 或5 B -3 或5 C -3 D 5 3． 在ABC  中， 角A、 B、 C 对应的边分别为a、 b、 c， 现已知 4 b  ， 45 B  ， 若ABC  有两解，则a 的取值范围是（ ） A．(4 2, )  B．( ,4 2)  C．(4 2,4 3) D．(4,4 2) 4， 已知棱长为a 的正四面体的外接球表面积为���1， 内切球表面积为���2， 则���1: ���2=( ) A 9 B 3 C 4 D 1 3 5． 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示， 边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平 行于x 轴，已知四边形ABCD的面积为 2 6cm ，则原四边形的面积为___________ 2 cm . A 12 B 12 2 C 3 2 2 D 3 6．已知   , 0,    ，则“ 2 sin sin 3     ”是“   2 sin 3     ”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 试卷第2页，共4页 7．在 ABC  中，点O 是线段BC 上的点，且满足 3 OC OB      ，过点O 的直线分别 交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB mAE      ，AC nAF      ，其中m＞0 且n＞0，若 1 t m n  的最小值为3，则正数t 的值为（ ） ． A．2 B．3 C．8 3 D．11 3 8. 已知函数 ( ) f x 是定义在(0, ) 上的增函数，且对 (0, ) x  ，都有 2 ( ( ) log ) 3 f f x x   ，若关于x 的方程 ( ) 2 ,( 0) f x a b b    ＞ 的两个根分别为 1 2 x x 和 ，且 1 2=16 x x ，则a 的值为（） A 2 B 1 C 16 D 1 16 二、多选题(本大题共4 小题，共20 分) 9．设 1 2 , z z 是复数，则下列说法中正确的是（ ） A．若 1 2 0 z z   ，则 1 2 z z  B．若 1 2 z z  ，则 1 2 z z  C．若 1 2  z z ，则 1 1 2 2 z z z z    D．若 1 2  z z ，则 2 2 1 2 z z  10．如图，已知正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A．直线 1 1 AC 与 1 AD 为异面直线 B． 1 1 / / AC 平面 1 ACD C．∠���1���1���=45° D．正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  外接球体积为32 3π 11 已知△ABC 中角A、B、C 对应的边分别为a、b、c，D 为△ABC 所在平面上一点， 则下列说法正确的是： A 若 0 AB AD      ，则 BAD  为锐角 B 若 0 AB AC      ，则△ABC 为钝角三角形 C 若△ABC 中a b  ,则sin sin A B  D 若M 为BC 中点，则 2 2 2 1 2 2 2 AM b c a    试卷第3页，共4页 12 如图，长方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， 4 AB BC   ， 1 3 AA  ，点M 是线段 1 1 D C 的中点，点N 为线段 1 1 B C 中点，则下列说法正确的是（ ） A．长方体被平面AMN 截得的截面是一个五边形 B．长方体被平面AMN 截得的截面面积为7 6 C． 1 BC 与平面AMN 平行 D．三棱锥 1 A AMN  的体积为6 三、填空题(本大题共4 小题，共20 分) 13 已知 C z ，且 1, z i i   为虚数单位，则 3 5 z i  的最大值是 14．在ABC  中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知 3 cos 5 A  ， 5 cos 13 B  ， 则a c _______． 15．向量, a b  均为非零向量，    2 , 2 a b a b a b           ，则, a b  的夹角为________． 16．在ABC  中，角 , , A B C 的对边分别为, , a b c ， 4 c  ， 4 2 sin a A  ，且C 为锐角， 则ABC  面积的最大值为________. 四、解答题(本大题共6 小题，共70 分) 17．已知 ( ) y f x  是定义在R 上的奇函数，当 0 x  时， 2 ( ) 2 f x x x   ． （1）求 0 x  时，函数 ( ) f x 的解析式； （2）若函数 ( ) f x 在区间[ 1, 2] a   上单调递增，求实数a 的取值范围． 18．已知ABC  为锐角三角形，向量   2 3cos ,sin m A A   ，   1, sin n A    ，且m n   . (1)求A 的大小； (2)当 p AB m     ，   0, 0 AC qn p q       ，且满足 6 p q   时，求ABC  面积的最大值. 试卷第4页，共4页 19． 如图， 在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，S是 1 1 B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ， SC 的中点，求证： (1)直线 // EG 平面 1 1 BDD B ； (2)H 为线段 1 DD 上一点，且 1 3 DD DH  , 求证：BH//平面EFG 20．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生 成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示） ．已知某噪声的声波曲线  2 sin ( 0,0 ) 3 f x A x A                ，其中的振幅为2，且经过点（1，－2） （1）求该噪声声波曲线的解析式 ( ) f x 以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式( ) g x ； （2）证明： ( ) ( 1) ( 2) g x g x g x     为定值． 21． 如图， 平面四边形ABPC ， 其中 6, 10 AB BC AC CP BP      ． 将PBC  沿BC 折 起， 使P 在面ABC 上的投影即为 1 A A , 在线段PA 上， 且 1 4 PA PA  ，1 B 为PB 中点， 过 1 1 A B 作平面，使BC 平行于平面，且平面与直线 , AB AC 分别交于D、E，与PC 交于 G． （1）求AD DB 的值； （2）求多面体 1 B BCGDE 的体积． 22．已知函数    2 ln f x a a x          R ． (1)若 2 a 时，求函数  f x 的定义域； (2)若函数     ln 2 3 3 F x f x a x a         有唯一零点，求实数a 的取值范围； 试卷第1页，共4页 惠州一中、珠海一中、中山纪念中学2021-2022 学年高一下第二次段考试题 数学参考答 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D A B A B A 二、多选题 题号 9 10 11 12 答案 BC AB BCD ABD 三、填空题 题号 13 14 15 16 答案 6 13 14 3  4 4 2  四、解答题 17． 【详解】 （1）设 0 x  ，则 0 x  ，所以 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2 f x x x x x       ..........2 分 又 ( ) f x 为奇函数，所以 ( ) ( ) f x f x   ，.....................................................3 分 所以当 0 x  时， 2 ( ) 2 f x x x   ， .....................................................4 分 （2）作出函数 ( ) f x 的图像，如图所示： ...............7 分(或文字说明单调性) 要使 ( ) f x 在[ 1, 2] a   上单调递增， 结合 ( ) f x 的图象知 2 1 2 1 a a        ，所以1 3 a   ， 所以a 的取值范围是(1,3]. ................................................................................10 分 18． (1) m n     ， 2 2 3cos sin 0 A A    ，...............................................1 分 又 0, 2 A       ， 2 tan 3 A   ，解得：tan 3 A  ，..........................3 分 3 A    .................................................................................................4 分 试卷第2页，共4页 (2)由（1）得： 3 3 , 4 2 m          ， 3 1, 2 n            ，.................................6 分 9 3 21 16 4 4 AB p p       ， 3 7 1 4 2 AC q q      ，.....................8 分 2 1 3 21 7 21 21 189 sin 2 4 4 2 32 32 2 32 ABC p q S AB AC A p q pq                       （当且仅当 3 p q  时取等号） ， ABC   面积的最大值为189 32 .......................................12 分（漏写等号成立条件扣一分） 19． (1) 连接SB ，在三角形SBC 中，G 是SC 的中点，E 是BC 的中点，所以 // EG SB ，....2 分 EG  平面 1 1 BDD B ，SB 平面 1 1 BDD B ，所以 // EG 平面 1 1 BDD B ...............................4 分 (2) 连接SD,∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点, ∴FG//SD 又∵FG  平面 1 1 BDD B ，SD 平面 1 1 BDD B ∴ // FG 平面 1 1 BDD B .............................6 分 由(1)得 // EG 平面 1 1 BDD B . FG G   平面EFG,E 平面EFG EG FG G   ∴平面 // EFG 平面 1 1 BDD B ..................................................................................................9 分 又∵BH 平面 1 1 BDD B ∴BH//平面EFG.......................................................................12 分 20． （1）∵振幅为2，A>0，∴A=2， 2 ( ) 2sin 3 f x x           ，.............................1 分 将点（1，-2）代入得： 2 2 2 2sin sin 1 3 3                      ， ∵0     ，∴2 2 5 [ , ) 3 3 3       ，∴2 3 5 3 2 6          .........................3 分 ∴ 2 5 ( ) 2sin 3 6 f x x           ， 易知( ) g x 与 ( ) f x 关于x 轴对称，所以 2 5 ( ) 2sin 3 6 g x x          ........................5 分 （2）由（1） 2 5 2 2 ( ) 2sin 2sin 2cos 3 6 3 3 2 3 3 g x x x x                                 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 2) 2cos 2cos 2cos 3 3 3 3 3 g x g x g x x x x                                     2 2 2 2 2cos 2cos +2cos 3 3 3 3 3 x x x                      试卷第3页，共4页 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 cos sin 2cos 2 cos sin 0 3 2 3 2 3 3 2 3 2 x x x x x                                    . 即定值为0. ......................................................................................................12 分 21． 【解析】 （1）∵ / / BC 面，且BC 面ABC ，面ABC 面 DE  ，∴ / / BC DE ，.......1 分 过 1 A 做 1 / / A M AB ，交PB 于M．得 1 1 1 1 2 A M B M BD BB   ，而 1 1 4 A M AB  ，.....................3 分 ∴ 1 2 BD A M  ， 1 4 AB A M  ，即 1 6 AD A M  ∴ 3 AD DB  ．........................................5 分 （2）连接 1 B C 与 1 1 1 1 , B BCGDE B BCED G B CE B E V V V     ， 由题意知： 1 3 B G  ，............................................................6 分 而 2 2 8 PA PB AB    ， 1 B 到面ADE 的距离2 PA =4 ......7 分 且 9 DE  ，又△BCE 、△BDE 分别在BC 、DE 上的高均为3 3 2 . ∴ 1 3 3 9 3 6 2 2 2 BCE S      ， 1 3 3 27 3 9 2 2 4 BDE S      ，则 45 3 4 BCED BCE BDE S S S      ...................................................9 分 ∴ 1 1 4 15 3 3 45 3 4 B BCED V      ，且 1 1 4 6 3 3 9 3 2 B BCE V      ， 而 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2 G B CE E B CG E B BC B BCE V V V V         ， ∴综上： 1 18 3 B BCGDE V  ．........................................................12 分 22． 【解析】 (1)当 2 a 时，  2 2 2 ln 2 ln x f x x x                 要使函数有意义，则2 2 0 x x   ，即  2 2 0 x x   ，即  2 2 0 x x   ，解得0 1 x   所以函数  f x 的定义域为  0,1 ........................................................3 分 (2)函数    2 ln ln 2 3 3 F x a a x a x                 有唯一零点， 即   2 2 3 3 0 a a x a x      ①有唯一零点，............................4 分 即    2 2 2 3 2 0 a x a x      有唯一零点， 当 2 a  时， 2 0 x   ，解得 2 x  ，符合题意；..........................5 分 试卷第4页，共4页 当 2